Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 28
Fall dann
grad(u,v) =
gradx(u,v,w)
= 2·
grady(u,v,w)
hashx(u,v)
−
hashy(u,v)
1
. (82)
1
beziehungsweise im dreidimensionalen Fall
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
gradx(u,v,w) hashx(u,v,w) 1
grad(u,v,w) = ⎝grady(u,v,w)
⎠ = 2· ⎝hashy(u,v,w)
⎠− ⎝1⎠.
(83)
gradz(u,v,w) hashz(u,v,w) 1
Damit liegen die Komponenten des resultierenden Gadientenvektors jeweils
wiederum im Intervall [−1,1]. Im allgemeinen, N-dimensionalen Fall weist
der zu erzeugende Grandientenvektor N Elemente auf, d. h.,
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
grad0(p) hash0(p)
⎜ grad ⎟ ⎜
1(p) ⎟ ⎜ hash1(p) ⎟
grad(p) = ⎜ ⎟ = 2· ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠
gradN−1(p) hashN−1(p)
−
⎛ ⎞
1
⎜
⎜1
⎟
⎜ ⎟ = 2·hash(p)−1.
⎝.
⎠
1
(84)
Die Verknüpfung der Koordinaten (u,v,w) sowie die Implementierung
der drei Hash-Funktionen ist vom jeweiligen Hash-Verfahren abhängig, wie
nachfolgend gezeigt.
5.1 Hashing mit Permutationstabellen
In Perlin’s Methode [8] wird die Hash-Funktion aus Effizienzgründen 16 durch
mehrfache Verwendung einer fixen, zufälligen Permutationstabelle P der
Größe 256 realisiert. Beispielsweise wird in [8] eine Permutationstabelle
P = (151,160,137,91,...,61,156,180)
verwendet, mit 0 ≤ i,P[i] < 256 und P(i) = P[j] für i = j (siehe die
Auflistung auf S. 31). Im eindimensionalen Fall ist dann einfach
hash(u) = 1
·P[u mod 256]. (85)
255
Dabei wiederholt sich das Ergebnis zwar zyklisch mit der (relativ kurzen)
Periode 256, allerdings fällt dies in der kombinierten Noise-Funktion aufgrund
der Verwendung mehrerer Frequenzen nicht unmittelbar auf. Größere
Periodenlängen können aber durch Kombination mehreren kurzen Permutationstabellen
erzielt werden, ohne dabei auf den Vorteil der schnellen Berechenbarkeit
zu verzichten [6].
16 Ursprünglich gedacht zur Implementierung auf eingeschränkter Grafik-Hardware.