Elektrotechnik Grundlagen 1 - Otto-von-Guericke-Universität ...
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OTTO - VON - GUERICKE - UNIVERSITÄT MAGDEBURG<br />
<strong>Elektrotechnik</strong><br />
<strong>Grundlagen</strong> 1<br />
für<br />
Ingenieurinformatik<br />
Dr.-Ing. E. Weise<br />
Fakultät für <strong>Elektrotechnik</strong> und Informationstechnik<br />
ETGrundl04
Inhaltsverzeichnis<br />
0. Einführung 3<br />
1. Grundbegriffe Strom/Spannung/Widerstand 5<br />
2. Berechnung <strong>von</strong> Gleichstromkreisen 7<br />
2.1 Berechnung vermaschter linearer Stromkreise 9<br />
2.1.1 Überlagerungssatz 11<br />
2.1.2 Zweipoltheorie 13<br />
3. Der Feldbegriff in der <strong>Elektrotechnik</strong> 16<br />
3.1 Das elektrische Feld 16<br />
3.1.1 Strömungsfeld stationär 16<br />
3.1.2 elektrostatisches Feld 17<br />
3.1.3 Kondensator 18<br />
3.1.4 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld 20<br />
4. Das Magnetfeld 24<br />
4.1 Energie und Kräfte im Magnetfeld 27<br />
4.2 Kräfte auf stromdurchflossene Leiter 28<br />
4.3 Induktionsgesetz 29<br />
4.4 Wirbelströme und Stromverdrängung 31<br />
4.5 Selbst und Gegeninduktion 32<br />
5. Wechselstromtechnik 41<br />
5.1 Zeitliche Mittelwerte <strong>von</strong> Sinusgrössen 41<br />
5.2 Sinusförmige Spannungen und Ströme im Zeigerdiagramm 43<br />
5.3 Spannungs- und Stromzeiger bei den Grundschaltelementen 44<br />
5.4 Berechnung <strong>von</strong> Wechselstromschaltungen 45<br />
5.4.1 Resonanz 47<br />
5.5 Wechselstromleistung 49<br />
6. Drehstromkreis und Drehstromsysteme 54<br />
6.1 Verkettung des Dreiphasensystems 54<br />
6.2 Leistung im Dreiphasensystem 57<br />
7. Schutzmaßnahmen in Niederspannungsanlagen 60<br />
7.1 Allgemeines 60<br />
7.2 Netzformen 62<br />
7.3 Kurzcharakteristika der Schutzmaßnahmen 62<br />
7.3.1 Schutzisolierung 62<br />
7.3.2 Schutzkleinspannung und Funktionskleinspannung 63<br />
7.3.3 Schutztrennung 63<br />
7.4.1 Schutzmaßnahmen mit Überstromschutzeinrichtung im TN-Netz63<br />
7.4.2 Schutzmaßnahmen im TT-Netz 65<br />
7.4.3 Schutzmaßnahmen im IT-Netz 65<br />
7.5 Schutz durch erdfreien örtlichen Potentialausgleich 65<br />
7.6 Prüfung elektrischer Anlagen 66<br />
2
0. Einführung<br />
Die <strong>Elektrotechnik</strong> ist eine sehr junge Wissenschaft und deshalb in ihrer Struktur und in der<br />
mathematischen technischen Beschreibung nach modernen Gesichtspunkten klar und einfach<br />
strukturiert . Noch Anfang dieses Jahrhunderts wurde <strong>Elektrotechnik</strong> als Spezialisierung in<br />
maschinenbautechnischen- bzw. physikalisch-technischen Fachrichtungen gelehrt. Im<br />
wissenschaftlichen Entwicklungsprozess entstanden in sehr kurzer Zeit durch den enormen<br />
Wissenszuwachs eine Reihe <strong>von</strong> Fachrichtungen, die jeweils Spezialgebiete der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
beinhalten: wie z.B.<br />
Entwicklungen in der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Theoretische <strong>Grundlagen</strong><br />
1720 -1900<br />
Energietechnik<br />
1867 - 1900 Gleichstr.<br />
1890 - Wechselstrom<br />
1942 - Kernkraft<br />
1985 - alternativ<br />
Elektr.Maschinen und -Antriebe<br />
1867 - 1900 Wirkprinzipien<br />
1900 - 1940 Theorien<br />
1929 - Regeleinrichtungen<br />
1955 - digittale Regelungen<br />
Grobstruktur<br />
Starkstromtechnik Schwachstromtechnik<br />
Vorlesung " <strong>Elektrotechnik</strong>" G 1 E. Weise<br />
Nachrichtentechnik<br />
1887 - 1929 Grdl.<br />
1930 - 1960 analoge T.<br />
1955 - digitale T.<br />
Halbleiterelektronik<br />
1949 - Transistor<br />
1960 - integrierte Technik<br />
Theoretische <strong>Elektrotechnik</strong> (mathematische Behandlung elektrotechnischer Problemstellungen)<br />
