Identifikation nichtlinearer mechatronischer Systeme mit ...

2.3 Statische Neuronale Netze 13
bei den Gewichten zeigen an, welche beiden Perzeptronen mit diesem Gewicht verbunden
werden. Der untere Index bei den Transferfunktionen gibt die Nummer des
Perzeptrons an.
Mit einem MLP-Netz lassen sich nichtlineare statische Funktionen hoher Dimension
sehr gut approximieren. Aus regelungstechnischer Sicht ist das MLP-Netz jedoch nur
bedingt geeignet, da sich eine Änderung der Stützwerte nicht lokal sondern global
auswirkt [Schäffner, 1996].
2.3.2 Radial-Basis-Function-Network
Das Radial-Basis-Function-Network (RBF) [Poggio und Girosi, 1989] stellt die
Grundstruktur der Approximatoren mit gewichteten lokalen Basisfunktionen dar.
Die mathematische Beschreibung eines RBF-Netzes mit r Neuronen, den Gewichten
ˆΘj und den Stützstellen ξj mit 1 ≤ j ≤ r lautet
ˆyRBF =
r
j=1
ˆΘj · e − (u−ξ j )2
2·σ 2
Aj(u)
Hierbei bezeichnet man die Gauß’schen Glockenkurven Aj(u) als Basis- bzw. Aktivierungsfunktionen.
Die Darstellung der Glockenkurven ist an die der Standardverteilung
mit σ 2 angeglichen. Die Parameter der Aktivierungsfunktionen sind der
Glättungsfaktor σ, der den Grad der Überlappung zwischen benachbarten Aktivierungen
bestimmt, und die Stützstellen ξj, die die Lage der Zentren der Gaußglocken
im Eingangsraum beschreiben.
Im Allgemeinen müssen die Stützstellen ξj nicht gleichmäßig verteilt sein. Bei den in
dieser Arbeit eingesetzten Approximatoren sind die Stützstellen im Eingangsbereich
jedoch äquidistant verteilt. Dadurch ist der Abstand zwischen zwei Stützstellen ∆ξ
konstant. Wird der Eingangsbereich, der z. B. im Fall einer Reibungskennlinie durch
die maximal zulässigen Drehzahlen gegeben ist, allgemein durch umax und umin
beschrieben, berechnen sich die Stützstellen zu
ξj = umin + (j − 1) · umax − umin
r − 1
Damit muss für die Anzahl r der Stützstellen r ≥ 2 gelten.
Zur besseren Vergleichbarkeit wird der Glättungsfaktor σ auf den Abstand zwischen
zwei Stützstellen normiert. Damit gilt σnorm = σ
∆ξ .
Mit dem normierten Glättungsfaktor ergibt sich die mathematische Beschreibung
des RBF-Netzes zu
ˆyRBF =
r
j=1
ˆΘj · Aj(u) mit Aj(u) = e − (u−ξ j )2
2·σ 2 norm ·∆ξ2 (2.3)