Kontrollierte Erzeugung einzelner Photonen - Tumb1.biblio.tu ...
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6 Kapitel 2. Theoretische Grundlagen<br />
wobei die Modenfunktion ψ(r) die Stehwelle im Resonator wiederspiegelt. Das Modenvolumen<br />
wird definiert durch<br />
<br />
V ≡ |ψ(r)| 2 dr = π<br />
4 w2 Cl. (2.6)<br />
Das elektromagnetische Feld in der Resonatormode ist quantisiert. Dadurch ist sein Zustandsvektor<br />
im allgemeinen eine Superposition von Zuständen fester <strong>Photonen</strong>zahl, den sogenannten<br />
Fockzuständen |n〉. Jedes Photon der Mode trägt eine Energie ωC. Für n <strong>Photonen</strong><br />
innerhalb der Resonatormode beträgt die Gesamtenergie ωC(n + 1),<br />
mit der Nullpunktsener-<br />
2<br />
gie des Systems 1<br />
2ωC. Der äquidistante Abstand der Energieniveaus erlaubt es den Resonator<br />
analog einem harmonischen Oszillator zu behandeln. Folglich lässt sich den Hamiltonoperator<br />
des Resonators mit Hilfe von <strong>Erzeugung</strong>s- und Vernich<strong>tu</strong>ngsoperatoren für die <strong>Photonen</strong>, â †<br />
und â, schreiben als<br />
<br />
ˆHC = ωC â † â + 1<br />
<br />
. (2.7)<br />
2<br />
Man beachte, dass dieser Hamiltonoperator keine Verluste enthält. In einem realen Resonator<br />
zerfallen alle <strong>Photonen</strong>zustände, bis ein thermisches Gleichgewicht mit der Umgebung erreicht<br />
ist. Im optischen Regime entspricht dies dem Vakuumzustand, |0〉, ohne <strong>Photonen</strong> im Resonator.<br />
2.1.2 Das Jaynes-Cummings-Modell<br />
Als Einführung behandelt das folgende Kapitel die grundlegenden Wechselwirkung eines quantisierten<br />
Lichtfeldes mit einem Zwei-Niveau Atom, das sogenannte Jaynes-Cummings-Modell<br />
[47, 48]. Das Energieniveauschema des Atoms setzt sich zusammen aus Grundzustand |g〉 und<br />
angeregtem Zustand |e〉 mit deren jeweiligen Energien ωg und ωe und Übergangs-Dipol-<br />
Matrixelement µeg. Der Hamiltonoperator des Atoms lautet<br />
ˆHA = ωgˆσgg + ωeˆσee, mit ˆσij = |i〉〈j|. (2.8)<br />
Die Wechselwirkung mit der Mode des elektomagnetischen Feldes des Resonators wird durch<br />
die Atom-Resonator-Kopplungskonstante<br />
g(r) = g ψ(r), mit g =<br />
<br />
µ 2 egωC<br />
2ɛ0V<br />
(2.9)<br />
beschrieben. Um eine möglichst starke Wechselwirkung zu erreichen, ist daher ein kleines Modenvolumen<br />
V des Resonators vonnöten. In einem abgeschlossenen System ist aufgrund von<br />
Energieerhal<strong>tu</strong>ng eine Anregung des Atoms immer begleitet von einer Absorption eines Photons<br />
aus der Resonatormode, bzw. eine Abregung des Atoms von einer Emission eines Photons<br />
in die Resonatormode. Diese Wechselwirkung wird durch den Hamiltonoperator<br />
ˆH (2)<br />
int = −g ˆσegâ + â † <br />
ˆσge<br />
(2.10)<br />
beschrieben, der zur Absorption und Emission von <strong>Photonen</strong> die <strong>Erzeugung</strong>s- und Vernich<strong>tu</strong>ngsoperatoren<br />
â † und â enthält. Ampli<strong>tu</strong>de und Phase der Wechselwirkung variieren dabei<br />
laut Gl. (2.9) je nach Aufenthaltsort r des Atoms innerhalb des Resonators.