Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 29
Die eigentliche Vorteil dieser Methode wird erst im mehrdimensionalen
Fall deutlich. Hier wird einfach dieselbe Permutationstabelle hintereinander
auf die ganzzahligen Koordinatenwerte angewandt, also im Prinzip in der
Form
P[P[u]+v] oder P[P[P[u]+v]+w] (86)
in 2D bzw. in 3D. Das funktioniert natürlich nur, wenn dabei der beschränkte
Indexbereich der Permutationstabelle P berücksichtigt wird, etwa in der
Form
P[(P[u mod 256]+v) mod 256], bzw. (87)
P[(P[(P[u mod 256]+v) mod 256]+w) mod 256]. (88)
Dies lässt sich natürlich auf beliebig viele Dimensionen erweitern.
Zur schnellen Berechnung des Ausdrucks in Gl. 87 bzw. 88 verwendet
Perlin allerdings einen weiteren Trick. So ergibt etwa die Änderung von Gl.
87 nach
P
P[u mod 256] +(v mod 256)
(89)
∈[0,255]
∈[0,510]
∈[0,255]
zwar nicht dasselbe, jedoch ein ähnlich „zufälliges“ Ergebnis. Wie leicht ersichtlich,
liegt in diesem Fall jeder mögliche Tabellenindex für P sicher im
Intervall [0,510]. Perlin nutzt diesen Umstand, indem er die Permutationstabelle
durch Verkettung einfach verdoppelt, d. h.,
P ′ = P||P = (151,160,...,156,180)||(151,160,...,156,180) (90)
= (151,160,...,156,180,151,160,...,156,180). (91)
P ′ hat damit die Länge 512, wobei
P ′
P[i] für 0 ≤ i < 256,
[i] =
P[i−256] für 256 ≤ i < 512.
(92)
Mit der verlängerten Permutationstabelle P ′ und u ′ = u mod 256, v ′ =
v mod 256, w ′ = w mod 256, kann etwa der Ausdruck in Gl. 88 für drei
Dimensionen sehr einfach in der Form
h8(u,v,w) = P ′ [P ′ [P ′ [u ′ ]+v ′ ]+w ′ ] (93)
berechnet werden, und analog im N-dimensionalen Fall für den Gitterpunkt
p = (u0,u1,...,uN−1) ∈ Z N durch
h8(p) = P ′ [...P ′ [P ′ [u ′ 0]+u ′ 1]+u ′ 2]+...+u ′ N−1]. (94)
Die konkrete Berechnung für 3D ist in der folgenden Java-Mehode gezeigt: