Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk-1 ...
Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk-1 ...
Subtraktion der Komponenten von ˜vk in Richtung von v1,v2,...,vk-1 ...
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v 1<br />
v<br />
~<br />
1<br />
v 2<br />
~<br />
v<br />
2<br />
W 2<br />
-v (v ,<br />
~<br />
v )<br />
1 1 2<br />
Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens.<br />
k. Schritt: <strong>Subtraktion</strong> <strong>der</strong> <strong>Komponenten</strong> <strong>von</strong> <strong>˜<strong>vk</strong></strong> <strong>in</strong> <strong>Richtung</strong> <strong>von</strong> <strong>v1</strong>,<strong>v2</strong>,...,<strong>vk</strong>−1<br />
und Normierung <strong>von</strong> wk auf E<strong>in</strong>s<br />
k−1<br />
wk = <strong>˜<strong>vk</strong></strong> − vi(vi,<strong>˜<strong>vk</strong></strong>)<br />
i=1<br />
<strong>vk</strong> = wk<br />
||wk||<br />
Mit {<strong>v1</strong>,<strong>v2</strong>,v3,...} hat man schließlich e<strong>in</strong> Orthonormalsystem gewonnen.<br />
Wir haben ja zu Beg<strong>in</strong>n dieses Kapitels festgestellt, dass wir mit R 2 bzw. R 3 nicht<br />
nur die Vektorräume <strong>der</strong> Parallelverschiebungen <strong>der</strong> Ebene bzw. des Raums verb<strong>in</strong>den<br />
können, die dann bei Vorliegen e<strong>in</strong>er Basis durch reelle Zahlenpaare bzw. Zahlentripel<br />
dargestelltwerden,son<strong>der</strong>nauchaff<strong>in</strong>e(Punkt)Räume.DasPendantzumBasisbegriff<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Vektorraum ist <strong>der</strong> Begriff des Koord<strong>in</strong>atensystems <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em aff<strong>in</strong>en Raum.<br />
Bei Vorliegen e<strong>in</strong>es Koord<strong>in</strong>atensystems its <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em aff<strong>in</strong>en Raum je<strong>der</strong> Punkt e<strong>in</strong>-<br />
deutig durch Angabe e<strong>in</strong>es n-Tupels <strong>von</strong> Zahlen e<strong>in</strong>deutig festgelegt.<br />
50
Def<strong>in</strong>ition 1.28 — E<strong>in</strong> (n+1)-Tupel (P0,P1,P2,...,Pn) <strong>von</strong> Punkten Pi ∈ P<br />
heißt Koord<strong>in</strong>atensystem des aff<strong>in</strong>en Raums (P,V), wenn die Vektoren<br />
−−→<br />
P0P1, −−→<br />
P0P2, −−→<br />
P0P3,..., −−→<br />
P0Pn e<strong>in</strong>e Basis des Vektorraums V s<strong>in</strong>d.<br />
Ist (P0,P1,P2,...,Pn) e<strong>in</strong> Koord<strong>in</strong>atensystem <strong>von</strong> (P,V), so existieren<br />
zu jedem Punkt X ∈ P e<strong>in</strong>deutig bestimmte Skalare x1, x2,...,xn ∈ K,<br />
sodass −−→<br />
P0X die Basisdarstellung<br />
−−→ −−→ −−→ −−→<br />
P0X = x1P0P1<br />
+x2P0P2<br />
+···+xn P0Pn<br />
besitzt. Die Skalare x1,x2,...,xn heißen Koord<strong>in</strong>aten des Punktes X<br />
bezüglich des Koord<strong>in</strong>atensystems (P0,P1,P2,...,Pn).<br />
Bemerkung — Die Dimension e<strong>in</strong>es aff<strong>in</strong>en Raums (P,V) ist gleich <strong>der</strong> Di-<br />
mension des zugehörigen Vekorraums V.<br />
Der Punkt P0 wird “Ursprung des Koord<strong>in</strong>atensystems” genannt und<br />
manchmal auch mit O bezeichnet.<br />
−−→<br />
