Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen

Empirische Auswertungen 142
Werte von k eine identische Verteilungsfunktion, so dass die Verteilung von (Xi, Xi+1, ...,
Xi+k-1) mit derjenigen von (Xj, Xj+1, ..., Xj+k-1) gleich ist. Ein strikt stationärer Prozess verfügt
sowohl über einen konstanten Erwartungswert E(Xt) als auch eine konstante Varianz Var(Xt)
und Autokovarianzen Cov(Xt,Xt+k), welche nur vom Lag k abhängig sind. Die Zeitreihe kann
demzufolge beliebig verschoben werden und der Zeitpunkt des Beobachtungsbeginns spielt
keine Rolle bei der Analyse dieser Zeitreihe. 480
5.2.1.2 Schwache Stationarität
Ökonomische Zeitreihen erfüllen die Anforderungen einer strikten Stationarität selten, 481 daher
wird üblicherweise nur eine weniger restriktive Form der Stationarität, eine schwache
Stationarität oder eine Stationarität zweiten Grades, gefordert. Dabei ist zwar der Mittelwert,
nicht aber die Varianz und Autokovarianzen vom Zeitindex t abhängig und der Erwartungswert,
die Varianz und Autokovarianzen, welche nur vom Lag k abhängen, für alle Zeitpunkte
konstant. 482
Formale Bedingungen schwacher Stationarität:
Gleichung 28
( X ) = = µ = konst,
∀t
E t t
Gleichung 29
µ (Mittelwertstationarität)
2
Var t t σ
Gleichung 30
2
( X ) = σ = = konst,
∀t
(Varianzstationarität)
( X , X ) = σ , = σ = konst,
∀t,
j
Cov t t+
j t j j
Die Implikationen der Bedingungen bedeuten demzufolge, dass eine Zeitreihe, welche in identische
Intervalle aufgeteilt wird, über alle einzelnen Intervalle den gleichen Mittelwert, die
gleiche Varianz und die gleichen Autokovarianzen aufweisen müssen. Folgt demnach eine
Zeitreihe einem Trend, sind die Mittelwerte der einzelnen Intervalle nicht mehr konstant sondern
verschieden, womit eine trendbehaftete Zeitreihe gegen die Mittelwertstationarität, der
ersten Bedingung einer schwachen Stationarität, verstossen.
Nachfolgende Abbildung 45 zeigt den Verlauf des Schweizer Aktienindexes SMI über die
letzten knapp 20 Jahre. Ohne nun die Zeitreihe in verschiedene Intervalle zu unterteilen und
deren Mittelwerte zu vergleichen, zeigt der graphische Verlauf schon eindeutig, dass der SMI
über die Zeitspanne von Dezember 1987 bis Dezember 2007 gegen die Mittelwertstationarität
verstösst und demzufolge keine stationäre Zeitreihe bildet.
480 Vgl. Taylor (1986) S. 17f. und die Ausführungen in Bodmer (1996), S. 16f.
481 Granger zeigte dies schon in einer Studie in den Sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts (vgl. Granger (1966)).
482 Vgl. Taylor (1986), S. 18.Siehe dazu Bodmer (1996), S. 16ff., für detailliertere Ausführungen zum Unterschied zwischen
strikter und schwacher Stationarität sowie über Eigenschaften sogenannter White-Noise-Prozesse ("weisses Rauschen").