Lineare algebraische Gruppen - GWDG

1.6 Die Eigenschaft ” ganz“ ist transitiv 19
Definition
Sei S eine kommutative Ringerweiterung von R . Dann heißt S endlich über
R, wenn S als R-Modul endlich erzeugt ist.
Satz
(a) Für s ∈ S gilt: s ganz über R ⇐⇒ R[s] endlich über R .
(b) Es sind äquivalent:
(i) S ist endlich über R .
(ii) S wird als R-Algebra von endlich vielen ganzen Elementen erzeugt.
Beweis. (a) ” =⇒“ Da s ganz über R ist, gibt es ein normiertes Polynom
f ∈ R[X] mit f(s) = 0 . Nach Algebra 8.1 ist jedes Polynom
g ∈ R[X] darstellbar als g = hf + r mit grad(r) < grad(f) (oder
r = 0). Es folgt g(s) = h(s)f(s) + r(s) = r(s) , da f(s) = 0 ist.
Also bilden 1, s, . . . , s n−1 ein Erzeugendensystem von R[s] als R-
Modul, wobei n = grad(f) gilt.
” ⇐=“ Wende Satz 1.4 mit S = R[s] an.
(b) (i)=⇒(ii)“ Wenn S endlich über R ist, so besitzt S als R-Modul ein
”
endliches Erzeugendensystem, dessen Elemente nach Satz 1.4 ganz
über R sind. Da jedes Modulerzeugendensystem auch ein Algebraerzeugendensystem
ist, folgt (ii).
” (ii)=⇒(i)“ Sei S als R-Algebra von n ganzen Elementen s1, . . . , sn
erzeugt. Führe Induktion nach n durch:
Für n = 1 folgt die Behauptung aus (a).
Nach Induktionsvoraussetzung ist R ′ := R[s1, . . . , sn−1] endlich
über R, und nach (a) ist S = R ′ [sn] endlich über R ′ , also auch
über R .
1.6 Die Eigenschaft ” ganz“ ist transitiv
Satz
Seien R ⊂ S ⊂ T kommutative Ringerweiterungen. Wenn S über R und T
über S ganz sind, so ist T über R ganz.
Beweis. Sei t ∈ T ganz über S . Dann gibt es s0, . . . , sn−1 ∈ S so, dass
t n + sn−1t n−1 + · · · + s0 = 0 gilt. Nach Voraussetzung sind s0, . . . , sn−1
ganz über R , also ist R ′ := R[s0, . . . , sn−1] endlich über R nach 1.5 (b). Da
t ganz über R ′ ist, folgt mit 1.5 (a), dass R ′ [t] endlich über R ′ ist. Es folgt,
dass R ′ [t] endlich über R ist, und daher ist t ganz über R nach 1.4.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007