P0X wirdOrtsvektordesPunktesX genannt.DerKoord<strong>in</strong>atenvektor<strong>von</strong><br />
−−→<br />
P0X (siehe Seite 45) ist durch die Koord<strong>in</strong>aten des Punktes X bezüglich<br />
des Koord<strong>in</strong>atensystems (P0,P1,P2,...,Pn) gegeben:<br />
⎛ ⎞<br />
−−→<br />
P0X =<br />
x1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜x2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
xn<br />
{ −−−→<br />
P0P1, −−−→<br />
P0P2,..., −−−→<br />
P0Pn}<br />
Def<strong>in</strong>ition 1.29 — Sei (P,V) e<strong>in</strong> aff<strong>in</strong>er Raum und V e<strong>in</strong> euklidischer o<strong>der</strong><br />
unitärer Vektorraum (d.h. e<strong>in</strong> reeller bzw. komplexer Vektorraum mit<br />
Skalarprodukt). Dann heißt (P,V) e<strong>in</strong> euklidischer bzw. unitär aff<strong>in</strong>er<br />
Raum.<br />
Ist { −−→<br />
P0P1, −−→<br />
P0P2, −−→<br />
P0P3,..., −−→<br />
P0Pn} e<strong>in</strong>e Orthonormalbasis <strong>von</strong> V, so heißt<br />
(P0,P1,P2,...,Pn) e<strong>in</strong> kartesisches Koord<strong>in</strong>atensystem <strong>von</strong> (P,V).<br />
51
Analytische Geometrie<br />
Sobald man <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em aff<strong>in</strong>en Raum e<strong>in</strong> Koord<strong>in</strong>atensystem e<strong>in</strong>geführt hat, wird es<br />
möglich geometrische Sachverhalte rechnerisch zu erfassen. Geometrische Beziehun-<br />
gen gehen dann <strong>in</strong> rechnerische Beziehungen zwischen Zahlen über, nämlich zwischen<br />
den Koord<strong>in</strong>aten jener Punkte, die die betrachteten geometrischen Objekte charak-<br />
terisieren.<br />
Die Lage e<strong>in</strong>es Punktes P bezüglich e<strong>in</strong>es (oft<br />
kartesischen) Koord<strong>in</strong>atensystems wird durch<br />
den Ortsvektor<br />
r = −→<br />
OP = x1e1 +x2e2 +x3e3<br />
beschrieben. Dieser Vektor verb<strong>in</strong>det den Ur-<br />
sprung des Koord<strong>in</strong>atensystems O mit dem<br />
Punkt P. Es ist e<strong>in</strong> “gebundener Vektor”, <strong>der</strong><br />
<strong>von</strong> <strong>der</strong> Wahl des Ursprungs abhängig ist und<br />
somit ke<strong>in</strong> Vektor (d.h. Element e<strong>in</strong>es Vektor-<br />
raums) im eigentlichen S<strong>in</strong>n.<br />
Wenn <strong>der</strong> Ortsvektor <strong>von</strong> e<strong>in</strong>em reellen Pa-<br />
rameter t abhängt und t die reellen Zahlen<br />
durchläuft, so beschreibt r(t) e<strong>in</strong>e Kurve im<br />
Raum.<br />
Im e<strong>in</strong>fachsten Fall ist die t-Abhängigkeit l<strong>in</strong>ear<br />
und man erhält die<br />
Parameterform e<strong>in</strong>er Geraden<br />
r(t) =r0 +ta.<br />
Der Parameter t legt die Punkte auf <strong>der</strong> Ge-<br />
raden e<strong>in</strong>deutig fest. Zu t = 0 bef<strong>in</strong>det man<br />
sich am Punkt mit Ortsvektor r0. a gibt die<br />
<strong>Richtung</strong> <strong>der</strong> Geraden vor.<br />
52<br />
e 1<br />
e 1<br />
e 1<br />
e 3<br />
e 3<br />
e 3<br />
O<br />
O<br />
O<br />
r<br />
e 2<br />
r(t)<br />
r 0<br />
e 2<br />
e 2<br />
P<br />
a
Bemerkung — DieseForm<strong>der</strong>Geradengleichungist<strong>in</strong>beliebigenDimensionen<br />
gültig.<br />
