Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.9 Eine Äquivalenz von Kategorien 35
Beweis. Injektivität von FV,W :
Für α, β ∈ Mor(V, W ) sei α ∗ = β ∗ . Zu zeigen: α = β . Nach Definition 2.8
eines Morphismus gibt es f1, . . . , fm und g1, . . . , gm ∈ K[X1, . . . , Xn] mit
α(v) = (f1(v), . . . , fm(v)) und β(v) = (g1(v), . . . , gm(v)) für alle v ∈ V .
Für alle ϕ ∈ K[W ] = K[Y1, . . . , Ym]/I(W ) = Mor(W, K ) gilt
ϕ ◦ α =
Def von ∗ α∗ (ϕ) = β ∗ (ϕ) = ϕ ◦ β .
Def von ∗
Es folgt yi ◦ α = yi ◦ β für alle i = 1, . . . , m , wobei yi = Yi + I(W ) die i-te
Koordinatenabbildung ist (vgl. 2.7.3) und also
fi(v) = (yi ◦ α)(v) = (yi ◦ β)(v) = gi(v)
Def von yi
Def von yi
für alle i = 1, . . . , m und alle v ∈ V . Es folgt α(v) = β(v) für alle v ∈ V .
Surjektivität von FV,W :
Sei γ : K[W ] → K[V ] ein K-Algebrahomomorphismus. Wähle f1, . . . , fm ∈
K[X1, . . . , Xn] so, dass γ(yi) = fi + I(V ) für alle i = 1, . . . , m gilt.
Der Morphismus α: V → K m , v ↦→ (f1(v), . . . , fm(v)) induziert den K-
Algebrahomomorphismus α ∗ : K[Y1, . . . , Ym] → K[V ], g ↦→ g ◦ α , wobei
g ◦ α =
Def von α g ◦ (f1, . . . , fm) = g ◦ (γ(y1), . . . , γ(ym))
= γ(g + I(W )) siehe folgende Bemerkung
= γ
0K[W ] falls g ∈ I(W )
= 0 K[V ] .
Da W = V(I(W )) gilt, folgt α(v) ∈ W für alle v ∈ V . Weiter folgt, dass α ∗
auch auf K[W ] = K[Y1, . . . , Ym]/I(W ) wohldefiniert ist und α ∗ = γ gilt.
Bemerkung
Es ist g =
endl
(r1,...,rm)∈Nm 0
. . . arm
yr1 1
r1
ar1...rmY1 · . . . · Y rm
m , woraus folgt:
g + I(W ) = ar1 · . . . · yrm m und also
γ(g + I(W )) = ar1 . . . armγ(y1) r1 . . . γ(ym) rm = g ◦ (γ(y1), . . . , γ(ym)).
Die letzte Behauptung des Satzes folgt leicht:
” =⇒“ gilt, weil F ein Funktor mit (α ◦ β)∗ = β ∗ ◦ α ∗ und (idV ) ∗ = id K[V ]
ist.
” ⇐=“ gilt, weil FV,W bijektiv ist.
Folgerung
Der Funktor F ist eine Äquivalenz von Kategorien, denn F ist volltreu,
und jede affine K-Algebra ist von der Form K[X1, . . . , Xn]/I(V ) mit einer
geeigneten algebraischen Menge V ⊂ K n (vgl. Korollar 1.15).
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007