Elektrische Maschinen (Berechnung, Entwurf, Konstruktion, Betriebsverhalten und<br />
Anwendung)<br />
Hochspannungstechnik (Erzeugung, Anwendung, Berechnung, konstruktive Gestaltung <strong>von</strong><br />
Hochspannungsanlagen und Geräten)<br />
Elektronik (physikalische <strong>Grundlagen</strong>, Technologie, Schaltungstechnik,<br />
Anwendung Informationselektronik, elektronische Steuer- und<br />
Regeltechnik, elektronische Rechentechnik usw.)<br />
Energietechnik (Erzeugung, Transport, Verteilung <strong>von</strong> Elektroenergie,<br />
Netztechnik, Steuerung und Regelung der Erzeugung und Verteilung<br />
<strong>von</strong> Elektroenergie, Schutztechnik)<br />
Aus dieser unvollständigen Aufzählung wird schon die Bedeutung und Breite des zu behandelnden<br />
Stoffgebietes erkennbar. Die wesentliche Aufgabe dieser Lehrveranstaltung wird also darin bestehen,<br />
einen Überblick über das Stoffgebiet und gleichzeitig praktisch anwendbare <strong>Grundlagen</strong> zu vermitteln<br />
um Problemstellungen zu erkennen und einfache Probleme selbständig zu lösen und mit Spezialisten<br />
der <strong>Elektrotechnik</strong> Gemeinschaftsarbeit praktizieren zu können.<br />
Chronologie der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
1791 Galvani veröffentlicht seine Froschschenkelversuche<br />
1793 Volta (und Pfaff) stellen eine Spannungsreihe der Metalle auf<br />
1799 Volta Konstruktion der "Voltaischen Säule"<br />
1806 Davy veröffentlicht die Theorie der Elektrolyse<br />
1820 Oerstedt entdeckt den Elektromagnetismus<br />
1821 Sebeck entdeckt die Thermoelektrizität<br />
1826 Ohm entwickelt den Zusammenhang zwischen Strom-Spannung-Widerstand (Ohms`sches<br />
Gesetz)<br />
1831 Faraday entdeckt die Induktion<br />
1843 Joule Messung des Wärmeäqivalentes <strong>von</strong> Strömen<br />
Becquerel führt photochemische Versuche durch<br />
1844 Wheatston`sche Brückenschaltung entwickelt<br />
1859 Plante entwickelt den Bleiakkumulator<br />
1866 Siemens entdeckt das elektrodynamische Prinzip<br />
3
Entwicklung der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
an ausgewählten Beispielen<br />
Theoretische <strong>Grundlagen</strong><br />
550 v.u.Z. Thales Beschreibung der elektrische Eigenschaften des Bernsteins<br />
440 v.u.Z. Leukipp und Demokrit Entwicklung <strong>von</strong> Gedanken zum Atombegriff<br />
1665 O.v.<strong>Guericke</strong> Elektrisiermaschine<br />
1729 Gray Leiterbegriff, Nichtleiterbegriff<br />
1785 Coulomb Coulombsches Gesetz (Ladung, Strom,Zeit)<br />
1799 Volta Entdeckung der Spannungsreihe und Voltaìsche Säule<br />
1820 Oersted Entdeckung des Elektromagnetismus<br />
1826 Ohm formuliert den Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand<br />
1831 Faraday Entdeckung der elektromagnetischen Induktion<br />
1845 Kirchhoff Gesetze zur Stromverzweigung<br />
1866 Wheatstone Entdeckung des Prinzips der Selbsterregung<br />
1873 Maxwell Formulierung der Theorie des elektromagnetischen Feldes<br />
1887 Hertz Entdeckung der schnellen elektrischen Schwingungen<br />
1931 Wilson Konzept der "Löcherleitung" in Halbleitern<br />
1939 Schottky, W. Vorstellung der Sperrschichttheorie<br />
1949 Shockley Entwicklung der Theorie der p-n- Übergänge<br />
Energietechnik<br />
1752 Franklin Blitzableiter<br />
1867 Siemens Bau der ersten betriebsreifen Dynamomaschine<br />
1873 Fontaine Übertragung <strong>von</strong> E-Energie über eine Distanz <strong>von</strong> 1 km<br />
1880 Edison Bau des ersten Elektrizitätskraftwerkes<br />
1884 Gibbs Entwicklung des Transcormators<br />
1885 Tesla/Ferraris Elektrisches Drehfeld und Mehrphasenströme<br />
1886 erstes Stadtwerk mit Akkumulatorenbetrieb in Dessau<br />
1886 Bernardos Entwicklung eines Elektroschweißgerätes<br />
