Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

2.5 Volterra-Ansatz 27
ˆy[k] = ˆg0 + m
+ m
.
i=1
m
i1=1 i2=i1
+ m
m
i1=1 i2=i1
ˆg[i] u[k − i]
ˆg[i1, i2] u[k − i1] u[k − i2]
· · · m
iq=iq−1
ˆg[i1, i2, . . . , iq] u[k − i1] u[k − i2] · · · u[k − iq]
Es gilt hierbei z. B. für die Elemente des Kerns zweiter Ordnung
ˆg[i1, i2] = ˆg[i1, i2] ∀ i1 = i2
ˆg[i1, i2] = 2 · ˆg[i1, i2] ∀ i1 = i2
Für die Elemente der Kerne höherer Ordnung gelten analoge Zusammenhänge.
In Vektorschreibweise kann Gleichung (2.19) wie folgt geschrieben werden
Mit dem Messvektor bzw. der dynamischen Aktivierung
A T
dyn[k] =
(2.19)
(2.20)
ˆy[k] = ˆ Θ T
g · A dyn[k] (2.21)
1, u[k − 1], . . . , u[k − m],
u 2 [k − 1], u[k − 1] · u[k − 2], . . . , u 2 [k − m],
u3
[k − 1], . . .
und dem Parametervektor, der die Parameter der Volterra-Kerne enthält
ˆΘ T
g =
ˆg0, ˆg[1], . . . , ˆg[m], ˆg[1, 1], ˆg[1, 2], . . . , ˆg[m, m], ˆg[1, 1, 1], . . .
(2.22)
(2.23)
Die so gewonnene Volterra-Reihe eignet sich zur Darstellung und Identifikation von
blockorientierten nichtlinearen Systemen wie z. B. das Hammerstein- oder auch das
Wiener-Modell [Rahm, 2000].