Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 22
Jeder Punkt q j ist daher ein N-dimensionaler Vektor mit Elementen aus
{0,1} (von denen es genau 2 N verschiedene gibt), d. h.,
p 0 = p 0 +q 0 = p 0 +(0,0,0,...,0) T ,
p 1 = p 0 +q 1 = p 0 +(1,0,0,...,0) T ,
p 2 = p 0 +q 2 = p 0 +(0,1,0,...,0) T ,
p 3 = p 0 +q 3 = p 0 +(1,1,0,...,0) T ,
. . .
p2N−1 = p0 +q2N−1 = p0 +(1,1,1,...,1) T .
(68)
Die Elemente des Vektors q j entsprechen offensichtlich dem binären Bitmuster
der Zahl j, d. h.,
q j[k] = bitk(j) = j ÷2 k mod 2, (69)
für 0 ≤ j < 2N , 0 ≤ k < N. 12 Wir verwenden nachfolgend (in Alg. 4–
5) die Funktion qj = vertex(j,N) zur Generierung der Eckkoordinaten des
N-dimensionalen Einheitswürfels.
Die den 2N Gitterpunkten pj zugehörigen Tangentialebenen sind (siehe
Gl. 65) definiert durch die linearen Funktionen
hp (x) = g j T p ·
j
x−p j , (70)
oder, in verkürzter Schreibweise, 13
für j = 0...2 N −1.
4.1 Interpolation der Tangentenebenen
hj(x) = g T j ·
x−p j , (71)
Den eigentlichen Wert der N-dimensionalen Rauschfunktion an einer bestimmten
Position x = T x0,x1,...xN−1 erhalten wir durch Interpolation
der Tangentenfunktionen hj(x) sämtlicher 2N umliegender Rasterpunkte pj, das sind
w(x) =
w0,w1,...,w 2N−1 , mit wj = hj(x). (72)
Diese Interpolation wird jedoch nicht in einem Schritt durchgeführt, sondern
(wie bereits im zweidimensionalen Fall demonstriert) nacheinander für jede
einzelne der N Raumdimensionen.
12 a÷b steht für die ganzzahlige Division a durch b (Quotient von a,b).
13 Die verkürzte Schreibweise hj(x) – anstelle von hpj (x) – für die Tangentialfunktion
im Rasterpunkt p j sowie g j – anstelle von g pj – für die Gradientenvektoren dient nur zur
besseren Lesbarkeit.