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8. Differenzierbare Funktionen
1. Definition:
Eine Funktion f heißt in x0 differenzierbar mit der
Ableitung
a = f ′ (x0), falls
ist.
f(x_0+h)
f(x_0)
lim
h−→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
x_0
h
= a
x_0+h
f(x_0+h)-f(x_0)

2. Definition: Wenn der rechtsseitige (linksseitige) Grenzwert
lim
h ց 0
h ր 0
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f ′ +(x0)
f ′ −(x0)
existiert, dann heißt f bei x0 rechtsseitig (linksseitig)
differenzierbar.
Folgerung: f bei x0 differenzierbar ⇐⇒ f bei x0 rechtsseitig
und linksseitig differenzierbar und
f ′ (x0) = f ′ +(x0) = f ′ −(x0)

3. Satz: f sei in x0 differenzierbar (einseitig differenzierbar).
Dann ist f in x0 auch stetig.
Beweis: Es gilt
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f ′ (x0) + r(h)
lim r(h) = lim
h→0 h→0 [f(x0 + h) − f(x0)
− f
h
′ (x0)] = 0
lim
h→0 [f(x0 + h) − f(x0)] = lim f
h→0 ′ (x0)h + lim hr(h) = 0 + 0
h→0
4. Definition: Wenn f in jedem x0 ∈ I differenzierbar
ist, so heißt f auf I differenzierbar.
5. Geometrische Beschreibung: In jedem Punkt
des Graphen einer differenzierbaren Funktion f kann eine
Tangente angelegt werden! Läßt sich umgekehrt in jedem
Punkt des Graphen eine Tangente anlegen, so ist f auch
differenzierbar.

6. Regeln und Beispiele
1) Es sei c ∈ IR fest und f(x) = c
f(x0 + h) − f(x0)
h
Also: f ′ (x) = 0
2) f(x) = x
f(x0 + h) − f(x0)
h
Also: f ′ (x) = 1
3) f(x) = x 2
= c − c
f(x0 + h) − f(x0)
h
= (x20 + 2x0h + h2 ) − x2 0
h
Also: f ′ (x) = 2x
h
= 0
h
= (x0 + h) − x0
h
= 0 h→0
−→ 0
= h
h
= (x0 + h) 2 − x 2 0
h
= 2x0h + h 2
h
= 1 h→0
−→ 1
=
= 2x0 +h h→0
−→ 2x0

4) Es seien f und g differenzierbar in x0 und α ∈ IR. Dann
sind auch die Funktionen
f + g f · g α · f
differenzierbar in x0 und es gilt
(f + g) ′ (x0) = f ′ (x0) + g ′ (x0)
Produktregel:
(f · g) ′ (x0) = f ′ (x0) · g(x0) + f(x0) · g ′ (x0)
(α · f) ′ (x0) = α · f ′ (x0)
Quotientenregel:
f
g
′
(x0) = f ′ (x0) · g(x0) − f(x0) · g ′ (x0)
g 2 (x0)
Merke: Wenn x0 ∈ D(f) ∩ D(g) beliebig, so läßt man
häufig die Argumente weg.
5) f(x) = x 2 (vgl. 3))
Wähle g(x) := x, dann f(x) = g(x) · g(x), also f = g · g.
Mit Produktregel:
f ′ (x) = (g·g) ′ (x) = g ′ (x)·g(x)+g(x)·g ′ (x) = 1·x+x·1 = 2x
6) f(x) = x 3
Wähle g(x) := x und h(x) = x 2 , dann f = g · h.
Mit Produktregel:
f ′ (x) = (g·h) ′ (x) = g ′ (x)·h(x)+g(x)·h ′ (x) 2),3)
= 1·x 2 +x·2x
= 3x 2

7)Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
f(x) = x n , n ∈ IN =⇒ f ′ (x) = n · x n−1
Beweis mit Induktion und Produktregel
8)Polynome
n
f(x) =
i=0
aix i
= a0 + a1 · x + a2 · x 2 + ... + an−1 · x n−1 + an · x n
=⇒ f ′ (x) = a0 · 0 + a1 · 1 + a2 · 2x + ... +
=
+an−1 · (n − 1)x n−2 + an · nxn−1
n
i=1
aiix i−1

11.) Kettenregel
g differenzierbar bei x0 und f differenzierbar bei g(x0)
andere Schreibweise:
Beispiel:
=⇒ (f ◦ g) ′ (x0) = f ′ (g(x0)) · g ′ (x0)
falls h := f ◦ g, d.h. h(x) = f(g(x))
dann h ′ (x0) = f ′ (g(x0)) · g ′ (x0)
Für h(x) = x 6 setze f(y) = y 2 und g(x) = x 3 .
Wegen h(x) = x 6 = (x 3 ) 2 = (g(x)) 2 = f(g(x)) folgt mit
f ′ (y) = 2y, g ′ (x) = 3x 2 und der Kettenregel
h ′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x) = 2g(x) · g ′ (x) = 2x 3 · 3x 2 = 6x 5

12.) Ableitung der Umkehrfunktion
f differenzierbar und g Umkehrfunktion von f:
=⇒ g ′ (x) =
1
f ′ (g(x))
Folgt durch Ableitung der Gleichung
Beispiel:
f(g(x)) = x
liefert nach 11) f ′ (g(x)) · g ′ (x) = 1
Für f(y) = y 2 , y > 0 lautet die Umkehrfunktion
g(x) = √ x
Wegen f ′ (y) = 2y folgt deshalb
g ′ (x) = 1
f ′ (g(x))
= 1
2g(x)
= 1
2 √ x
Man beachte und vergleiche mit 7):
denn
x 1 ′
2
x 1 2
′
= 1
2 x−1 2
= √ x ′ = 1
2 √ x
= 1
2 x−1 2

13. Eulersche e-Funktion:
f(x) = e x =⇒ f ′ (x) = e x
Plausibilitätsbetrachtung:
f(x) = 1 + 1 1
1! x + 2! x2 + 1
3! x3 + · · ·
ւ ւ ւ
f ′ (x) = 1 + 1 3
1! x + 1·2·3x2 + · · · = ex Vorsicht, gliedweise differenziert!
Folgerung gemäß 11) (a ∈ IR beliebig):
(e a·x ) ′ =
Folgerung gemäß 12):
e g(x)
′ 11),13) g(x) ′ a·x
= e · g (x) = e · a
(ln x) ′ = 1 1
=
eln x x

14. Allgemeine Potenzfunktion: (c ∈ IR)
denn:
(x c ) ′ = c · x c−1
(x c ) ′ = (e c ln x ) ′ = e c ln x · c
x = ec ln x · c
e 1 ln x = ce c lnx−1 lnx =
ce (c−1) lnx = cx c−1
Folgerung:
f(x) = 3√ x = x 1 3
f ′ (x) = 1
3 x−2 3 = 1
3 3√ =
x2 15. Exponentialfunktion: (a > 0)
denn:
(a x ) ′ = ln a · a x
(a x ) ′ = (e x lna ) ′ = e x lna · ln a = lna · a x
1
3( 3√ x) 2

15. Trigonometrische Funktionen:
(sin x) ′ = cosx
(cos x) ′ = − sin x
(tan x) ′ 1
=
(cosx) 2
(cot x) ′ = − 1
(sinx) 2