Laborübung 2 Modellbildung mit Hilfe des Lagrange ... - FH-Wels

Laborübung 2
Modellbildung mit Hilfe des
Lagrange Formalismus
Modellbildung mit dem Lagrange Formalismus und Implementierung in Simulink anhand
der Quanser Modelle ’Wagen mit Antrieb’ und ’Zweimasseschwinger’.
2.1 Lagrange-Formalismus
Die Herleitung der Bewegungsgleichungen mechanischer Modelle ist mit Hilfe der Lagrange-
Formel
µ
d ∂L
−
dt ∂ ˙qj
∂L
+
∂qj
∂R
= Qj , j =1...n (2.1)
∂ ˙qj
relativ einfach möglich. Dies gilt insbesondere für komplexere Konfigurationen. n steht
für die Anzahl der Freiheitsgrade und qj bezeichnen die Koordinate im Freiheitsgrad j.
In (2.1) ist weiters L die Lagrangefunktion
L = T − V
mit der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie V . Qj sind die generalisierten
Kräfte. Mit Hilfe des Rayleigh-Potentials R können dissipative Elemente wie Reibungen
und Dämpfer berücksichtigt werden. Diese Kräfte können natürlich auch als externe Kräfte
Qj modelliert werden.
Mit dem Vektor der Freiheitsgrade q und dem Vektor der generalisierten Kräfte Q kann
(2.1) auch als
angeschrieben werden.
d
dt
µ T
∂L
−
∂ ˙q
µ T
∂L
+
∂q
3
µ T
∂R
∂ ˙q
= Q

2.2. Wagen mit Antrieb 2. Modellbildung mit Hilfe des Lagrange Formalismus
2.2 Wagen mit Antrieb
Für dieses Modell wurden in Regelungstechnik 1 die Gleichungen mit Hilfe der Newtonschen
Gesetze (Impulssatz) hergeleitet. Nun soll das mathematische Modell mit Hilfe des
Formalismus von Lagrange erstellt werden.
2.2.1 Modellbeschreibung
Ein Wagen, von einem Gleichstrommotor mit Permanentmagneten angetrieben wird, gleitet
auf einer Schiene. Die rotatorische Bewegung des Motors wird über ein Getriebe und
ein Zahnrad in eine translatorische Bewegung übersetzt. Die Motorspannung uA dient als
Systemeingang, die aktuelle Position z stellt die Ausgangsgröße dar (Abbildung ??).
u A
R A
L A
u i
i A
Θ G
ω,ϕ
M el
Bild 2.1: Prinzipbild.
Durch das Getriebe stellt sich ein Verhältnis von Motordrehzahl ω und der Antriebszahnraddrehzahl
ωZ von
ω
= n
ωZ
ein. Bei einem verlustlosen Getriebe ergeben sich die sich einstellenden Drehmomente
indirekt proportional zu den Drehzahlen (Eingangs- und Ausgangsleistung sind gleich)
MZ
Mel
Auf den Antriebswagen wirkt noch eine, der Schlittengeschwindigkeit ˙z entgegenwirkende
geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft.
4
= n
m
M Z
ω Z
z

2.2. Wagen mit Antrieb 2. Modellbildung mit Hilfe des Lagrange Formalismus
2.2.2 Mathematisches Modell
Das Modell hat einen Freiheitsgrad (n =1) und als generalisierte Koordinate soll die
Position z verwendet werden (es könnte genauso der Drehwinkel ϕ an der Motorachse
verwendet werden). Wegen n =1vereinfacht sich mit q1 = z (2.1) zu
µ
d ∂L
−
dt ∂ ˙z
∂L ∂R
+ = Q.
∂z ∂ ˙z
Die kinetische Energie ergibt sich aus den linearen und rotierenden Anteil zu
T =
(2.2)
1
2 m ˙z2 + 1
2 Θ ˙ϕ2 .
Berücksichtigt man noch die starre Kopplung zwischen z und ϕ mit
ϕ = n
z
r
bzw.
n
˙ϕ =
r ˙z
folgt
T = 1
2 m ˙z2 + 1
2 Θ
³
n
´ 2
˙z
r
2 = 1
µ ³
n
´
2
m + Θ ˙z
2 r
2 .
Für die potentielle Energie gilt
V =0
und damit für die Lagrangefunktion
µ
m + Θ
L = T − V = 1
2
Das Rayleigh-Potential für lineare Reibung ist
R = 1
2 d1 ˙z 2
³
n
´
2
˙z
r
2 .
Damit können die Terme der linken Seite von (2.2) bestimmt werden zu
∂L
∂ ˙z =
µ
d ∂L
dt ∂ ˙z
=
µ ³
n
´
2
m + Θ ˙z
r
µ ³
n
´
2
m + Θ ¨z
r
∂L
∂z
= 0
und
∂R
∂ ˙z = d1 ˙z
Die generalisierte Kraft Q berücksichtigt externe Kräfte, also in diesem Fall das Antriebsmoment
des Motors, welches noch in eine äquivalente Antriebskraft in Richtung z
umgerechnet werden muss. Die geschieht am einfachsten über die Leistungsbilanz
Mel ˙ϕ = Fa ˙z.
5

