Kontrollierte Erzeugung einzelner Photonen - Tumb1.biblio.tu ...

6 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen
wobei die Modenfunktion ψ(r) die Stehwelle im Resonator wiederspiegelt. Das Modenvolumen
wird definiert durch
V ≡ |ψ(r)| 2 dr = π
4 w2 Cl. (2.6)
Das elektromagnetische Feld in der Resonatormode ist quantisiert. Dadurch ist sein Zustandsvektor
im allgemeinen eine Superposition von Zuständen fester Photonenzahl, den sogenannten
Fockzuständen |n〉. Jedes Photon der Mode trägt eine Energie ωC. Für n Photonen
innerhalb der Resonatormode beträgt die Gesamtenergie ωC(n + 1),
mit der Nullpunktsener-
2
gie des Systems 1
2ωC. Der äquidistante Abstand der Energieniveaus erlaubt es den Resonator
analog einem harmonischen Oszillator zu behandeln. Folglich lässt sich den Hamiltonoperator
des Resonators mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Photonen, â †
und â, schreiben als
ˆHC = ωC â † â + 1
. (2.7)
2
Man beachte, dass dieser Hamiltonoperator keine Verluste enthält. In einem realen Resonator
zerfallen alle Photonenzustände, bis ein thermisches Gleichgewicht mit der Umgebung erreicht
ist. Im optischen Regime entspricht dies dem Vakuumzustand, |0〉, ohne Photonen im Resonator.
2.1.2 Das Jaynes-Cummings-Modell
Als Einführung behandelt das folgende Kapitel die grundlegenden Wechselwirkung eines quantisierten
Lichtfeldes mit einem Zwei-Niveau Atom, das sogenannte Jaynes-Cummings-Modell
[47, 48]. Das Energieniveauschema des Atoms setzt sich zusammen aus Grundzustand |g〉 und
angeregtem Zustand |e〉 mit deren jeweiligen Energien ωg und ωe und Übergangs-Dipol-
Matrixelement µeg. Der Hamiltonoperator des Atoms lautet
ˆHA = ωgˆσgg + ωeˆσee, mit ˆσij = |i〉〈j|. (2.8)
Die Wechselwirkung mit der Mode des elektomagnetischen Feldes des Resonators wird durch
die Atom-Resonator-Kopplungskonstante
g(r) = g ψ(r), mit g =
µ 2 egωC
2ɛ0V
(2.9)
beschrieben. Um eine möglichst starke Wechselwirkung zu erreichen, ist daher ein kleines Modenvolumen
V des Resonators vonnöten. In einem abgeschlossenen System ist aufgrund von
Energieerhaltung eine Anregung des Atoms immer begleitet von einer Absorption eines Photons
aus der Resonatormode, bzw. eine Abregung des Atoms von einer Emission eines Photons
in die Resonatormode. Diese Wechselwirkung wird durch den Hamiltonoperator
ˆH (2)
int = −g ˆσegâ + â †
ˆσge
(2.10)
beschrieben, der zur Absorption und Emission von Photonen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
â † und â enthält. Amplitude und Phase der Wechselwirkung variieren dabei
laut Gl. (2.9) je nach Aufenthaltsort r des Atoms innerhalb des Resonators.