Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.18 Bild eines Morphismus 45
Ein Morphismus von Prävarietäten ist ein Morphismus von geringten
Räumen wie in 2.16 definiert. Auch für Prävarietäten V, W existiert ein
Produkt V × W , das bis auf Isomorphie eindeutig ist, vgl. [5], 2.4.
5) Projektive Varietäten
Beispiele für nicht affine Prävarietäten sind projektive Varietäten, das
sind abgeschlossene Untervarietäten eines projektives Raumes P n (K).
Eine projektive algebraische Menge in P n (K) ist eine Menge der Form
V ∗ (I) := {(x0 : · · · : xn) ∈ P n (K) | f(x0, . . . , xn) = 0 ∀ f ∈ I} ,
wobei I ein homogenes Ideal in K[X0, . . . , Xn] ist, d. h. ein Ideal, das
von homogenen Polynomen erzeugt wird (vgl. 1.7).
Dies sind dann die abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie von
Pn (K) . Es gibt einen projektiven Hilbertschen Nullstellensatz, und mit
Hilfe von regulären Funktionen kann man eine Garbe OPn definieren.
6) Algebraische Varietäten
Eine Prävarietät heißt algebraische Varietät oder Varietät (über K),
wenn das folgende Hausdorff-Axiom erfüllt ist:
Die Diagonale ∆V = {(v, v) | v ∈ V } ist abgeschlossen in V ×V . Hierbei
trägt V × V die Zariski-Topologie und nicht die Produkttopologie, vgl.
Aufgabe 11.
Beispiel: Ist V eine affine Varietät, so ist dieses Hausdorff-Axiom erfüllt
(∆V ist abgeschlossen in V × V .)
7) Zum Begriff eines Schemas
Es gibt einen allgemeineren Garbenbegriff als den der Funktionengarben
aus 2.15. Ist R ein kommutativer Ring, so definiert man auf der Menge
Spec(R) der Primideale von R eine gewisse ringwertige Garbe O Spec(R) .
Das Paar (Spec(R), O Spec(R)) nennt man dann ein affines Schema. Ein
Schema ist ein ” geringter Raum“ (topologischer Raum mit einer Garbe
O von Ringen), in dem es zu jedem Punkt eine offene Umgebung U
so gibt, dass (U, O|U ) isomorph zu einem affinen Schema ist, vgl. z. B.
[9] Kap. V.
Man kann dann von einem Schema über einem beliebigen Grundkörper
ausgehen statt von einer Prävarietät über einem algebraisch abgeschlossenen
Körper wie in 4).
2.18 Bild eines Morphismus
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir schreiben meist V statt
(V, OV ) für eine Varietät V über K. Ein Morphismus von Varietäten ist als
Morphismus von Prävarietäten zu verstehen.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007