Kontrollierte Erzeugung einzelner Photonen - Tumb1.biblio.tu ...

20 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Ist jedoch diese Adiabasiebedingung erfüllt, so ergibt sich die zeitliche Entwicklung des
Dunkelzustandes im adiabatischen Limes (cb = 0) zu
˙
⎛
d.h. cd = exp ⎝−κ
cd = −κ sin 2 Θ cd
0
t
⎞
(2.63)
sin 2 Θdτ⎠
, (2.64)
d.h. der Anteil des Einphotonenzustandes Pg,1 = |〈g, 1|D〉| 2 = sin 2 Θ am Dunkelzustand zerfällt
mit der Rate κ, unter Aussendung eines Photons. Durch eine ausführlichere Rechnung
wie in Kapitel 2.2.1 mit Hamiltonoperator (2.28) anstelle von (2.39) lässt sich auch hier das
Wellenpaket des emittierten Photons in adiabatischer Näherung bestimmen. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude
einer Photonenemission zum Zeitpunkt t ergibt sich daraus entsprechend zu
Φ(t) = − √ 2κcg(t) = − √ 2κ [cd sin Θ − cb cos Θ] ≈ − √ 2κcd sin Θ (2.65)
= − √ ⎛
t
2κ sin Θ exp ⎝−κ sin 2 ⎞
Θdτ⎠
. (2.66)
0
Wie beim Purcell-Effekt eines Drei-Niveau Systems kann auch hier über die Rabifrequenz ΩP
der Mischungswinkel Θ und damit die Einhüllende des Photonenwellenpakets verändert werden.
Grundsätzlich sind dabei zwei verschiedene Bereiche zu unterscheiden, in denen die Adiabasiebedingung
Gl. (2.62) erfüllt bleibt, wobei T die Dauer des adiabatischen Transfers ist 2 :
• κT > 1: Der adiabatische Transfer wird sehr langsam durchgeführt. Im Verhältnis dazu
zerfällt der Resonator sofort. Da niemals signifikant Besetzung in den Zustand |g, 1〉
transferiert wird, ist sin Θ ≈ Θ. Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsamplitude
einer Photonenemission
Φ(t) = √ ⎛
t
2κΘ exp ⎝−κ Θ 2 ⎞
dτ⎠
. (2.67)
Durch entsprechende Wahl des Mischungswinkels Θ kann ein beliebig langes Photonenwellenpaket
erzeugt werden.
• κT < 1: Der adiabatische Transfer erfolgt sehr schnell, so dass direkt der Zustand |g, 1〉
besetzt wird, bevor der Resonator zerfallen kann. Daher ist sin Θ ≈ 1. Das im Anschluss
emittierte Photon ist nur durch den Zerfall des Resonators bestimmt mit
0
Φ(t) = √ 2κ exp (−κt) . (2.68)
Die Dauer des Photonenwellenpakets ist somit nach unten begrenzt durch die Lebensdauer
des Resonators.
2Bei konstanter Winkeländerung Θ˙ und vollständigem Transfer ist Θ ˙ π = 2T . Dann lässt sich die Adiabasie-
bedingung auch in g2
γ
π κ ≫ 2T + 2
umschreiben. Diese Bedingung lässt noch die Freiheit κT > 1 oder < 1.