Lineare algebraische Gruppen - GWDG
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2.8 Morphismen von <strong>algebraische</strong>n Mengen 33<br />
Es folgt<br />
K[V ] = {ϕ: V → K | ∃ f ∈ K[X1, . . . , Xn] mit ϕ(v) = f(v) ∀ v ∈ V }.<br />
Es ist K[V ] die K-Algebra der ” polynomialen Funktionen“ V → K .<br />
Wir schreiben K[V ] = Mor(V, K ).<br />
Beispiele<br />
Zu jedem xi := Xi + I(V ) gehört die i-te Koordinatenfunktion<br />
xi : V → K , (a1, . . . , an) ↦→ ai , für i = 1, . . . , n .<br />
4) Mit der Interpretation aus 3) ist das Verschwindungsideal einer Teilmenge<br />
W ⊂ V definiert als<br />
IV (W ) := {ϕ ∈ K[V ] | ϕ(w) = 0 ∀ w ∈ W } .<br />
Es gilt IV (W ) = I(W )/I(V ) , und die Zuordnung ϕ ↦→ ϕ|W induziert<br />
einen Isomorphismus<br />
K[V ]/IV (W ) ∼ → K[W ] ,<br />
denn nach dem zweiten Noetherschen Isomorphiesatz (Algebra 1.6) gilt:<br />
K[X1, . . . , Xn]/I(W ) (K[X1, . . . , Xn]/I(V ) )/(I(W )/I(V ) ) .<br />
<br />
K[W ]<br />
K[V ]<br />
IV (W )<br />
5) Sei umgekehrt I ein beliebiges Ideal in K[V ] = K[X1, . . . , Xn]/I(V ) .<br />
Dann ist die Nullstellenmenge von I definiert als<br />
VV (I) := {v ∈ V | ϕ(v) = 0 ∀ ϕ ∈ I} .<br />
Es ist VV (I) eine K-abgeschlossene Menge in V , denn I ist endlich<br />
erzeugt nach 2), also I = (ϕ1, . . . , ϕm) mit ϕi = fi + I(V ) und fi ∈<br />
K[X1, . . . , Xn] für i = 1, . . . , m , und es folgt VV (I) = V(f1, . . . , fm)∩V .<br />
2.8 Morphismen von <strong>algebraische</strong>n Mengen<br />
Seien V ⊂ K n und W ⊂ K m <strong>algebraische</strong> Mengen.<br />
Definition<br />
Eine Abbildung α: V → W heißt polynomial oder Morphismus, wenn es<br />
Polynome f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] gibt mit<br />
α(v) = (f1(v), . . . , fm(v)) ∀ v ∈ V .<br />
Ein Morphismus α: V → W heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus<br />
β : W → V gibt mit α ◦ β = idW und β ◦ α = idV .<br />
<strong>Lineare</strong> Algebraische <strong>Gruppen</strong>, Universität Göttingen 2007