Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen
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Marktvolatilität 23<br />
von Black/Scholes lässt den fairen, sprich arbitragefreien Wert einer europäischen Option<br />
berechnen, indem eine Option jederzeit über eine Kombination aus einem Basiswert und einer<br />
verzinslichen Anlage dynamisch nachgebildet, sprich repliziert, werden kann: Dadurch wird<br />
ein arbitragefreier Wert für eine Option exakt bestimmbar. Die für den Optionspreis relevanten<br />
sechs Parameter sind neben dem Preis des Underlyings, dem <strong>St</strong>rike und der Laufzeit, auch<br />
die Volatilität, der risikolose Zinssatz sowie allfällige Dividendenzahlungen des Underlyings<br />
während der Laufzeit. 78 Keine Rolle spielt in der Bewertung hingegen die erwartete Rendite<br />
des Basiswerts, obwohl dies intuitiv wohl erwartet würde. 79 Die relevanten Parameter finden<br />
sich nachfolgend anschaulich in der Black/Scholes-Formel zur Bewertung einer europäischen<br />
Call-Option (Annahme: keine Dividendenzahlungen):<br />
Gleichung 4<br />
c = S Φ<br />
Gleichung 5<br />
d<br />
1<br />
Gleichung 6<br />
0<br />
−rT<br />
( d ) − Ke Φ(<br />
d )<br />
1<br />
2<br />
( S / K ) + ( r + σ / 2)<br />
2<br />
, wobei<br />
ln 0<br />
T<br />
= und<br />
σ T<br />
d d −σ<br />
Gleichung 7<br />
T<br />
2 = 1<br />
sowie<br />
1<br />
− z<br />
2<br />
x<br />
( x)<br />
= exp dz<br />
Φ ∫− ∞ 2π<br />
Die Parameter sind:<br />
• Volatilität σ<br />
• risikofreier Zinssatz r<br />
• Laufzeit der Option T<br />
• Kurs des Underlyings S<br />
• <strong>St</strong>rikepreis K<br />
2<br />
die Verteilungsfunktion der Normalverteilung bezeichnet.<br />
78 Im ursprünglichen Modell von Black/Scholes galt die Annahme, dass während der Laufzeit der Option keine Dividenden<br />
gezahlt werden. Dividendenzahlungen können über kontinuierliche Dividendenrenditen aber relativ einfach in die Formel<br />
integriert werden, soweit die kontinuierliche Dividendenrendite eine gute Approximation zu den diskreten Dividenden<br />
darstellt. Weitere Annahmen des Modells sind: konstante Zins- und Volatilitätsentwicklung, keine Transaktionskosten<br />
und <strong>St</strong>euern, das Underlying (Aktie) folgt einer geometrischen Brown'schen Bewegung, Debitzins ist gleich Kreditzins<br />
und eine Normalverteilung der Renditen des Underlyings (vgl. Black/Scholes (1973).<br />
79 Daneben wird in der Literatur auch die Risikoaffinität des Investors als Faktor genannt, die als Einflussgrösse zu erwarten<br />
wäre, aber ebenfalls keinen direkten Einfluss auf die Optionsbewertung hat (vgl. u.a. Cox/Rubinstein (1985), S. 36f.).
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