Kontrollierte Erzeugung einzelner Photonen - Tumb1.biblio.tu ...
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10 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen<br />
Im Prinzip bleibt jedes Drei-Niveau Quantensystem, welches zu Beginn im Zustand |φ 0 n〉<br />
präpariert wurde, für immer in diesem Zustand. Somit kann die relative Besetzung der beitragenden<br />
Atomzustände beliebig kontrolliert werden, indem die relative Stärke der Pump- und<br />
Stokes-Rabifrequenzen, ΩP und 2 √ ng, verändert wird. Ein System, welches zu Beginn im Zustand<br />
|Ψ(t0)〉 = |u, n−1〉 präpariert wird, stimmt folglich mit dem Dunkelzustand |φ 0 n〉 überein,<br />
wenn die Bedingung 2 √ ng ≫ ΩP zu Beginn der Wechselwirkung erfüllt ist<br />
|〈φ 0 n|Ψ(t0)〉| 2 =<br />
Ω 2 P<br />
4ng 2<br />
+ 4ng2<br />
2 √ ng≫ΩP<br />
−−−−−−→ 1. (2.18)<br />
Sobald das System erfolgreich im Dunkelzustand präpariert wurde und wenn der Zustandsvektor<br />
|Ψ(t)〉 dem Dunkelzustand während der Wechselwirkung folgt, ergibt sich das Verhältnis<br />
der Besetzung der beitragenden Zustände durch<br />
|〈u, n − 1|Ψ(t)〉| 2<br />
|〈g, n|Ψ(t)〉| 2<br />
4ng2<br />
= . (2.19)<br />
Deshalb ist der Endzustand des Systems bestimmt durch die relativen Ampli<strong>tu</strong>den der zwei<br />
Felder wenn die Wechselwirkung beendet ist. Im Prinzip erlaubt dies, beliebige Zustands-<br />
Superpositionen von |u, n − 1〉 und |g, n〉 zu erzeugen, was sich somit auch auf die Anzahl<br />
der <strong>Photonen</strong> im Resonator auswirkt.<br />
Bis zu diesem Punkt wurde angenommen, dass der Zustandsvektor des Systems |Ψ(t)〉 nicht<br />
nur in der Basis der Eigenzustände ausgedrückt werden kann, sondern auch jeder Veränderung<br />
der Eigenzustände in Bezug auf die ungekoppelten Atom- und Resonatorzustände adiabatisch<br />
folgt. Solch ein Verhalten ist nicht offenkundig und nur erfüllt, wenn sich die Eigenzustände<br />
langsam verändern. Die Kriterien für ein „adiabatisches Folgen“ werden nun im Detail analysiert,<br />
wobei die Diskussion der Beschreibung von Messiah [59, Kap.17] folgt. Der Zustandsvektor<br />
wird ausgedrückt als Superposition des Tripletts an Eigenzuständen,<br />
Ω 2 P<br />
|Ψ(t)〉 = c 0 (t)| ˜ φ 0 (t)〉 + c + (t)| ˜ φ + (t)〉 + c − (t)| ˜ φ − (t)〉, (2.20)<br />
wobei die zeitliche Entwicklung der Phasen in die modifizierten Basiszustände<br />
| ˜ φ 0 (t)〉 ≡ exp(−i t<br />
t0 ω0 (t ′ )dt ′ )|φ 0 (t)〉 und | ˜ φ ± (t)〉 ≡ exp(−i t<br />
t0 ω± (t ′ )dt ′ )|φ ± (t)〉 einbezo-<br />
gen wird. Für ein System, welches zu Beginn im Dunkelzustand | ˜ φ 0 〉 präpariert wurde, ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, es zum Zeitpunkt t1 in einem der anderen Eigenzustände anzutreffen<br />
P±(t1) = |〈 ˜ φ ± (t1)|Ψ(t1)〉| 2 = |c ± (t1)| 2 . (2.21)<br />
Eine adiabatische Entwicklung der Wechselwirkung erfordert P± ≈ 0 für alle Zeiten. Unter<br />
Verwendung der Schrödingergleichung 〈 ˜ φ ± | d<br />
dt |Ψ〉 = 〈 ˜ φ ± | − i<br />
ˆ H|Ψ〉 erhält man<br />
〈 ˜ φ ± | <br />
j=0,±<br />
<br />
( ˙c j − iω j c j )| ˜ φ j 〉 + c j exp<br />
<br />
t<br />
−i<br />
t0<br />
ω j dt ′<br />
<br />
d<br />
dt |φj <br />
〉<br />
= −iω ± c ± . (2.22)<br />
Solange die nicht-adiabatischen Verluste nur eine kleine Störung verursachen, sind die Näherungen<br />
c 0 ≈ 1 und c ∓ 〈φ ± | d<br />
dt |φ∓ 〉 ≈ 0 gerechtfertigt und die Übergangswahrscheinlichkeit in