Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2.4 Irreduzible topologische Räume 29
Sei umgekehrt I(V ) ein Primideal. Angenommen, es gibt algebraische Mengen
V1, V2 ⊂ K n mit V1 V und V2 V sowie V = V1 ∪ V2 . Dann
gibt es Polynome f1 ∈ I(V1) \ I(V ) und f2 ∈ I(V2) \ I(V ) . Es folgt
f1 ·f2 ∈ I(V1)∩I(V2) =
Aufg. 7 I(V1 ∪V2) = I(V ) . Da I(V ) Primideal ist, folgt
der Widerspruch f1 ∈ I(V ) oder f2 ∈ I(V ) . Da I(K n ) = (0) Primideal in
K[X1, . . . , Xn] ist, folgt die letzte Behauptung.
Beispiel
V := {i, −i} = V(X 2 + 1) ⊂ C ist bezüglich der Zariski-R-Topologie von C
irreduzibel, da X 2 + 1 ein Primideal in R[X] ist, aber V ist bezüglich der
Zariski-Topologie nicht irreduzibel, da V = V(X − i) ∪ V(X + i) gilt.
2.4 Irreduzible topologische Räume
Ein topologischer Raum T = ∅ heißt irreduzibel, wenn T nicht als Vereinigung
zweier abgeschlossener echter Teilmengen darstellbar ist.
• Durch Negation und Komplementbildung erhält man:
T ist genau dann irreduzibel, wenn je zwei offene, nichtleere Teilmengen
einen nichtleeren Durchschnitt haben.
• Eine Teilmenge S = ∅ in T heißt irreduzibel, wenn S als topologischer
Raum bezüglich der induzierten Topologie irreduzibel ist.
• Für S ⊂ T sei S der Abschluss von S in T , d. h. der Durchschnitt aller
abgeschlossenen Teilmengen von T , die S enthalten. Es ist S genau dann
abgeschlossen in T , wenn S = S gilt.
• S ⊂ T heißt dicht in T , wenn S = T gilt.
Satz
Seien T = ∅ und T ′ = ∅ topologische Räume. Dann gelten:
(a) Für jede nichtleere Teilmenge S ⊂ T gilt:
S irreduzibel ⇐⇒ S irreduzibel .
(b) T irreduzibel ⇐⇒ Jede nichtleere offene Menge U ⊂ T ist dicht in T.
(c) f : T → T ′ stetig und T irreduzibel =⇒ f(T ) irreduzibel.
Beweis. (a) ” =⇒“:
Sei S irreduzibel, und sei S = A1 ∪ A2 mit abgeschlossenen Mengen
A1, A2 ⊂ S . Dann ist S = (A1 ∩ S) ∪ (A2 ∩ S) die Vereinigung zweier
in S abgeschlossener Mengen, und also gilt S = A1 ∩ S oder S = A2 ∩ S ,
da S irreduzibel ist. Es folgt S ⊂ A1 oder S ⊂ A2 und daher S ⊂ A1 oder
S ⊂ A2 nach Definition von S . Also ist S irreduzibel.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007