Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...
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3.2 Erweiterung zum Luenberger-Beobachter 69<br />
Eine andere Möglichkeit, einen rauschoptimalen Beobachter zu entwerfen, liefert<br />
die Kalman-Bucy-Filtertheorie [Kalman und Bucy, 1961]. Das Ergebnis dieser<br />
Optimierung ist ein Luenberger-Beobachter <strong>mit</strong> einem Rückführvektor ˜ l, der über<br />
die positiv definite Lösung einer algebraischen Matrix-Riccati-Gleichung bestimmt<br />
wird.<br />
Gemäß obigen Betrachtungen muss die Beobachterdimensionierung jetzt auf ihre<br />
Robustheit gegenüber Parameteränderungen der Matrix à bzw. gegenüber dem Einfluss<br />
der Nichtlinearitäten überprüft und gegebenenfalls korrigiert werden. Hierfür<br />
werden die Parameter wertmäßig beschränkt, d. h. die Parameter können sich nur<br />
innerhalb dieser definierten Grenzen verändern. Es ist nun zu überprüfen, ob das<br />
rekurrente Netz innerhalb dieser Schranken stabil arbeiten kann. Ist dies nicht der<br />
Fall, müssen entweder die Parameterschranken oder die Beobachterdimensionierung<br />
verändert werden. Die Parameterschranken werden sinnvollerweise in der anschließenden<br />
<strong>Identifikation</strong> beibehalten.<br />
3.2.1 Anwendung der Erweiterung<br />
In diesem Abschnitt werden die zuvor dargestellten Erkenntnisse auf das rekurrente<br />
Netz übertragen. Dazu wird wie bei der Herleitung der diskreten Zustandsbeschreibung<br />
der kontinuierliche Beobachter unter Berücksichtigung der Integrationsregel<br />
diskretisiert.<br />
Bei diesen Betrachtungen wird die Differentiation ausgeschlossen. Wie ein Differentiationsglied<br />
im rekurrenten Netz bei der Erweiterung zum Beobachter berücksichtigt<br />
wird, wird in Kapitel 4 an einer realen Anwendung beschrieben.<br />
Wird der nichtlineare Systemteil berücksichtigt, kann der kontinuierliche Beobachter<br />
in der Form <br />
˙˜x = Ã + ˜ T<br />
l · ˜c ·˜x +<br />
<br />
˜b · u − ˜l · y + ˜K · ˜ NL(u, ˜x) (3.17)<br />
dargestellt werden.<br />
Ãbeo<br />
Auf dieses Gleichungssystem werden dieselben Umformungen wie in Kapitel 3.1.3<br />
angewandt, wo<strong>mit</strong> sich<br />
ˆx[k + 1] = h ·<br />
<br />
à + ˜ T<br />
l · ˜c · ˆx[k] + ˜b · u[k] − ˜l · y[k] + ˜K · ˜<br />
<br />
NL(u[k], ˆx[k]) + ˆx[k]<br />
ergibt. Durch einfache Zusammenfassungen und durch Berücksichtigung der Ausgangsgleichung<br />
ergibt sich aus dieser Gleichung die diskrete Zustandsbeschreibung