Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 21
dessen Elemente gradk(p) die partiellen Ableitungen der kontinuierlichen
Rauschfunktion noise(p) in der Richtung xk am N-dimensionalen Punkt p
spezifizieren, d. h.,
gradk(p) = ∂noise(p)
. (64)
∂xk
Jeder Gradientenvektor gp definiert wiederum eine lineare Tangentenfunktion
hp(x) : RN → R, mit
hp(x) = g T p · x−p =
N−1
k=0
grad k(p)·(xk −pk). (65)
Die Tangentenfunktion hp(x) liefert einen skalaren, reelen Wert für jeden
Punktx ∈ R N . Sie bildet eine Tangential-Hyperebene imN+1-dimensionalen
Raum. 11 Der Wert der Funktion ist für den zugehörigen Gitterpunkt p selbst
null, d. h.,
hp(p) = g T p · p−p = g T p ·0 = 0,
zumal ja die Gitterpunkte als Nullstellen der kontinuierliche Rauschfunktion
vorgegeben sind.
Wie im ein- und zweidimensionalen Fall ergibt sich die kontinuierliche
Rauschfunktionnoise(x) – für kontinuierliche Koordinatenx ∈ RN – auch im
N-dimensionalen Fall durch Interpolation zwischen den zu den umliegenden
Gitterpunkten pj gehörigen Tangentialfunktionen hp (x). j
Wurden in 1D jeweils zwei und in 2D jeweils vier Nachbarpunkte (bzw.
deren Gradienten) berücksichtigt, so sind im dreidimensionalen Fall die 23 =
8 Eckpunkte des x umgebenden Würfels in die Interpolation einzubeziehen.
Im allgemeinen, N-dimensionalen Fall sind jeweils 2N umliegenden Gitterpunkte
p0,p1,...p 2N−1 zu berücksichtigen. Diese Gitterpunkte bilden einen
N-dimensionalen Einheits-Hyperwürfel (Hypercube) um die kontinuierliche
Koordinate x. Ausgehend vom kanonischen Eckpunkt
⎛ ⎞
⌊x0⌋
⎜ ⌊x1⌋ ⎟
p0 = ⎜ ⎟,
(66)
⎝ . ⎠
⌊xN−1⌋
können die Koordinaten aller 2 N Eckpunkte p j dieses Hyperwürfels in der
Form
p j = p 0 +q j
(67)
generiert werden. Die Koordinaten q j stehen für die Eckpunkte des Ndimensionalen
Einheitswürfels, der am Koordinatenursprung verankert ist.
11 Im eindimensionalen Fall ist dies eine 2D-Gerade; im Fall einer zweidimensionalen
Funktion ergibt sich eine Tangentialebene in 3D. Siehe auch Abschnitt 4.2.