1887 1. Parallelbetrieb zweier Kraftwerke (Markgrafenstraße-Mauerstraße Berlin)<br />
1890 1. Wechselstromkraftwerk in Europa<br />
1891 Lauffen-Frankfurt 170 km 100 kW 25000V Drehstrom Wirkungsgrad 75%<br />
1905 erste deutsche 50 kV Übertragung Moosburg - München<br />
1911 erste deutsche 110 kV Übertragung Lauchhammer - Riesa<br />
1923 erste deutsche 220 kV Übertragung Ronsdorf - Lethmate<br />
1926 erste deutsche 380 kV Übertragung Köln - Vorarlberg<br />
1942 Fermi 1. Kernreaktor in Chicago wird in Betrieb genommen<br />
1834 Jacobi<br />
Maschinen und Antriebe<br />
erster einsatzfähiger Elektromotor<br />
1866 Siemens Entdeckung des dynamoelektrischen Prinzipes<br />
1869 Gramme / Edison<br />
Maxim / Altenbeck<br />
Verbesserungen der elektrischen Maschinen<br />
1881 erste elektrische Straßenbahn<br />
1885 Ferraris/Tesla Entwicklung <strong>von</strong> Wechsel und Drehstrommaschinen<br />
1889 Dobrowolski Asynchronmotor<br />
1890 Tesla Generator für Wechselstrom<br />
1895 USA Einsatz <strong>von</strong> Elektrolokomotiven<br />
1922/25 Einsatz <strong>von</strong> Quecksilberdampfgleichrichtern bei Bahnmotoren<br />
1929 Pasterini u. Scheufer Entwicklung <strong>von</strong> Regeleinrichtungen für elektrische Maschinen<br />
1935 Josifjan Entwicklung eines Thyratron - gespeisten Antriebes<br />
Vorlesung <strong>Elektrotechnik</strong> <strong>Grundlagen</strong> 1 G2 E. Weise<br />
Entwicklungen in der Elektronik<br />
(ausgewählte Beispiele)<br />
Nachrichtentechnik<br />
1837 S. Marx Erfindung des elektromagnetischen Schreibtelegrafen<br />
1861 Reis Erfindung des Telefones<br />
1887 Hertz Entdeckung der schnellen elektromagnetischen Schwingungen<br />
1895 Popow Hochantenne für drahtlose Telegrafie<br />
1904 Hülsmeyer Reflektion elektromagnetischer Wellen<br />
1919 Bontsch u.a. Bau der ersten großen Senderöhre<br />
1924 1. Kurzwellenfunklinie zwischen Nauen und Buenos Aires<br />
1927 1. drahtloser Fernsprechverkehr über den Atlantik<br />
1925 1. Fernsehübertragung in den USA (Nipkowscheibe)<br />
1945 Goldmark 1. praktisch anwendbares Farbfernsehen<br />
Halbleitertechnik<br />
1928 Berzelsius Entdeckung des Siliziums<br />
1938 Entwicklung der Siliziumkristalldiode<br />
1941 Entwicklung der Germaniumdiode<br />
1946 Entwicklung des Siliziumfotoelementes<br />
1948 Bardain, Brattain, Shockley Entwicklung des Transistors<br />
1948 Punktkontakt- und Feldeffekttransistor<br />
1951 Planartransistor<br />
1956 Thyristor<br />
1959 Weltproduktion Transistoren: 100 Mill Stück !<br />
1960 Siliziumplanartransistoren ermöglichen Integration<br />
1963 1. integrierte Schaltungen werden hergestellt<br />
1967 Herstellung integrierter Großschaltkreise<br />
1972 Mikroprozessoren-Schaltkreise in Serienproduktion<br />
Bauelemente und Geräte<br />
1897 Braun Entwicklung der Elektronenröhre<br />
1903 Wehnelt Wehneltzylinder<br />
1904 Flemming Diodenröhre<br />
1907 Forest Triode<br />
1910 v. Lieben Entwicklung der Gitterröhre<br />
1913 Meißner 1. stabiler Verstärker zu Erzeugung ungedämpfter Schwingungen (Meißnersche Rückkopplung)<br />
Franck/Hertz Quantenhafte Emission <strong>von</strong> Licht<br />
1926 Busch 1. Elektronenlinse (Grundlage der Elektronenoptik)<br />
1931 v. Ardenne 1. elektronisches Fernsehen (Berliner Funkausstellung)<br />
1933 1. Elektronenmikroskop<br />
Vorlesung <strong>Elektrotechnik</strong> <strong>Grundlagen</strong> 1 G3 E. Weise<br />
4
1. Grundbegriffe<br />
Strom und Ladung<br />
Der elektrische Strom ist die zeitliche Änderung <strong>von</strong> Ladungsträgern<br />
i = dq/dt [A] q=Ladungsmenge [As]<br />
Jede Änderung der Ladungsmenge(Größenänderung, Bewegungsänderung) wird als elektrischer<br />
Strom definiert.<br />
(Einheit (A) Definition: 1A dann, wenn die Kraft zwischen zwei parallelen linienhaften 1 m langen<br />
