Kontrollierte Erzeugung einzelner Photonen - Tumb1.biblio.tu ...

10 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
Im Prinzip bleibt jedes Drei-Niveau Quantensystem, welches zu Beginn im Zustand |φ 0 n〉
präpariert wurde, für immer in diesem Zustand. Somit kann die relative Besetzung der beitragenden
Atomzustände beliebig kontrolliert werden, indem die relative Stärke der Pump- und
Stokes-Rabifrequenzen, ΩP und 2 √ ng, verändert wird. Ein System, welches zu Beginn im Zustand
|Ψ(t0)〉 = |u, n−1〉 präpariert wird, stimmt folglich mit dem Dunkelzustand |φ 0 n〉 überein,
wenn die Bedingung 2 √ ng ≫ ΩP zu Beginn der Wechselwirkung erfüllt ist
|〈φ 0 n|Ψ(t0)〉| 2 =
Ω 2 P
4ng 2
+ 4ng2
2 √ ng≫ΩP
−−−−−−→ 1. (2.18)
Sobald das System erfolgreich im Dunkelzustand präpariert wurde und wenn der Zustandsvektor
|Ψ(t)〉 dem Dunkelzustand während der Wechselwirkung folgt, ergibt sich das Verhältnis
der Besetzung der beitragenden Zustände durch
|〈u, n − 1|Ψ(t)〉| 2
|〈g, n|Ψ(t)〉| 2
4ng2
= . (2.19)
Deshalb ist der Endzustand des Systems bestimmt durch die relativen Amplituden der zwei
Felder wenn die Wechselwirkung beendet ist. Im Prinzip erlaubt dies, beliebige Zustands-
Superpositionen von |u, n − 1〉 und |g, n〉 zu erzeugen, was sich somit auch auf die Anzahl
der Photonen im Resonator auswirkt.
Bis zu diesem Punkt wurde angenommen, dass der Zustandsvektor des Systems |Ψ(t)〉 nicht
nur in der Basis der Eigenzustände ausgedrückt werden kann, sondern auch jeder Veränderung
der Eigenzustände in Bezug auf die ungekoppelten Atom- und Resonatorzustände adiabatisch
folgt. Solch ein Verhalten ist nicht offenkundig und nur erfüllt, wenn sich die Eigenzustände
langsam verändern. Die Kriterien für ein „adiabatisches Folgen“ werden nun im Detail analysiert,
wobei die Diskussion der Beschreibung von Messiah [59, Kap.17] folgt. Der Zustandsvektor
wird ausgedrückt als Superposition des Tripletts an Eigenzuständen,
Ω 2 P
|Ψ(t)〉 = c 0 (t)| ˜ φ 0 (t)〉 + c + (t)| ˜ φ + (t)〉 + c − (t)| ˜ φ − (t)〉, (2.20)
wobei die zeitliche Entwicklung der Phasen in die modifizierten Basiszustände
| ˜ φ 0 (t)〉 ≡ exp(−i t
t0 ω0 (t ′ )dt ′ )|φ 0 (t)〉 und | ˜ φ ± (t)〉 ≡ exp(−i t
t0 ω± (t ′ )dt ′ )|φ ± (t)〉 einbezo-
gen wird. Für ein System, welches zu Beginn im Dunkelzustand | ˜ φ 0 〉 präpariert wurde, ist die
Wahrscheinlichkeit, es zum Zeitpunkt t1 in einem der anderen Eigenzustände anzutreffen
P±(t1) = |〈 ˜ φ ± (t1)|Ψ(t1)〉| 2 = |c ± (t1)| 2 . (2.21)
Eine adiabatische Entwicklung der Wechselwirkung erfordert P± ≈ 0 für alle Zeiten. Unter
Verwendung der Schrödingergleichung 〈 ˜ φ ± | d
dt |Ψ〉 = 〈 ˜ φ ± | − i
ˆ H|Ψ〉 erhält man
〈 ˜ φ ± |
j=0,±
( ˙c j − iω j c j )| ˜ φ j 〉 + c j exp
t
−i
t0
ω j dt ′
d
dt |φj
〉
= −iω ± c ± . (2.22)
Solange die nicht-adiabatischen Verluste nur eine kleine Störung verursachen, sind die Näherungen
c 0 ≈ 1 und c ∓ 〈φ ± | d
dt |φ∓ 〉 ≈ 0 gerechtfertigt und die Übergangswahrscheinlichkeit in