Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

2.5 Volterra-Ansatz 29
2.5.2 Eigenschaften des Volterra-Ansatzes
Der vorgestellte Ansatz der Volterra-Funktionalpotenzreihe zur Identifikation nichtlinearer
dynamischer Systeme weist folgende strukturelle Vorteile auf
• Die Volterra-Reihe ist ein allgemeiner nichtlinearer Ansatz, der wenig Vorkenntnisse
über das zu identifizierende System erfordert.
• Der Ansatz ist linear in den unbekannten Parametern und das Ausgangssignal
wird nur aus einer gewichteten Summe von Eingangssignalen gebildet. Daraus
ergeben sich zwei wesentliche Besonderheiten dieses Ansatzes
1. Mit der ungestörten Messmatrix und einem ausschließlich gestörten Ausgangsvektor
sind die Voraussetzungen für die Anwendung der einfachen
” Least-Squares“-Methode erfüllt, wodurch eine gute und schnelle Konvergenz
der Schätzung erzielt werden kann [Kurth, 1994]. Es kann jedoch
auch das zuvor beschriebene Gradientenabstiegsverfahren zur Schätzung
der Parameter verwendet werden.
2. Bei der Schätzung wird der Ausgangsfehler, nicht der Gleichungsfehler,
minimiert, wie dies bei den rekursiven Ansätzen meistens der Fall ist.
Dadurch entsteht ein echt paralleles Modell.
• Die Stabilität des geschätzten Modells ist garantiert. Selbst wenn das Eingangssignal
den Wertebereich, in dem das Modell identifiziert wurde, verlässt,
bleibt der Ausgang immer begrenzt, solange die Eingangssignale begrenzt
sind. Deshalb entfällt der für nichtlineare Systeme oft sehr schwierige Stabilitätsbeweis.
Dieser Vorteil ist darauf zurückzuführen, dass der Ansatz nicht
rekursiv ist.
Obwohl die Volterra-Reihe einige strukturbedingte Vorteile aufweist, die sie anderen
Ansätzen grundsätzlich überlegen erscheinen lässt, konnte sich die Volterra-Reihe
als Modellansatz zur Identifikation bisher nicht durchsetzen. Das liegt an der großen
Anzahl zu schätzender Parameter. Durch die Einführung von Basisfunktionen kann
die Anzahl der Ansatzfreiwerte deutlich verringert werden. Dies wird zunächst am
Beispiel linearer Systeme aufgezeigt, da sich hier das Prinzip anschaulich darstellen
lässt.
2.5.3 Basisfunktionen zur Identifikation linearer Systeme
Für lineare Systeme geht die Volterra-Reihe in die Faltungssumme über. Zur eindeutigen
Bestimmung der Ausgangssignale bei einer vorgegebenen Anregung ist dabei
die Kenntnis der Gewichtsfolge ˆ h[i] des Prozesses notwendig. Für die Identifikation
stellen die einzelnen Werte der Gewichtsfolge die gesuchten Parameter dar. Deshalb