Leitern 2 x 10 -7 N beträgt.)<br />
entsprechend ist: q = ∫ i(<br />
t)<br />
dt<br />
i = konst. = I ≡ Gleichstrom<br />
q = konst = Q ≡ statische Ladung<br />
Die Ladungsmenge ist quantifizierbar in der ( kleinsten ) Einheit der Elementarladung:<br />
e = - 1,6 * 10 -19 As [1As = 1C] [C]= Coulomb<br />
Strom - Ladungträgerbewegung - in festen Leitern Elektronen<br />
- in flüssigen Leitern Ionen<br />
- in gasförmigen Leitern Ionen<br />
Wirkungen: Magnetfeld, Erwärmung und Stofftransport bei Ionenleitung<br />
Spannung<br />
Die elektrische Spannung wird über die Leistung definiert:<br />
) [ W ]<br />
[ A]<br />
[ Ws]<br />
[ As]<br />
Leistung(<br />
P Energie(<br />
W )<br />
U[<br />
V ] =<br />
=<br />
Strom(<br />
I)<br />
Ladung(<br />
Q)<br />
mit der Einheit "Volt" [V] . Entlang eines Stromweges tritt eine elektrische Spannung bei<br />
Energieumsatz auf. Dieser Energieumsatz kann sowohl "verbrauchend" als auch "erzeugend" wirken<br />
(Quelle ≡ Erzeuger, Senke ≡ Verbraucher). Entsprechend werden zur Unterscheidung dieser<br />
Wirkungen zwei Formelzeichen für die Spannung benutzt :<br />
Uq = Urspannung, Quellspannung<br />
U = Spannungsabfall<br />
Ebenso wie der Strom wird die Spannung als "richtungsbehaftete" Größe betrachtet und entsprechend<br />
dem benutzten Zählpfeilsystem positiv oder negativ angewandt. Man kann zwei Zählpfeilsysteme<br />
unterscheiden:<br />
Verbraucherzählpfeilsystem: verbrauchte Leistung > 0 U>0 in Richtung des Stromflusses am<br />
Verbraucher<br />
Erzeugerzählpfeilsystem : erzeugte Leistung > 0 Uq>0 in Richtung des Stromflusses in<br />
der Quelle<br />
Bei Anwendung des Verbraucherzählpfeilsystemes ergeben sich damit folgende Festlegungen für die<br />
positiven Zählrichtungen <strong>von</strong> Strom, Spannungsabfällen und Urspannung im Stromkreis:<br />
I<br />
U<br />
Positive Zuordnung <strong>von</strong> Strömen und Spannungen im Verbraucherzählpfeilsystem<br />
oder<br />
R<br />
U - Spannungsabfall<br />
-<br />
I<br />
Uq<br />
+<br />
Uq - Quellspannung<br />
Die Urspannung als antreibende Kraft für den elektrischen Strom wird im Verbraucherzählpfeilsystem<br />
in ihrer positiven Zählrichtung so definiert das der Stromfluß innerhalb der Quelle <strong>von</strong> - nach + und<br />
außerhalb der Quelle <strong>von</strong> + nach - (entgegen der physikalischen Elektronenbewegung !) positiv<br />
gezählt wird.<br />
Urspannungsentstehung: fotoelektrisch<br />
galvanisch<br />
Induktion<br />
piezoelektrisch<br />
durch Reibung<br />
thermoelektrisch<br />
I<br />
Uq<br />
5
Widerstand<br />
U<br />
=<br />
I<br />
ρ ⋅ l l<br />
R = =<br />
A κ ⋅ A<br />
Definitionsgleichung (Ohmsches Gesetz) R [ Ω]<br />
Bemessungsgleichung<br />
ρ = 1 / κ<br />
Wobei ρ [ Ωmm2 /m] den spezifischen Widerstand bzw. κ [ S m/mm2 ] die spezifische Leitfähigkeit<br />
des jeweiligen Materials darstellt.<br />
Leitwert G = 1/ R [ S ] [Siemens] [ 1/Ω]<br />
Wie das Ohmsche Gesetz darlegt stellt der Widerstand R den Proportionalitätsfaktor zwischen Strom<br />
und Spannung dar. Bei konstantem Widerstand ergibt sich eine lineare (Ursprungsgerade) Strom -<br />
Spannungskennlinie. Bei vielen technischen Anwendungen ergeben sich aber nichtlineare<br />
Zusammenhänge zwischen Strom und Spannung:<br />
I<br />
Lichtbogen<br />
I<br />
Brennspannung<br />
Zündspannung<br />
U<br />
U<br />
ohmscher Widerstand Glühkatode<br />
I<br />
I<br />
Polarisationsspannung<br />
Galvanisches Bad<br />
U<br />
U<br />
I<br />
Glühwendel<br />
I<br />
Gleichrichter<br />
Vorlesung <strong>Elektrotechnik</strong> 1 Strom - Spannungskennlinien<br />
Weise<br />
Für die Berechnungen in Kreisen mit nichtlinearen Widerständen kann um die Anwendung des<br />
