Lineare algebraische Gruppen - GWDG

2 Affine algebraische Varietäten 27
2 Affine algebraische Varietäten
Sei K ein Körper, und sei K ein algebraischer Abschluss von K .
2.1 Algebraische Mengen
Für eine nichtleere Teilmenge M ⊂ K[X1, . . . , Xn] sei
V(M) := {x ∈ K n | f(x) = 0 ∀ f ∈ M} .
Ist I das von M erzeugte Ideal in K[X1, . . . , Xn], so gilt V(M) = V(I).
Definition
Eine Teilmenge V ⊂ K n heißt algebraisch oder (K)-abgeschlossen, falls es
endlich viele Polynome f1, . . . , fm ∈ K[X1, . . . , Xn] so gibt, dass
V = {x ∈ K n | fi(x) = 0 ∀ i = 1, . . . , m}
gilt. Der Buchstabe V steht für Varietät.
Da jedes Ideal in K[X1, . . . , Xn] endlich erzeugt ist (nach dem Hilbertschen
Basissatz, Algebra 6.14), stimmt diese Definition mit der in 1.15 gegebenen
Definition einer algebraischen Menge überein.
2.2 Zariski-Topologie
Satz
Die algebraischen Mengen in K n erfüllen die Axiome für die abgeschlossenen
Mengen einer Topologie auf K n .
Die Topologie ist kompakt, aber nicht hausdorffsch.
Beweis. (a) Die Mengen ∅ = V({1}) und K n = V({0}) sind algebraisch.
(b) Endliche Vereinigungen algebraischer Mengen sind algebraisch, denn
für V1 = V({f1, . . . , fm}) und V2 = V({g1, . . . , gℓ}) ist
V1 ∪ V2 = V({figj | i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , ℓ}) .
(c) Beliebige Durchschnitte algebraischer Mengen sind algebraisch, denn
für jedes System (Ij)j∈J von Idealen in K[X1, . . . , Xn] gilt
⎛
V(Ij) = V ⎝
⎞ ⎛
⎠ = V ⎝
2.1
⎞
⎠ .
j∈J
j∈J
Ij
j∈J
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
Ij