Lineare algebraische Gruppen - GWDG

0.1 Beispiele für lineare algebraische Gruppen 11
4) Die Gruppe der Diagonalmatrizen
⎧⎛
⎪⎨ ∗
⎜
Dn(K) := ⎝
⎪⎩
0
. ..
⎞ ⎫
0
⎪⎬
⎟
⎠ ∈ GLn(K)
⎪⎭
∗
ist durch die n2−n polynomialen Gleichungen Xij = 0 für i = j definiert.
5) Die Gruppe der unipotenten Matrizen
⎧⎛
⎞ ⎫
⎪⎨ 1 ∗
⎪⎬
⎜
Un(K) := ⎝
. ..
⎟
⎠ ∈ GLn(K)
⎪⎩
⎪⎭
0 1
ist durch die polynomialen Gleichungen Xij = 0 für i > j und Xii−1 = 0
definiert.
6) Die orthogonale Gruppe
⎧
⎛ ⎞ ⎫
⎨
1 0 0 ⎬
t
O3(R) := x ∈ GL3(R) xx = ⎝0
1 0⎠
=: E3
⎩
⎭
0 0 1
ist durch die 9 polynomialen Gleichungen
X1iX1j + X2iX2j + X3iX3j − δij = 0
1 für i = j
mit i, j ∈ {1, 2, 3} definiert, wobei δij =
das Kronecker-
0 für i = j
Symbol bezeichnet. Analog ist für n > 1 die orthogonale Gruppe On(R)
durch n2 polynomiale Gleichungen definiert.
Bemerkung
Es ist O3(R) = Stab E3 der Stabilisator von E3 unter der Operation
M3×3(R) × GL3(R) → M3×3(R), (A, T ) ↦→ t T AT .
7) Die symplektische Gruppe (char(K) = 2)
Sp2m(K) = x ∈ GL2m(K) t
x
0
−Em
Em
0
ist durch (2m) 2 polynomiale Gleichungen definiert.
Lineare Algebraische Gruppen, Universität Göttingen 2007
0 Em
x =
−Em 0