Ohmschen Gesetzes zu ermöglichen eine Linearisierung der jeweiligen Widerstandskennlinie in den<br />
interessierenden Bereich erfolgen.<br />
z.B. bei der Temperaturabhängigkeit ohmscher Widerstände so:<br />
ρ = ρ 20 (1 1 + α 20 ( θ − 20 20ο C ))<br />
damit gilt für R: Rθ = R20 ( 1 + α 20 ( θ − 20oC ))<br />
Es wird der jeweilige temperaturabhängige Widerstand Rθ durch Linearisierung der Kennlinie in<br />
einem bestimmten Bereich ( hier im Raumtemperaturbereich ) mittels des jeweiligen<br />
Temperaturbeiwertes α berechnet.<br />
α 20 ca. 0,4 %/grad für alle Nichtferromagnetika (Metalle)<br />
α 20 ca. 0,6 %/grad für alle Ferromagnetika (Metalle)<br />
Einige Legierungen wie z.B. Konstantan oder Manganin besitzen Temperaturbeiwerte nahe Null;<br />
Halbleiterwerkstoffe und Kohlenstoff haben sogar negative Temperaturbeiwerte. ( Letzteres bedeutet,<br />
daß sich der Widerstand mit höher werdender Temperatur verringert.)<br />
Leistung und Energie<br />
Der Energiesatz als eines der fundamentalsten Gesetze der Physik besitzt auch für die<br />
Energieumwandlung in elektrischen Systemen Gültigkeit. Er lautet:<br />
W = ΣWν= konst.<br />
U<br />
U<br />
6
d.h. Die Summe der Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant (zeitunabhängig). Mit<br />
der Einführung der Energieänderung je Zeiteinheit erhält man die Leistungsbeziehung:<br />
p ν = dWν ν / dt<br />
dW / dt = Σ = 0<br />
Damit ergibt sich für abgeschlossene Systeme ( entsprechend den Stromkreisen ) eine<br />
Bilanzgleichung für die zugeführte und abgegebene Energie bzw. Leistung des Systems nach<br />
folgenden Schemata:<br />
U i<br />
Ri<br />
U q<br />
Σ p ν<br />
Quelle Verbraucher<br />
Werden die Leistungen durch die dem elektrischen System eigenen Größen ausgedrückt gilt:<br />
U K<br />
I<br />
Ua<br />
I<br />
Ra<br />
p(t) = u(t) * i(t) = d w(t) / dt<br />
w(t) =<br />
⌡⌠ u(t) i(t) dt = ⌡⌠ p(t) dt<br />
Bei Gleichwerten gilt: W = U I t [Ws]<br />
2. Berechnung <strong>von</strong> Gleichstromkreisen<br />
P = U I ( mit Ohmschem Gesetz) = U 2 / R = I 2 R [W]<br />
Ausgehend vom Grundstromkreis der in den Erzeugerzweipol und den Verbraucherzweipol aufgeteilt<br />
wird ergeben sich folgende Beziehungen:<br />
U i<br />
Ri<br />
Quelle Verbraucher<br />
U q<br />
U K<br />
aktiver Zweipol passiver Zweipol<br />
Erzeuger (Quelle) Verbraucher<br />
Werz = Wverbr. (Energiesatz) bezogen auf gleiche Zeiten: Perz = Pverbr. ausgedrückt durch die<br />
elektrischen Größen gilt: Uq I = U I bezogen auf einen Strom ( einen Umlauf) und<br />
allgemeingültig<br />
wird diese Beziehung Σ Uq = Σ U (Zweiter Kirch`hoffscher Satz)<br />
Für den obigen Stromkreis (Grundstromkreis) gilt die Spannungsbeziehung Uq = Ui + Ua mit dem<br />
Ohmschen Gesetz werden die Spannungsabfälle durch I R ersetzt<br />
Uq = I (Ri + Ra )<br />
I = Uq /(Ri + Ra)<br />
Für den Gesamtwiderstand in Reihe geschalteter Widerstände (werden vom gleichen Strom<br />
durchflossen) gilt: Rges = Σ Rν = = R1 + R2 + R3 .......<br />
Spannungsteilerregel:<br />
I<br />
I<br />
Ua<br />
U U<br />
1 2<br />
Mit U 1 = I R 1 und U 2 = I R 2 und U = I ( R 1 + R 2 ) kann die Aufteilung <strong>von</strong> Spannungen an<br />
Widerständen die vom gleichen Strom durchflossen werden aufgeschrieben werden:<br />
U 1 / U 2 = R 1 / R 2<br />
U 1 / U = R 1 / ( R 1 + R 2 )<br />
U<br />
Ra<br />
I<br />
7
Einfacher verzweigter Stromkreis<br />
Hier erfolgt eine Stromaufteilung zwischen den parallelen Zweigen, die mit den Widerständen R 1 und<br />
R2 behaftet sind. Die Stromaufteilung erfolgt zwischen den beiden Knoten A und B entsprechend den<br />
Leitwerten der jeweiligen Zweige.<br />
U 1<br />
I<br />
1<br />
R 1<br />
A<br />
B<br />
I<br />
Für die obige Schaltung gilt für den Teil zwischen A und B: U AB = U R1 = U R2<br />
I ges = I R1 + I R2<br />
