Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen

Marktvolatilität 36
• Wt = Wiener Prozess
• X0 = x als Anfangswertbedingung, um aus der Differentialgleichung ein stochastisches
Anfangswertproblem zu generieren
µ steht also für den langfristigen Durchschnitt der Volatilität (σ), dient als Orientierungspunkt
und bildet eine Art Richtungslinie für die erwartete Bewegung der Volatilität. Die Eigenschaft
der Mean Reversion bedeutet nun, dass sich die Werte der Volatilität um den Durchschnitt µ
herum bewegen, wobei Abweichungen davon, d.h. Ausschläge nach oben oder unten sich
mittels einem Anstieg respektive Sinken der Volatilität jeweils wieder ausgleichen und die
Volatilität somit wieder dem Mean angeglichen wird (siehe Graphik unten).
σ
µ
Abbildung 2: Mean-Reversion der Volatilität
Anmerkung: Eigene Darstellung in Anlehnung an Hull (2003), S. 380.
Black/Scholes hatten die Volatilität noch als konstant über die Zeit angenommen, was sich
bekanntlich wider der Realität erwies. Dies veranlasste Stephen Heston dazu, das
Black/Scholes-Modell mittels einer Simulation eines Quadratwurzeldiffusionsprozesses um
eine stochastische Volatilität zu erweitern. Damit konnten sowohl der Kurs des Underlyings
als auch seine Volatilität als stochastische Prozesse dargestellt werden. 133 Die schon erwähnte
und als Heston's-Modell bekannte Erweiterung gilt als eine der wichtigsten Weiterentwicklungen
des Black/Scholes-Modells. 134 Somit wird der Volatilität eine mean-reverting Charakteristik
unterstellt. Die Mean-Reversion der Volatilität ist denn auch allgemein anerkannt und
zeigt sich auch in verschiedenen empirischen Auswertungen und Modellannahmen. 135 Dar-
133
Eine der Annahmen des Black/Scholes-Modells ist, dass die Aktienkurse einer Brownschen Bewegung folgen. Eine
Brownsche Bewegung ist auch ein stochastischer Prozess.
134 Vgl. Heston (1993) und Ausführungen unter Kapitel 2.3.2.2.
135 Vgl. u.a. Stein (1989), Grünbichler/Longstaff (1996), Rattray/Balasubramanian (2003), Moran (2004), Wagner/Szimayer
(2004) sowie Andersen et al. (2005), wo sogar ein fixer Mittelwert (Mean) unterstellt wird (S. 80). Bodmer (1996) wie-
t