2.2. Wagen mit Antrieb 2. Modellbildung mit Hilfe des Lagrange Formalismus
Die Leistung die der Motor an der Welle abgibt muss (bei verlustloser Übersetzung) an
der Zahnstange ankommen. Es folgt
n
Mel
r ˙z = Fa ˙z
Fa = n
r Mel.
Damit kann man die Bewegungsgleichung zusammensetzen zu
µ ³
n
´
2
m + Θ ¨z + d1 ˙z =
r
n
r Mel
Um die Ausdrücke kleiner zu halten wird die Ersatzmasse
³
n
´ 2
˜m = m + Θ
r
eingeführt, was schließlich
¨z = − d1 n
˙z +
˜m ˜mr Mel
ergibt. Die Eingangsgröße Mel wird durch einen Gleichstrommotor erzeugt, welcher im
Modell ebenfalls zu berücksichtigen ist. Die Maschengleichung für den Ankerkreis ist
uA = iARA + LA˙iA + kmω = iARA + LA˙iA n
+ km
r v
und die Beziehung für das erzeugte Moment
Mel = kmiA.
Berücksichtigt man noch ˙z = v und die Ausgangsgröße y = z erhält man das vollständige
mathematische Modell
⎡
˙z
⎤ ⎡
0 1 0
⎣ ˙v ⎦
˙iA
= ⎣ 0 − d1
0
nkm
˜m r ˜m
− nkm
⎤ ⎡
z
⎤ ⎡
0
⎤
y =
⎦ ⎣ v ⎦ + ⎣
RA − iA
rLA LA
0
1
LA
⎦ u
£ 1 0 0 ¤
⎡ ⎤
z
⎣ v ⎦ .
Das Ergebnis ist natürlich äquivalent zu jenem in Regelungstechnik 1.
2.2.3 Modellreduktion
Aufgabe 2.1 Das mathematische Modell lässt sich noch um eine Ordnung reduzieren.
Wie ist die Argumentation dabei? Was wird reduziert? Wie ist die Vorgangsweise? Berechnen
Sie das reduzierte Modell
Hinweis: Die Modellreduktion wurde in Regelungstechnik 1 ausführlich diskutiert, schlagen
Sie dort nach!
6
iA

2.3. Zweimasseschwinger 2. Modellbildung mit Hilfe des Lagrange Formalismus
2.3 Zweimasseschwinger
Dieser Abschnitt befasst sich sich mit der Modellbildung zweier über eine Spiralfeder
gekoppelter Wagen, welche im Weiteren als Zweimasseschwinger bezeichnet werden (siehe
Bild 2.2).
2.3.1 Modellbeschreibung
Als Antriebswagen wird dasselbe Quansermodul wie oben verwendet, es gelten daher die
gleichen Parameter, sowie die gleiche Konfiguration für den Antriebsstrang. Der zweite
Wagen ist frei gleitend, d.h. er hat keinen eigenen Antrieb. Es wirkt ebenfalls eine,
der Schlittengeschwindigkeit ˙z2 entgegenwirkende geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft.
Die Feder wird linear mit der Federkonstante c angenommen.
Die Wagenpositionen z1 und z2 werden von den jeweiligen Ruhepositionen der beiden
Wagen aus gemessen.
g
y
m
z 1
F
Bild 2.2: Prinzipskizze des Zweimasseschwingers.
2.3.2 Mathematisches Modell
Aufgabe 2.2 Berechnen Sie das mathematische Modell der Anordnung. Verwenden Sie
für den mechanischen Teil den Lagrange-Formalismus und ergänzen Sie den elektrischen
Kreis.
Aufgabe 2.3 Überlegen Sie sich, ob für dieses Modell eine ähnliche Modellreduktion wie
für den einfachen Wagen möglich ist.
2.4 Modellparameter
Die Parameter des Modells sind in Tabelle 2.1 angegeben. Die Zusatzmasse mZ kann bei
Bedarf am Antriebswagen oder eventuell auch am zweiten Wagen befestigt werden. Die
Feder wird masselos angenommen, d.h. mF ist im Wesentlichen die Masse der Federbefestigungselemente
und wird je zur Hälfte den beiden Wagen zugerechnet.
7
c
m
z 2
x

2.4. Modellparameter 2. Modellbildung mit Hilfe des Lagrange Formalismus
LA 180 µH Induktivität Ankerkreis
RA 2.6 Ω Widerstand Ankerkreis
km
−3 Nm
7.68 · 10 ) Motorkonstante
n 3.71
A
Vs (bzw. rad
Übersetzungsverhältnis
r 6.35 · 10−3 m Zahnradradius (Ritzel)
m1 0.51 kg Masse des Antriebswagens
mZ 0.368 kg Zusatzmasse
m2 0.61 kg Masse des zweiten Wagens
ΘG 1.9 · 10−6 kg m2 Trägheitsmoment des Antriebsstrangs
c 160 N
mF
m
0.15 kg
Federkonstante
Masse der Feder mit Befestigungselementen
d1 2.8 Ns
m
Reibungskoeffizient Wagen 1
Reibungskoeffizient Wagen 2
d2
1.1 Ns
m
Tabelle 2.1: Parameter des Modells.
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