U AB / R ges = U AB / R 1 + U AB / R 2<br />
Daraus folgt nach Elimination der Knotenspannung U AB 1 / R ges = 1/.R 1 + 1/ R 2<br />
1/ R ges = Σ 1/ R ν<br />
mit 1/ R = G G = G 1 + G 2 + G 3 + ..........<br />
Für die Ströme an den Knoten gilt: Σ I zu = Σ I ab ( 1. Kirch`hoffscher Satz)<br />
Stromteilerregel:<br />
Mit I 1 = U AB / R 1 und I 2 = U AB / R 2 und I = U AB / R ges kann die Stromaufteilung an den<br />
beiden Widerständen R 1 und R 2 angegeben werden:<br />
I 1 / I 2 = R 2 / R 1<br />
die Ströme teilen sich entsprechend den Leitwerten zwischen den Zeigen auf ( sie verhalten<br />
umgekehrt proportional den Widerstandswerten der Zweige. Wird das Verhältnis Teilstrom zum<br />
Gesamtstrom ( Strom der der Verzweigungsstelle zufließt) gebildet, so gilt :<br />
I 1 / I = R ges / R 1 R ges = R 1 R 2 / (R 1 + R 2 )<br />
U 2<br />
der Gesamtwiderstand ist hier nicht der gesamte Widerstand der Schaltung sondern nur der<br />
Gesamtwiderstand der Verzweigungsstelle ( Widerstand zwischen den beiden Knoten). Allgemein gilt :<br />
Teilstrom zum Gesamtstrom wie der gegenüberliegende Teilwiderstand zum Ringwiderstand der<br />
Masche wird :<br />
I 1 / I = R 2 / R 1 + R 2<br />
Bei gemischten Schaltungen erfolgt die Widerstandsberechnung durch Kombination der Beziehungen<br />
für die Gesamtwiderstandsbestimmung bei Reihen- und Parallelschaltung wie z.B.:<br />
R 1=<br />
45Ω<br />
R<br />
2<br />
= 30 Ω<br />
R<br />
3<br />
= 5Ω<br />
U = 230 V<br />
R ges = R 1 //R 2 + R 3 + R 4 //R 5 //R 6 = 38 Ω<br />
I 2<br />
R 2<br />
U AB<br />
R 4=<br />
45Ω<br />
R 5=<br />
30 Ω<br />
R<br />
6<br />
= 90 Ω<br />
R 1 //R 2 = 18 Ω R 4 //R 5 //R 6 = 15 Ω<br />
I ges = U ges<br />
R ges =<br />
230 V<br />
= 6,05 A<br />
38Ω<br />
U12 = I . R12 = 108,9 V I1 = U12 108,9 V<br />
R<br />
= = 2,42 A<br />
1 45 Ω<br />
8
U 3 = I . R 3 = 30,25 V I 3 = I ges<br />
U 456 = I . R 456 = 90,75 V I 4 = U 456<br />
R 4 =<br />
I5 = U456 90,75 V<br />
R<br />
=<br />
5 30 Ω = 3,02 A I6 = U456 R<br />
=<br />
6<br />
I2 = U12 108,9 V<br />
R<br />
= = 3,63 A<br />
2 30 Ω<br />
90,75 V<br />
= 2,01 A<br />
45 Ω<br />
90,75 V<br />
= 1,008 A<br />
90 Ω<br />
U ges = U 12 + U 3 + U 456 = 108,9 V + 30,25 V + 90,75 V = 229,9 V<br />
Andere Möglichkeit der Berechnung : Stromteilerregel anwenden<br />
2.1 Berechnung vermaschter linearer Stromkreise<br />
Ein universelles Rechenverfahren für die Berechnung solcher Kreise ( vorzugsweise Kreise mit<br />
mehreren Spannungsquellen) ist die Berechnung mittels der " Kirchhoffschen Sätze " dar. Am Beispiel<br />
eines Stromkreises bei dem zwei Spannungsquellen mit Innenwiderstand einen<br />
Verbraucherwiderstand speisen. soll dieses Verfahren demonstriert werden:<br />
Zwei gleiche Gleichstromgeneratoren, deren Innenwiderstände jeweils 0,03 Ω betragen, sind<br />
parallel geschaltet. Sie sind versehentlich falsch eingestellt worden, so daß die Spannungen<br />
U q1 = 230 V und U q2 = 225 V betragen.<br />
a) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild !<br />
b) Wie groß ist der sich einstellende Ausgleichsstrom bei abgeschaltetem Netz ?<br />
c) Berechnen Sie die Ströme in den Generatorzweigen sowie den Laststrom und die Netz-<br />
spannung, wenn im Netzbetrieb ein Außenwiderstand <strong>von</strong> 20 Ω anliegt !<br />
d) Diskutieren Sie das jeweils erhaltene Ergebnis !<br />
In das zu bearbeitenden Netzwerk werden im ersten Schritt Zählpfeile eingeführt:<br />
a) Ersatzschaltbild:<br />
b) Abgeschaltetes Netz:<br />
U q1<br />
R R<br />
i1 i2<br />
U q1<br />
I<br />
R<br />
i1<br />
R<br />
i2<br />
I<br />
U q2<br />
U q2<br />
Maschengleichung ohne Außenwiderstand:<br />
- U q1 + U q2 + I . R i1 + I . R i2 = 0<br />
- U q1 + U q2 = - I . (2 R i )<br />
U Netz<br />
I = - ( - Uq1 + Uq2 - 230 V + 225 V<br />
