Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...
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2.3 Statische Neuronale Netze 13<br />
bei den Gewichten zeigen an, welche beiden Perzeptronen <strong>mit</strong> diesem Gewicht verbunden<br />
werden. Der untere Index bei den Transferfunktionen gibt die Nummer des<br />
Perzeptrons an.<br />
Mit einem MLP-Netz lassen sich nichtlineare statische Funktionen hoher Dimension<br />
sehr gut approximieren. Aus regelungstechnischer Sicht ist das MLP-Netz jedoch nur<br />
bedingt geeignet, da sich eine Änderung der Stützwerte nicht lokal sondern global<br />
auswirkt [Schäffner, 1996].<br />
2.3.2 Radial-Basis-Function-Network<br />
Das Radial-Basis-Function-Network (RBF) [Poggio und Girosi, 1989] stellt die<br />
Grundstruktur der Approximatoren <strong>mit</strong> gewichteten lokalen Basisfunktionen dar.<br />
Die mathematische Beschreibung eines RBF-Netzes <strong>mit</strong> r Neuronen, den Gewichten<br />
ˆΘj und den Stützstellen ξj <strong>mit</strong> 1 ≤ j ≤ r lautet<br />
ˆyRBF =<br />
r<br />
j=1<br />
ˆΘj · e − (u−ξ j )2<br />
2·σ 2<br />
<br />
Aj(u)<br />
Hierbei bezeichnet man die Gauß’schen Glockenkurven Aj(u) als Basis- bzw. Aktivierungsfunktionen.<br />
Die Darstellung der Glockenkurven ist an die der Standardverteilung<br />
<strong>mit</strong> σ 2 angeglichen. Die Parameter der Aktivierungsfunktionen sind der<br />
Glättungsfaktor σ, der den Grad der Überlappung zwischen benachbarten Aktivierungen<br />
bestimmt, und die Stützstellen ξj, die die Lage der Zentren der Gaußglocken<br />
im Eingangsraum beschreiben.<br />
Im Allgemeinen müssen die Stützstellen ξj nicht gleichmäßig verteilt sein. Bei den in<br />
dieser Arbeit eingesetzten Approximatoren sind die Stützstellen im Eingangsbereich<br />
jedoch äquidistant verteilt. Dadurch ist der Abstand zwischen zwei Stützstellen ∆ξ<br />
konstant. Wird der Eingangsbereich, der z. B. im Fall einer Reibungskennlinie durch<br />
die maximal zulässigen Drehzahlen gegeben ist, allgemein durch umax und umin<br />
beschrieben, berechnen sich die Stützstellen zu<br />
ξj = umin + (j − 1) · umax − umin<br />
r − 1<br />
Da<strong>mit</strong> muss für die Anzahl r der Stützstellen r ≥ 2 gelten.<br />
Zur besseren Vergleichbarkeit wird der Glättungsfaktor σ auf den Abstand zwischen<br />
zwei Stützstellen normiert. Da<strong>mit</strong> gilt σnorm = σ<br />
∆ξ .<br />
Mit dem normierten Glättungsfaktor ergibt sich die mathematische Beschreibung<br />
des RBF-Netzes zu<br />
ˆyRBF =<br />
r<br />
j=1<br />
ˆΘj · Aj(u) <strong>mit</strong> Aj(u) = e − (u−ξ j )2<br />
2·σ 2 norm ·∆ξ2 (2.3)