Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.5 Zerlegung in irreduzible Komponenten 31
Sei N eine geordnete Teilmenge vom M . Dann ist V :=
T ′ ∈N T ′ ∈ M ,
denn: Seien U1, U2 offen in T und Ui ∩ V = ∅ für i = 1, 2 . Dann existieren
T1, T2 ∈ N mit U1 ∩ T1 = ∅ und U2 ∩ T2 = ∅ . Da N geordnet ist, können
wir T1 ⊂ T2 annehmen. Es folgt ∅ = U1 ∩ U2 ∩ T2 ⊂ U1 ∩ U2 ∩ V .
T2 irr.
Damit ist gezeigt, dass V irreduzibel ist. Da S ⊂ V gilt, folgt V ∈ M ,
und V ist obere Schranke für N . Nach dem Lemma von Zorn gibt es ein
maximales Element in M .
(b):
Für jedes t ∈ T ist {t} eine irreduzible Menge. Daher folgt (b) aus (a).
(c):
Angenommen: T ist nicht als endliche Vereinigung irreduzibler, in T abgeschlossener
Mengen darstellbar. Da T noethersch ist, gibt es dann eine
nichtleere minimale abgeschlossene Menge A in T , die sich nicht als endliche
Vereinigung irreduzibler abgeschlossener Mengen in T darstellen läßt.
Es ist A reduzibel, also A = A1 ∪ A2 , wobei A1, A2 abgeschlossene echte
Teilmengen von A sind. Da A minimal ist, sind A1 und A2 endliche Vereinigungen
irreduzibler abgeschlossener Teilmengen im Widerspruch dazu, dass
A = A1∪A2 dies nicht ist. Es folgt T = V1∪· · ·∪Vm , wobei V1 , . . . , Vm irreduzibel
und abgeschlossen sind. Sei V eine irreduzible Komponente von T .
Dann ist V = m
(V ∩ Vi) und also V = V ∩ Vi für ein i nach Definition der
i=1
Irreduzibilität. Es folgt V ⊂ Vi und daher V = Vi , da V maximal.
Korollar
Ist V eine algebraische Menge in K n , so besitzt V nur endlich viele irreduzible
Komponenten V1, . . . , Vm , und es ist V = V1 ∪ · · · ∪ Vm .
Beweis. Es ist V ein topologischer Raum bezüglich der induzierten Zariski-
K-Topologie von K n .
Sei A1 ⊃ A2 ⊃ · · · eine Kette von (K-)abgeschlossenen Mengen in V . Die
aufsteigende Kette
I(A1) ⊂ I(A2) ⊂ · · ·
ist stationär, da K[X1, . . . , Xn] nach dem Hilbertschen Basissatz (Algebra
6.14) noethersch ist. Also ist
A1 = V(I(A1)) ⊃ A2 = V(I(A2)) ⊃ · · ·
stationär. Es folgt, dass V noethersch ist. Satz (c) ergibt die Behauptung.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007