2 R<br />
) = - ( ) = 83,33 A<br />
i<br />
0,06 Ω<br />
Bei abgeschaltetem Netz stellt sich ein Ausgleichsstrom <strong>von</strong> 83,33 A ein.<br />
U a<br />
9
c) Netzbetrieb mit R a = 20 Ω :<br />
R R<br />
i1 i2<br />
U q1<br />
I1<br />
K1<br />
I 2<br />
I3<br />
U<br />
q2<br />
M I M II<br />
Maschengleichung mit Außenwiderstand:<br />
Masche I : - U q1 + U q2 + I 1 . R i1 + I 2 . R i2 = 0<br />
Masche II: - U q2 - I 2 . R i2 + I 3 . R a = 0<br />
Knoten 1 : I 1 = I 2 + I 3<br />
Einsetzungsverfahren: 1. Knoten 1 nach I 2 umstellen und in Masche I + II<br />
einsetzen<br />
- U q1 + U q2 + I 1 . R i1 + I 1 . R i2 - I 3 . R a = 0<br />
-U q2 - I 1 . R i2 + I 3 . R i2 + I 3 . R a = 0<br />
2. Zweite Gleichung nach I 3 umstellen und in die Erste einsetzen:<br />
I 3 = U q2 + I 1 . R i2<br />
R i2 + R a<br />
R<br />
a<br />
- U q1 + U q2 + I 1 . R i1 + I 1 . R i2 - ( U q2 + I 1 . R i2<br />
R i2 + R a ) . Ri 2 = 0<br />
- Uq1 + Uq2 + I1 . Ri1 + I1 . Ri2 - ( Uq2 Ri2 + I1 . R 2<br />
i2<br />
Ri2 + R<br />
) = 0<br />
a<br />
- Uq1 + Uq2 + I1 . (Ri1 + Ri2 -<br />
Ri2 2<br />
Ri2 + R<br />
) -<br />
a Uq2 Ri2 Ri2 + R<br />
= 0<br />
a<br />
3. Erhaltene Gleichung nach I 1 umstellen:<br />
I 1 =<br />
+U q1 - U q2 + U q2 R i2<br />
R i2 + R a<br />
R i1 + R i2 - R i2 2<br />
R i2 + R a<br />
=<br />
+230 V - 225 V + 225 V . 0,03 Ω<br />
0,03 Ω+ 20Ω<br />
(0,03 Ω)<br />
0,03 Ω + 0,03 Ω -<br />
2<br />
0,03 Ω + 20Ω<br />
5,33 V<br />
I1 =<br />
0,059955 Ω = 88,89 A Bei zugeschaltetem Netz mit dem gegebenen Ra ergibt sich ein Strom I1 <strong>von</strong> 88,89 A.<br />
4. Berechnung <strong>von</strong> I2 , I3 und Ua durch Rückeinsetzen in die vorherigen<br />
Gleichungen:<br />
Masche I : - Uq1 + Uq2 + I1 . Ri1 + I2 . Ri2 = 0<br />
I 2 = U q1 - U q2 - I 1 . R i1<br />
R i2<br />
Knoten 1: I 3 = I 1 - I 2 = 88,89 A - 77,77 A = 11,11 A<br />
= 230 V - 225 V - 2,66 V<br />
= 77,77 A<br />
0,03 Ω<br />
Netzspannung: U a = I 3 . R a = 222,20 V<br />
d) Interpretation der erhaltenen Ergebnisse:<br />
Bei nur 5 V Spannungsdifferenz und 11A Laststrom werden die Generatoren mit 89 A und<br />
78 A belastet !<br />
Problem des Netzbetriebes !<br />
10
Achtung: Die positiven Zählrichtungen für Ströme und Maschenumläufe können beliebig gewählt<br />
werden!<br />
Die positive Zählrichtung der (((Urspannungen E muß entsprechend dem<br />
Verbraucherzählpfeilsystem ( <strong>von</strong> - nach + an der Spannungsquelle) entspricht der positiven<br />
Zählrichtung.)))) Quellspannung Uq ( <strong>von</strong> + nach - an der Spannungsquelle) eingetragen<br />
werden.<br />
Durch Auszählen der Zweigströme ( Strom zwischen zwei Knoten) erhält man die Anzahl der für die<br />
Lösung des Systems notwendigen Gleichungen (entspricht den "Freiheitsgraden" des Systems).<br />
Die Festlegung der Maschen kann beliebig innerhalb des Netzwerkes erfolgen. Sinnvoll bei<br />
Netzwerken sind jedoch meist nur Maschen, die in sich geschlossen sind. Es sollten<br />
zweigübergreifende Maschen (im obigen Beispiel Masche III ) vermieden werden. Die Aufstellung der<br />
Maschengleichungen erfolgt auf der Basis des zweiten Kirchhoffschen Satzes:<br />
sind Maschenumlaufrichtung und Stromzählpfeilrichtung identisch dann positives Vorzeichen ;<br />
sind Maschenumlaufsinn und Zählpfeilrichtung nicht identisch dann negatives Vorzeichen!<br />
Für die Urspannungen gilt die Vorzeichenregelung entsprechend.<br />
ΣUν = 0 = ΣUq +Uν wobei Uν = Iν Rν Die Aufstellung der Knotenpunktsgleichungen erfolgt auf der Basis des ersten Kirchhoffschen Satzes,<br />
wobei die Ströme entsprechend der selbst gewählten Zählpfeilfestlegung berücksichtigt werden:<br />
Σ Ιzu = Σ Ιab Die Zahl und Art der aufzustellenden Gleichungen ergibt sich aus folgender Beziehung:<br />
