Lineare algebraische Gruppen - GWDG

0.3 Bemerkung zur Klassifikation 13
2. Die Kreisgruppe S 1 (R) = {(a, b) ∈ R 2 | a 2 + b 2 = 1} ist eine affine
algebraische Gruppe mit der Verknüpfung
(a, b)(a ′ , b ′ ) = (aa ′ − bb ′ , ab ′ + a ′ b) ,
dem Einselement (1, 0) und dem Inversen (a, b) −1 = (a, −b) für alle
(a, b) ∈ S 1 (R) . Es ist S 1 (R) isomorph zur linearen algebraischen
Gruppe
SO2(R) :=
a −b
∈ SL2(R) ,
b a
definiert durch die Gleichungen: X11 − X22 = 0 und X12 + X21 = 0.
Diese Gruppe beschreibt die Drehungen der Ebene um 0, vgl. auch
AGLA 10.8.
Frage
Was passiert, wenn man Koeffizienten aus C zulässt?
Es ist (analog zu oben)
z1 −z2
SO2(C) :=
z2 z1
∈ SL2(C) .
Setze T :=
1 −i
−1 1
1 i . Dann ist T invertierbar mit T = 2i
i i
−1 1 , und man
hat einen Isomorphismus SO2(C) ∼ → Gm(C) C∗ mit
z1 −z2 z1 −z2
↦→ T
T
z2 z1 z2 z1
−1
z1 − iz2 0 z1 − iz2 0
=
=
0 z1 + iz2 0 (z1 − iz2) −1
.
Allgemein nennt man eine affine algebraische Gruppe G über K einen ndimensionalen
Torus, wenn es eine Körpererweiterung L von K gibt mit
G × L L ∗ × · · · × L ∗
.
n Faktoren
0.3 Bemerkung zur Klassifikation
Chevalley hat in den Jahren 1955–58 die ” halbeinfachen“ algebraischen
Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mittels ” Dynkin-
Diagrammen“ klassifiziert. Er hat auch gesehen, dass diese Gruppen über Z
und damit über jedem Körper definiert sind.
In dieser Vorlesung werden wir einige Grundlagen der Theorie der linearen
algebraischen Gruppen kennenlernen und damit Klassifikationssätze
formulieren.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007