Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.20 Übungsaufgaben 8–22 49
Also ist V := V(I) eine F -abgeschlossene Menge. Aber es ist
√
p
I(V ) = I(V(I)) = f ∈ K[X] | f Y = 0 = X − p√
Y · K[X] ,
und also ist V nicht F -definiert. (Es ist
Bemerkung
1) Ist F vollkommen, so kann man zeigen:
V ist F -abgeschlossen ⇐⇒ V ist F -definiert.
X − p√ p Y = Xp − Y ∈ I).
2) Sei V über F definiert. Dann gibt es ein Ideal I in F [X1, . . . , Xn] so, dass
I(V ) = I · K[X1, . . . , Xn] gilt. Setzt man F [V ] := F [X1, . . . , Xn]/I , so
hat man eine K-Algebraisomorphie K ⊗F F [V ] K[V ] nach 2.10 (vii).
Diese Beobachtung führt zur folgenden Definition.
3) Definition: Eine F -Struktur auf V ist eine F -Unteralgebra F [V ] der
zu V gehörigen affinen Algebra K[V ] mit den Eigenschaften:
(a) F [V ] ist endlich erzeugt als F -Algebra.
(b) Der von der Multiplikation K × F [V ] → K[V ], (λ, a) ↦→ λa, induzierte
F -Algebrahomomorphismus K ⊗F F [V ] → K[V ] ist ein
Isomorphismus.
Im Allgemeinen besitzt V verschiedene F -Strukturen.
4) Die Menge der F -rationalen Punkte einer F -Struktur F [V ] ist die Menge
V (F ) := HomAlg(F [V ], F ) der F -Algebrahomomorphismen F [V ] → F .
Diese Definition ist durch Aufgabe 15 motiviert, in der F = K = K ist.
Wegen der geschilderten Schwierigkeiten werden wir hier bis auf wenige
Ausnahmen nur algebraische Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen
Körper studieren.
2.20 Übungsaufgaben 8–22
Aufgabe 8
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Man ermittle, welche der
folgenden Teilmengen von K n algebraisch sind:
(a) K n und die leere Menge ∅ ,
(b) die Mengen {x} mit x ∈ K n ,
(c) alle endlichen Teilmengen,
(d) { (z 2 , z 3 ) ∈ C 2 | z ∈ C } .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007