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Theorie 26
spontan neu gebildet wird, herrscht in der Flüssigkeit die Konzentration c0, die der Konzen-
tration in der Bulkphase (nicht der Gleichgewichtskonzentration) entspricht. In der neu gebil-
deten Grenzschicht ist die Konzentration cz=0 = 0 (Abb. 2.11). Wenn, wie im Falle von ober-
flächenaktiven Substanzen, eine positive Adsorption in der Grenzfläche stattfindet, das heißt
das Gleichgewicht noch nicht eingestellt ist, dann herrscht ein Konzentrationsgefälle zur
Grenzfläche hin und es diffundieren Moleküle aus der Bulkphase in die Grenzschicht. Die
Berechnung des Belegungsprozesses erfordert die Berücksichtigung der sich ändernden Ober-
fläche. Bei der Blasenbildung dehnt sich die Oberfläche aus. Für die konstante Oberflächen-
dehnung θ gilt:
1 dA
θ = ⋅
(2.22)
A dt
Im stationären Zustand ist die Menge an oberflächenaktiven Substanzen, die pro Sekunde an
der expandierenden Oberfläche adsorbiert wird, gleich der Gleichgewichtsbelegung Γ multi-
pliziert mit der Oberflächendehnung pro Sekunde [56].
1
⋅ n
s = Γ ⋅ θ
(2.23)
A
Hierbei ist n s = dns/dt
und ns die Gesamtmenge an adsorbierten Substanzen.
Es gilt weiterhin:
D
T
∂c ∂c ⎛ ∂c⎞ ⋅ = − θ⋅z⋅ ∂z ∂t ⎜
∂z
⎟
⎝ ⎠ (2.24)
mit der Relativkoordinate z zur Blasenoberfläche, wobei z = 0 auf der Blasenoberfläche liegt.
An der Blasengrenzfläche gilt [57]:
1 dΓ⋅A ⎡∂c⎤ ⋅ = DT ⋅
A dt ⎢ z ⎥
⎣ ∂ ⎦ =
Die zugehörigen Randbedingungen sind: c∞,t = c0, Cz>0,t=0 = c0 und cz=0, t=0 = 0.
z 0
(2.25)
Die Geschwindigkeit, mit der die Belegung vor sich geht wurde von Miller [57] für Tropfen
hergeleitet. Als Näherung für kleine t ergibt sich die Beziehung von Delahay [58]:
Γ (t) = 2c0
⋅
3Dt ⋅ ⋅
7 ⋅ π (2.26)