Lineare algebraische Gruppen - GWDG

1.4 Endliche Ringerweiterungen sind ganz 17
Definition
Sei S eine kommutative Ringerweiterung von R . Ein Element s ∈ S heißt
ganz über R , wenn s Nullstelle eines normierten Polynoms f ∈ R[X] ist,
d. h. wenn es ein Polynom
f = X n + an−1X n−1 + · · · + a1X + a0
mit a0, . . . , an−1 ∈ R und f(s) = 0 gibt. Der Ring S heißt ganz über R ,
wenn jedes Element s ∈ S ganz über R ist.
Beispiel
Z[i] := {a + bi | a, b ∈ Z} ⊂ C ist ganz über Z , denn
f = X 2 − 2aX + a 2 + b 2
erfüllt f(a + bi) = 0 für alle a, b ∈ Z .
Frage
Ist Q eine ganze Ringerweiterung von Z ?
Darüber gibt der folgende Satz Aufschluss:
Satz
Sei S eine ganze Ringerweiterung von R . Wenn S ein Körper ist, dann ist
R ein Körper.
Beweis. Sei r ∈ R \ {0} . Da S ein Körper ist, existiert das Inverse r −1
in S . Zu zeigen: r −1 ∈ R . Da S ganz über R ist, erfüllt r −1 eine Gleichung
mit a0, . . . , an−1 ∈ R . Es folgt
r −n + an−1r −n+1 + · · · + a0 = 0 | · r n−1
r −1 + an−1 + an−2r + · · · + aor n−1 = 0
und also r −1 = −a0r n−1 − · · · − an−1 ∈ R .
1.4 Endliche Ringerweiterungen sind ganz
Satz
Sei S eine kommutative Ringerweiterung von R . Wenn S als R-Modul
endlich erzeugt ist, so ist S ganz über R .
Beweis. Sei s ∈ S , und sei {s1, . . . , sn} ein Erzeugendensystem von S als
R-Modul. Dann ist ssi = ai1s1 + · · · + ainsn für gewisse ai1, . . . , ain ∈
R und i = 1, . . . , n , und für die Matrix A = (aij)1i,jn gilt
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007