Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 23
Ein N-dimensionaler Hyperwürfel besitzt entlang jeder Dimension k genau
2 N−1 Kanten, die jeweils zwei seiner Eckpunkte p a,p b verbinden. Die
Koordinatenvektoren dieser Endpunkte unterscheiden sich nur bezüglich der
Dimension k, d. h.,
p a[k] = p b[k] und p a[l] = p b[l] für l = k, 0 ≤ k < N.
In jedem Interpolationsschritt wird zwischen den Werten der Tangentenfunktionen
wa = ha(x) und wb = hb(x) von zwei in Dimension k benachbarten
Eckpunktenp a,p b desxumschließenden Hyperwürfels interpoliert, und zwar
in der bereits bekannten Form
¯wa,b = (1−s(xk))·wa +s(xk)·wb, (73)
wobei xk die k-te Komponente von x ist und s() die nichtlineare Überblendungsfunktion
(Gl. 24 bzw. Gl. 27) bezeichnet. Bei jeder einzelnen Interpolation
werden also die Werte von zwei Nachbarknoten auf einen Wert reduziert.
Die so entstehenden Zwischenwerte können wiederum als Eckpunkte
eines Hyperwürfels interpretiert werden, dessen Dimension gegenüber dem
ursprünglichen Würfel um eins reduziert ist.
Wir benötigen also N Interpolationsschritte, um die ursprünglich 2 N
Knotenwerte eines N-dimensionalen Hyperwürfels auf einen Skalarwert (entspricht
Dimension null) zu reduzieren. Es sollte belanglos sein, in welcher
Reihenfolge entlang der einzelnen Dimensionen interpoliert wird. 14 Beispielsweise
könnte die schrittweise Interpolation in folgender Sequenz über die
Dimensionen k = 0,1,...N−1 ausgeführt werden:
w (N) ← (w0,...w 2 N −1) = (hj(x),...h 2 N −1(x))
w (N−1) ← interpolate(x,w (N) ,0)
w (N−2) ← interpolate(x,w (N−1) ,1)
.
.
w (N−k−1) ← interpolate(x,w (N−k) ,k) (74)
.
.
w = w (0) ← interpolate(x,w (1) ,N−1)
Dabei ist w (n) jeweils ein Vektor der Länge 2 n ; die Länge des Vektors w
wird also in jedem Schritt um die Hälfte verkleinert. Das finale Ergebnis der
Interpolation an der Position x, w = w (0) , ist ein skalarer Wert (bzw. ein
null-dimensionaler Vektor).
14
Es wäre zu überprüfen, inwieweit konkret bei der Perlin-Interpolation das Ergebnis
von der Reihenfolge der Dimensionen abhängt.