Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 12
um den Faktor 2 erhöhter Frequenzen
f0 = fmin, f1 = 2·fmin, f2 = 4·fmin, f3 = 8·fmin, ...,
im Allgemeinen also
fn = 2 n ·fmin, für n = 0,1,2,3,... (38)
Aufeinanderfolgende Frequenzen fn und fn+1 stehen also im Verhältnis 1 : 2
und bilden zueinander „Oktaven“.
2.3.1 Nutzbarer Frequenzbereich
Wie viele oder welche Frequenzen sind überhaupt praktikabel oder sinnvoll?
Bei der Generierung diskreter Rauschfunktionen ist insbesondere das
Abtasttheorem zu beachten, wonach Signalfrequenzen über der Hälfte der
Abtastfrequenz nicht zulässig sind. Erfolgt die Abtastung der kontinuierlichen
Rauschfunktion im Abstand von τs = 1 (s steht für sample), so ist
auch die zugehörige Abtastfrequenz fs = 1. Die maximal zulässige Frequenz
liegen, d. h.
in der Rauschfunktion sollte demnach nicht über 1
2
fmax ≤ 0.5. (39)
Frequenzen über 0.5 führen zu Aliasing-Effekten und sind daher nicht sinnvoll.
Bei vorgesehenen K Einzelfrequenzen (Oktaven) ist demnach die höchste
zulässige Basisfrequenz
fmin ≤ 0.5 1
= . (40)
2K−1 2 (K)
Also ist beispielsweise bei K = 4 Oktaven die maximale sinnvolle Basisfrequenz
wobei in der Folge f1 = 2·f0 = 1
sicher zu gehen)
2.3.2 Amplituden
fmin = f0 = 1 1
= , (41)
24 16
8 , f2 = 2·f1 = 1
4
und schließlich (nur um
fmax = f3 = 2·f2 = 1
. (42)
2
Die Wahl der zugehörigen Amplitudenwerte an ist mitentscheidend für das
Aussehen der kombinierten Rauschfunktion Noise(x). Grundsätzlich können
beliebige Amplitudenwerte gewählt werden. In Perlin’s ursprünglicher Formulierung
[7] sind mit steigender Frequenz logarithmisch abnehmende Amplitudenwerte
an vorgesehen, spezifiziert durch
an = φ n , mit 0 < φ < 1, (43)