Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.18 Bild eines Morphismus 47
Es ist R als Ring endlich erzeugt über S , und jeder Erzeuger erfüllt eine
normierte polynomiale Gleichung über E[T1, . . . , Tn] . Sei f ∈ R ein gemeinsames
Vielfaches der Nenner aller Koeffizienten in diesen Gleichungen.
Dann ist Rf ganz über Sf [T1, . . . , Tn] , wobei die Ti weiterhin algebraisch
unabhängig über Sf sind, vgl. Definition 2.13. Wegen Rf = K[Vf ] und
Sf = K[Wf ] kann Sf [T1, . . . , Tn] ∼ = Sf ⊗K K[T1, . . . , Tn] als affine Algebra
K[Vf × An ] von Vf × An aufgefasst werden, vgl. 2.12.
Nun kann die Einschränkung α|Vf : Vf → Wf als Vf → Wf × A
geschrieben werden. Der Morphismus β erfüllt die Voraussetzungen von
Satz 2 unten und ist demgemäß surjektiv. Schließlich ist U = Wf die gesuchte
offene Teilmenge von α(V ), denn α−1 (U) = Vf , und sowohl π1 als
auch β sind surjektiv, d. h. U ⊆ α(V ).
β
n π1
→ Wf
Satz 2
Sei β : V → W ein Morphismus von affinen Varietäten V, W so, dass
β ∗ : K[W ] → K[V ] injektiv ist und K[V ], betrachtet als Ringerweiterung
von K[W ], ganz über K[W ] ist. Dann ist β surjektiv.
Beweis. Die Punkte w = (a1, . . . , an) von W entsprechen bijektiv den maximalen
Idealen mw = (x1 − a1, . . . , xn − an) von K[W ] , wobei
xi : W → K , (a1, . . . , an) ↦→ ai ,
die i-te Koordinatenfunktion bedeutet, vgl. Satz 1.10, 2.7.3 und Aufgabe 16.
Die algebraische Menge β −1 (w) wird durch die Gleichungen
β ∗ (x1) − a1 = 0 , . . . , β ∗ (xn) − an = 0
definiert, und es ist β −1 (w) = ∅ genau dann, wenn mwK[V ] = K[V ] gilt.
Letzteres ist aber nach dem Hilfssatz unten nicht möglich, da K[V ] nach
Voraussetzung ganz und damit nach Satz 1.5 endlich über K[W ] ist. Deshalb
gilt β −1 (w) = ∅ für alle w ∈ W .
Hilfssatz
Sei B eine kommutative endliche Ringerweiterung eines kommutativen Ringes
A, und sei I ein echtes Ideal in A. Dann gilt B = IB .
Beweis. Angenommen, es gilt B = IB . Wir zeigen durch Induktion nach
der Anzahl n eines Erzeugendensystem {x1, . . . , xn} von B als A-Modul,
dass es ein Element a ∈ A so gibt, dass a − 1 ∈ I und aB = {0} gilt.
Letzteres impliziert a = 0, weil 1 ∈ B gilt, und damit folgt 1 ∈ I im
Widerspruch dazu, dass I ein echtes Ideal ist.
Sei n = 1 und also B = Ax1 . Da B = IB gilt und I ein Ideal in A ist,
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007