Sehen wir uns nun die Geradengleichung <strong>in</strong> 2 Dimensionen etwas näher an:<br />
<br />
r(t) =<br />
x1(t)<br />
x2(t)<br />
=r0 +ta =<br />
x01<br />
x02<br />
+t<br />
a1<br />
a2<br />
=<br />
x01 +ta1<br />
x02 +ta2<br />
.<br />
E<strong>in</strong> Vergleich <strong>der</strong> beiden <strong>Komponenten</strong> ergibt<br />
x1 = x01 +ta1 =⇒ t = (x1 −x01)<br />
,<br />
a1<br />
x2 = x02 +ta2 =⇒ t = (x2 −x02)<br />
.<br />
Gleichsetzen <strong>der</strong> beiden rechten Seiten führt schließlich zur<br />
impliziten Form <strong>der</strong> Geradengleichung (<strong>in</strong> 2 Dimensionen):<br />
(x1 −x01)<br />
= (x2 −x02)<br />
−→ x2 = (x02 − a2<br />
a1<br />
a2<br />
c ist dabei die Steigung (dx2/dx1) <strong>der</strong><br />
Geraden und ˜x02 <strong>der</strong> Schnittpunkt <strong>der</strong><br />
Geraden mit <strong>der</strong> x2 Achse.<br />
a2<br />
x01) +<br />
a1<br />
˜x02<br />
a2<br />
x1 = cx1 + ˜x02.<br />
a2 <br />
c<br />
<br />
~<br />
x<br />
02<br />
x 2<br />
Steigung c<br />
Um e<strong>in</strong>e Gerade festzulegen, brauchen wir also die Koord<strong>in</strong>aten e<strong>in</strong>es Punktes auf <strong>der</strong><br />
Geraden (Ortsvektor r0) und e<strong>in</strong>en Vektor a, <strong>der</strong> die <strong>Richtung</strong> <strong>der</strong> Geraden vorgibt.<br />
Statt des <strong>Richtung</strong>svektors kann man auch e<strong>in</strong>en zweiten Punkt (Ortsvektor r1) auf<br />
<strong>der</strong> Geraden angeben. Der Richtunsgvektor ergibt sich dann als a =r1 −r0.<br />
53<br />
x 1
In 2 Dimensionen kann die Gerade auch durch e<strong>in</strong>en Punkt (mit Ortsvektor r0) und<br />
e<strong>in</strong>en Normalvektor n auf die Gerade festgelegt werden. Dies führt zur<br />
Hesse’schen Normalform <strong>der</strong> Geradengleichung (<strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene):<br />
Wenn r <strong>der</strong> Ortsvektor e<strong>in</strong>es beliebi-<br />
gen Punktes auf <strong>der</strong> Geraden ist, so ist<br />
(r−r0) e<strong>in</strong> <strong>Richtung</strong>svektor <strong>der</strong> Gera-<br />
den, Dieser muss aber orthogonal zum<br />
Normalvektor n se<strong>in</strong>, es muss also<br />
(r −r0)·n = 0<br />
gelten. In <strong>Komponenten</strong> ausgeschrie-<br />
ben bedeutet das:<br />
<br />
<br />
x1<br />
x2<br />
−<br />
<br />
x01<br />
x02<br />
·<br />
<br />
n1<br />
n2<br />
<br />
= (x1 −x01)n1 +(x2 −x02)n2<br />
= n1x1 +n2x2 −(n1x01 +n2x02) = 0.<br />
Die <strong>Komponenten</strong> des Normalvektors<br />
lassen sich also als Koeffizienten <strong>von</strong><br />
x1 und x2 identfizieren.<br />
r 0<br />
(r-r 0 )<br />
Bemerkung — Elim<strong>in</strong>iert man aus <strong>der</strong> Parameterform <strong>der</strong> Geradengleichung<br />
im Raum den Parameter t so erhält man die implizite Darstellung <strong>der</strong><br />
Geraden <strong>in</strong> 3 Dimensionen <strong>in</strong> Form <strong>von</strong> 2 l<strong>in</strong>earen Gleichungen <strong>in</strong> den 3<br />
Unbekannten x1, x2, x3.<br />
54<br />
r<br />
n
In Analogie zu e<strong>in</strong>er Geraden kann me<strong>in</strong>e e<strong>in</strong>e Ebene durch e<strong>in</strong>en Punkt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene<br />
