Lineare algebraische Gruppen - GWDG
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1.10 Schwacher Nullstellensatz 21<br />
Beweis. Der Beweis wird für den Fall geführt, dass K unendlich viele Elemente<br />
hat (der Fall |K| < ∞ ist komplizierter zu beweisen und wird hier<br />
nicht benötigt).<br />
Da A endlich erzeugt ist, gibt es x1, . . . , xn ∈ A so, dass A = K[x1, . . . , xn]<br />
gilt. Sind x1, . . . , xn algebraisch unabhängig, so folgt die Behauptung, da<br />
A ganz über A ist.<br />
Sei nun A = K[x1, . . . , xn] , wobei x1, . . . , xn algebraisch abhängig (und<br />
= 0) sind. Dann gibt es ein Polynom f ∈ K[X1, . . . , Xn] mit<br />
(∗)<br />
f(x1, . . . , xn) = 0 und f = 0 .<br />
Induktion nach n:<br />
n = 1: Da f normiert werden kann, ist x1 ganz über dem Körper K nach<br />
Definition 1.3, und daher ist auch A = K[x1] ganz über K nach 1.5, 1.4.<br />
n 2: Zerlege f in seine homogenen Bestandteile f = f0 + · · · + fd mit<br />
fd = 0 wie in 1.7. Dann ist fd(X1, . . . , Xn−1, 1) ∈ K[X1, . . . , Xn−1]. Da K<br />
unendlich ist, gibt es also nach Aufgabe 4 Elemente λ1, . . . , λn−1 ∈ K mit<br />
fd(λ1, . . . , λn−1, 1) = 0 . Setze yi := xi − λixn für i = 1, . . . , n − 1 . Dann<br />
folgt durch Ausmultiplizieren:<br />
0 = (∗) f(y1 + λ1xn, . . . , yn−1 + λn−1xn, xn)<br />
= fd(λ1, . . . , λn−1, 1)<br />
<br />
=0 in K<br />
x d n + g1x d−1<br />
n<br />
+ · · · + gd<br />
mit gi ∈ K[y1, . . . , yn−1] für i = 1, . . . , d . Also ist xn und damit A ganz<br />
über K[y1, . . . , yn−1] nach 1.5 und 1.4. Nach Induktionsvoraussetzung ist<br />
K[y1, . . . , yn−1] ganz über K , oder es gibt über K algebraisch unabhängige<br />
Elemente Y1, . . . , Ym so, dass K[y1, . . . , yn−1] ganz über K[Y1, . . . , Ym] ist.<br />
Aus der Transitivität der Ganzheit 1.6 folgt nun die Behauptung.<br />
1.10 Schwacher Nullstellensatz<br />
Lemma<br />
Sei K ein Körper, und sei L eine Körpererweiterung von K , die als Ringerweiterung<br />
von K endlich erzeugt sei. Dann ist L algebraisch (sogar endlich)<br />
über K .<br />
Beweis. Wäre L nicht ganz über K , so wäre L nach 1.9 ganz über einem<br />
Polynomring R := K[Y1, . . . , Ym] , und R wäre nach Satz 1.3 ein Körper.<br />
Das ist ein Widerspruch, da Y1, . . . , Ym in R nicht invertierbar sind (nach<br />
Algebra 6.13).<br />
<strong>Lineare</strong> Algebraische <strong>Gruppen</strong>, Universität Göttingen 2007