Lineare algebraische Gruppen - GWDG

1.10 Schwacher Nullstellensatz 21
Beweis. Der Beweis wird für den Fall geführt, dass K unendlich viele Elemente
hat (der Fall |K| < ∞ ist komplizierter zu beweisen und wird hier
nicht benötigt).
Da A endlich erzeugt ist, gibt es x1, . . . , xn ∈ A so, dass A = K[x1, . . . , xn]
gilt. Sind x1, . . . , xn algebraisch unabhängig, so folgt die Behauptung, da
A ganz über A ist.
Sei nun A = K[x1, . . . , xn] , wobei x1, . . . , xn algebraisch abhängig (und
= 0) sind. Dann gibt es ein Polynom f ∈ K[X1, . . . , Xn] mit
(∗)
f(x1, . . . , xn) = 0 und f = 0 .
Induktion nach n:
n = 1: Da f normiert werden kann, ist x1 ganz über dem Körper K nach
Definition 1.3, und daher ist auch A = K[x1] ganz über K nach 1.5, 1.4.
n 2: Zerlege f in seine homogenen Bestandteile f = f0 + · · · + fd mit
fd = 0 wie in 1.7. Dann ist fd(X1, . . . , Xn−1, 1) ∈ K[X1, . . . , Xn−1]. Da K
unendlich ist, gibt es also nach Aufgabe 4 Elemente λ1, . . . , λn−1 ∈ K mit
fd(λ1, . . . , λn−1, 1) = 0 . Setze yi := xi − λixn für i = 1, . . . , n − 1 . Dann
folgt durch Ausmultiplizieren:
0 = (∗) f(y1 + λ1xn, . . . , yn−1 + λn−1xn, xn)
= fd(λ1, . . . , λn−1, 1)
=0 in K
x d n + g1x d−1
n
+ · · · + gd
mit gi ∈ K[y1, . . . , yn−1] für i = 1, . . . , d . Also ist xn und damit A ganz
über K[y1, . . . , yn−1] nach 1.5 und 1.4. Nach Induktionsvoraussetzung ist
K[y1, . . . , yn−1] ganz über K , oder es gibt über K algebraisch unabhängige
Elemente Y1, . . . , Ym so, dass K[y1, . . . , yn−1] ganz über K[Y1, . . . , Ym] ist.
Aus der Transitivität der Ganzheit 1.6 folgt nun die Behauptung.
1.10 Schwacher Nullstellensatz
Lemma
Sei K ein Körper, und sei L eine Körpererweiterung von K , die als Ringerweiterung
von K endlich erzeugt sei. Dann ist L algebraisch (sogar endlich)
über K .
Beweis. Wäre L nicht ganz über K , so wäre L nach 1.9 ganz über einem
Polynomring R := K[Y1, . . . , Ym] , und R wäre nach Satz 1.3 ein Körper.
Das ist ein Widerspruch, da Y1, . . . , Ym in R nicht invertierbar sind (nach
Algebra 6.13).
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007