(mitOrtsvektorr0)und2(l<strong>in</strong>earunabhängigen)<strong>Richtung</strong>svektorenuundv festlegen.<br />
Das führt zur Parameterform <strong>der</strong> Ebene:<br />
bzw.<br />
⎛ ⎞<br />
x1(s,t)<br />
⎜ ⎟<br />
⎝x2(s,t)<br />
⎠ =<br />
x3(s,t)<br />
r(s,t) =r0 +su+tv<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x01<br />
x02<br />
x03<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠+s ⎝<br />
u1<br />
u2<br />
u3<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠+t ⎝<br />
⎛ ⎞<br />
x01 +su1 +t<strong>v1</strong><br />
⎜ ⎟<br />
⎝x02<br />
+su2 +t<strong>v2</strong>⎠<br />
.<br />
x03 +su3 +tv3<br />
DieParametersundtlegenbeivorgegebenen<strong>Richtung</strong>svektorenuundv diePosition<br />
e<strong>in</strong>es Punktes uaf <strong>der</strong> Ebene e<strong>in</strong>deutig fest. Elim<strong>in</strong>iert man aus den 3 Gleichungen für<br />
die <strong>Komponenten</strong> die Parameter s und t, so resultiert 1 l<strong>in</strong>eare Gleichung <strong>in</strong> den 3<br />
Unbekannten x1, x2 und x3. Diese Gleichung ist die implizite Form <strong>der</strong> Ebenenglei-<br />
chung. Analog zu e<strong>in</strong>er Geraden <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene lässt sich e<strong>in</strong>e Ebene im Raum auch<br />
durch e<strong>in</strong>en Punkt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene (Ortsvektor r0) und e<strong>in</strong>en Vektor n, <strong>der</strong> normal<br />
auf die Ebene steht, festlegen. Das führt zur Hesse’schen Normalform <strong>der</strong> Ebene im<br />
Raum:<br />
<strong>v1</strong><br />
<strong>v2</strong><br />
v3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(r −r0)·n = 0,<br />
wobei r <strong>der</strong> Ortsvektor e<strong>in</strong>es beliebigen Punktes <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene ist. <strong>Komponenten</strong>weise<br />
r 0<br />
O<br />
P<br />
n<br />
r<br />
u<br />
v<br />
(r-r 0 )<br />
h<strong>in</strong>geschrieben ergibt sich auch die implizite Form <strong>der</strong> Ebenengleichung:<br />
⎡⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎤<br />
⎛ ⎞<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
o<strong>der</strong> kurz<br />
⎟ ⎜<br />
⎠− ⎝<br />
x01<br />
x02<br />
x03<br />
⎟⎥<br />
⎜<br />
⎠⎦·<br />
⎝<br />
n1<br />
n2<br />
n3<br />
⎟<br />
⎠ = (x1 −x01)n1 +(x2 −x02)n2 +(x3 −x03)n3<br />
= n1x1 +n2x2 +n3x3 −(n1x01 +n2x02 +n3x03) = 0,<br />
<br />
c<br />
n1x1 +n2x2 +n3x3 = c.<br />
In dieser impliziten Darstellung e<strong>in</strong>er Ebene im Raum liefern also die Koeff<strong>in</strong>izienten<br />
<strong>von</strong> x1, x2 und x3 die <strong>Komponenten</strong> des Normalvektors auf die Ebene.<br />
55
Kennt man den Normalvektor, so lässt sich sehr e<strong>in</strong>fach <strong>der</strong> (Normal)Abstand e<strong>in</strong>es<br />
Punktes Q im Raum <strong>von</strong> <strong>der</strong> Ebene ermitteln. Es ist die Projektion des Vektors<br />
−→<br />
PQ, <strong>der</strong> <strong>von</strong> e<strong>in</strong>em Punkt P <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene zum Punkt Q geht, auf den normierten<br />
Normalvektor n/|n|:<br />
| −→<br />
FQ| = | −→<br />
PQ n<br />
|n| |,<br />
wobei F <strong>der</strong> Fußpunkt des Lots durch<br />
Q auf die Ebene ist.<br />
56<br />
P<br />
n<br />
Q