Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.13 Lokalisierungen 41
Das Problem der Existenz und gegebenenfalls Konstruktion von Quotienten
ist i. Allg. schwierig.
2.13 Lokalisierungen
Sei R ein kommutativer Ring. In Algebra 6.10 haben wir jeder multiplikativ
abgeschlossenen Menge S ⊂ R \ {0} einen Quotientenring zugeordnet:
S −1
r
R = | r ∈ R, s ∈ S .
s
Satz
Seien p ein Primideal in R und S = R \ p . Dann ist
Rp := S −1
r
R = | r, s ∈ R, s /∈ p
s
ein Ring mit genau einem maximalen Ideal m = r
s ∈ Rp | r ∈ p .
Beweis. Es ist m ein Ideal, da r r′
s + ss ′ ∈ m und λ · r
s ∈ m für alle
r, r ′ ∈ p, s, s ′ ∈ S, λ ∈ Rp . Sei I ein Ideal in Rp mit I m . Dann enthält
I ein Element r
r
s mit r /∈ p , also mit r ∈ S . Es ist dann s invertierbar in
Rp , und es folgt I = Rp . Also ist m ein maximales Ideal in Rp , und zwar
das einzige, weil alle Nichteinheiten aus Rp in m liegen.
s ′ = rs′ +sr ′
Definition 1. Ein lokaler Ring ist ein kommutativer Ring mit genau
einem maximalen Ideal.
2. Der Ring Rp heißt Lokalisierung von R nach p.
3. Ist f ∈ R kein Nullteiler in R und S = {f m | m ∈ N0} , so wird die
Bezeichnung Rf anstelle von S −1 R benutzt. (Auch dieser Ring wird
manchmal Lokalisierung genannt.)
2.14 Reguläre Funktionen
In diesem Abschnitt sei K algebraisch abgeschlossen (also K = K ).
Definition
Sei V ⊂ K n eine irreduzible algebraische Menge. Dann ist die affine Algebra
K[V ] ein Integritätsring nach Satz 2.3. Sei
K(V ) :=
g
| g, h ∈ K[V ], h = 0
h
der Quotientenkörper von K[V ] (vgl. Algebra 6.11). Der Körper K(V ) heißt
Funktionenkörper von V oder Körper der rationalen Funktionen über K .
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007