Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise - Campus ...

Burger: Gradientenbasierte Rauschfunktionen und Perlin Noise 8
noise(x)
1
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1 2 3
Abbildung 6: Anwendung der modifizierten Perlin-Interpolationsfunktion
[9] nach Gl. 29 für die ersten vier Gradientenwerte aus Abb. 1.
terpolationsfunktion (Gl. 17) modifiziert zu
F5(˙x,g0,g1) = h0(˙x)+ 10˙x 3 −15˙x 4 +6˙x 5 · h1(˙x)−h0(˙x)
= g0 · ˙x+ 10˙x 3 −15˙x 4 +6˙x 5 · g1 ·(˙x−1)−g0 · ˙x
= (−6g0 +6g1)· ˙x 6 +(15g0 −21g1)· ˙x 5
+(−10g0 +25g1)· ˙x 4 +(−10g1)˙x 3 +g0 · ˙x (29)
für0 ≤ ˙x ≤ 1, und somit ein Polynom sechsten Grades (in ˙x). Die Funktion in
Gl. 29 erfüllt nicht nur die vier Bedingungen in Gl. 5, sondern hat zusätzlich
an den Endstellen auch die Eigenschaft
F ′′
5(0,g0,g1) = F ′′
5(1,g0,g1) = 0, (30)
für beliebige g0,g1. 7 Damit ist die Krümmung der Funktion an beiden Enden
des [0,1]-Intervalls null und es ergeben sich C2-kontinuierliche Übergänge
zwischen benachbarten Segmenten (das Ergebnis der ursprüngliche Perlin-
Interpolation in Gl. 17 ist hingegen nur C1-kontinuierlich).
2.1.7 Zusammenfassung
Gegeben ist eine diskrete Folge von zufällig gewählten aber fixen, im Intervall
[−1,1] gleichverteilten Gradientenwerten g i, mit i ∈ Z. Die Werte der
zugehörigen eindimensionalen Perlin-Funktion noise(x) an einer beliebigen
Position x ∈ R erhält man durch stückweise Interpolation mit der lokalen
Interpolationsfunktion F(˙x,g0,g1) in der Form
noise(x) = F(x−p,g p,g p+1), (31)
7 F ′′
5 (˙x,...) bezeichnet die zweite Ableitung von F5 an der Stelle ˙x.
x