Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen
Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen
Strukturierte Investmentprodukte - Universität St.Gallen
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Empirische Auswertungen 142<br />
Werte von k eine identische Verteilungsfunktion, so dass die Verteilung von (Xi, Xi+1, ...,<br />
Xi+k-1) mit derjenigen von (Xj, Xj+1, ..., Xj+k-1) gleich ist. Ein strikt stationärer Prozess verfügt<br />
sowohl über einen konstanten Erwartungswert E(Xt) als auch eine konstante Varianz Var(Xt)<br />
und Autokovarianzen Cov(Xt,Xt+k), welche nur vom Lag k abhängig sind. Die Zeitreihe kann<br />
demzufolge beliebig verschoben werden und der Zeitpunkt des Beobachtungsbeginns spielt<br />
keine Rolle bei der Analyse dieser Zeitreihe. 480<br />
5.2.1.2 Schwache <strong>St</strong>ationarität<br />
Ökonomische Zeitreihen erfüllen die Anforderungen einer strikten <strong>St</strong>ationarität selten, 481 daher<br />
wird üblicherweise nur eine weniger restriktive Form der <strong>St</strong>ationarität, eine schwache<br />
<strong>St</strong>ationarität oder eine <strong>St</strong>ationarität zweiten Grades, gefordert. Dabei ist zwar der Mittelwert,<br />
nicht aber die Varianz und Autokovarianzen vom Zeitindex t abhängig und der Erwartungswert,<br />
die Varianz und Autokovarianzen, welche nur vom Lag k abhängen, für alle Zeitpunkte<br />
konstant. 482<br />
Formale Bedingungen schwacher <strong>St</strong>ationarität:<br />
Gleichung 28<br />
( X ) = = µ = konst,<br />
∀t<br />
E t t<br />
Gleichung 29<br />
µ (Mittelwertstationarität)<br />
2<br />
Var t t σ<br />
Gleichung 30<br />
2<br />
( X ) = σ = = konst,<br />
∀t<br />
(Varianzstationarität)<br />
( X , X ) = σ , = σ = konst,<br />
∀t,<br />
j<br />
Cov t t+<br />
j t j j<br />
Die Implikationen der Bedingungen bedeuten demzufolge, dass eine Zeitreihe, welche in identische<br />
Intervalle aufgeteilt wird, über alle einzelnen Intervalle den gleichen Mittelwert, die<br />
gleiche Varianz und die gleichen Autokovarianzen aufweisen müssen. Folgt demnach eine<br />
Zeitreihe einem Trend, sind die Mittelwerte der einzelnen Intervalle nicht mehr konstant sondern<br />
verschieden, womit eine trendbehaftete Zeitreihe gegen die Mittelwertstationarität, der<br />
ersten Bedingung einer schwachen <strong>St</strong>ationarität, verstossen.<br />
Nachfolgende Abbildung 45 zeigt den Verlauf des Schweizer Aktienindexes SMI über die<br />
letzten knapp 20 Jahre. Ohne nun die Zeitreihe in verschiedene Intervalle zu unterteilen und<br />
deren Mittelwerte zu vergleichen, zeigt der graphische Verlauf schon eindeutig, dass der SMI<br />
über die Zeitspanne von Dezember 1987 bis Dezember 2007 gegen die Mittelwertstationarität<br />
verstösst und demzufolge keine stationäre Zeitreihe bildet.<br />
480 Vgl. Taylor (1986) S. 17f. und die Ausführungen in Bodmer (1996), S. 16f.<br />
481 Granger zeigte dies schon in einer <strong>St</strong>udie in den Sechziger Jahren des letzten Jahrhunderts (vgl. Granger (1966)).<br />
482 Vgl. Taylor (1986), S. 18.Siehe dazu Bodmer (1996), S. 16ff., für detailliertere Ausführungen zum Unterschied zwischen<br />
strikter und schwacher <strong>St</strong>ationarität sowie über Eigenschaften sogenannter White-Noise-Prozesse ("weisses Rauschen").