m + (n - 1) = Anzahl der Gleichungen<br />
Die Zahl der Gleichungen ist gleich der Zahl der Zweigströme!<br />
m entspricht der Zahl der Maschengleichungen und n entspricht der Zahl der im Netzwerk<br />
vorhandenen Knoten.<br />
Für das obige Beispiel müssen zur Lösung zwei Maschengleichungen z.B. <strong>von</strong> Masche I und Masche<br />
II und eine Knotenpunktsgleichung aufgestellt werden.<br />
Masche I : - Uq1 + Uq2 + I1 . Ri1 + I2 . Ri2 = 0<br />
Masche II: - U q2 - I 2 . R i2 + I 3 . R a = 0<br />
Knoten 1 : I 1 = I 2 + I 3<br />
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems kann nach allen mathematisch üblichen Verfahren<br />
(wie z. B. Einsetzverfahren bei geringer Gleichungsanzahl, unter Anwendung der Cramer´schen<br />
Regel, Gauß´scher Algorithmus o.ä.) erfolgen.<br />
2.1.1 Überlagerungssatz<br />
Wenn in einem Netzwerk mit mehreren Spannungsquellen nach Strömen oder Spannungsabfällen<br />
gesucht wird, so kann man sich diese Größen als Summe der Größen vorstellen, die jede einzelne<br />
Spannungsquelle im Kreis hervorruft! Wenn also z.B. drei Spannungsquellen in einem Netzwerk<br />
vorhanden sind (Uq1 , Uq2 und Uq3 ) dann müsste sich jeder einzelne Strom in diesem Netzwerk als<br />
Summe der Teilströme <strong>von</strong> den einzelnen Spannungsquellen herrührend darstellen lassen.<br />
Beispiel:<br />
Berechnen Sie den Strom im Widerstand R 2 nach dem Superpositionsprinzip für<br />
R 1,4 = 4 Ω<br />
R 2,3 = 2 Ω<br />
U q1 = 4 V, U q3 = 2 V und U q2 = 8 V !<br />
R 1<br />
Uq1<br />
R 2<br />
Uq2<br />
Jeder Strom in einem Zweig errechnet sich aus der Summe aller durch diesen Zweig fließenden<br />
Teilströme, die durch jeweils eine Quellenspannung des gesamten Netzwerkes angetrieben werden.<br />
R<br />
4<br />
R 3<br />
Uq3<br />
11
Da I 2 gesucht ist, müssen nacheinander alle Quellenspannungen kurzgeschlossen werden, um<br />
die jeweils durch R 2 fließenden Teilströme zu berechnen.<br />
I 2 = k 1 . U q1 + k 2 . U q2 + k 3 . U q3 = I' 2 + I'' 2 + I''' 2 (vorzeichenbehaftet !!)<br />
a) Kurzschluss <strong>von</strong> U q2 und U q3<br />
Uq1<br />
I'<br />
2<br />
I' 2 ( R 1 + R 2 ) + U q1 = 0 I' 2 =<br />
b) Kurzschluss <strong>von</strong> U q1 und U q3<br />
I'' 2<br />
I (( R 1 + R 2 )//R 3 //R 4 ) - U q2 = 0<br />
I'' 2 =<br />
U q2<br />
(R 1 + R 2 )//R 3 //R 4 .<br />
c) Kurzschluss <strong>von</strong> U q1 und U q2<br />
d) Berechnung <strong>von</strong> I 2<br />
I<br />
-Uq1 -4 V<br />
R1 + R<br />
= = - 0,66 A<br />
2 6 Ω<br />
U q2<br />
R 3 //R 4<br />
R 3 //R 4 + R 1 + R 2 =<br />
I'''<br />
2<br />
I''' 2 = 0<br />
I 2 = I' 2 + I'' 2 + I''' 2 = -0,66 A + 1,33 A + 0 = 0,67 A<br />
8 V . 1,33 Ω<br />
= 1,33 A<br />
1,09 Ω 7,33 Ω<br />
Für die Berechnung der Einzelströme werden alle nicht erforderlichen Spannungsquellen durch<br />
"Kurzschluß" ersetzt. Also bei I21 die Spannungsquellen Uq2 und Uq3 bei I22 die Spannungsquellen Uq1<br />
und Uq3 und bei I23 die Spannungsquellen Uq1 und Uq2 ersetzt. Die jeweiligen Einzelströme können<br />
dann wie in einem Stromkreis mit einer Spannungsquelle berechnet werden. Die positive Zählrichtung<br />
<strong>von</strong> I2 wird durch einen Zählpfeil (Richtung frei wählbar) festgelegt. Durch die Zählpfeilzuordnung an<br />
den jeweiligen Spannungsquellen liegen die Stromrichtungen im interessierenden Netzteil fest, so daß<br />
die wirksame Stromsumme gebildet werden kann.<br />
Das Rechenverfahren kann wie folgt schematisiert werden:<br />
1. Festlegung der Stromsumme (ggf. Spannungsabfälle)<br />
2. Berechnung der Einzelströme (Spannungsabfälle) für jeweils eine Spannungsquelle. Dabei<br />
werden alle anderen Spannungsquellen durch Kurzschluß ersetzt.<br />
3. Vorzeichenbehaftete Addition der Einzelströme (Spannungsabfälle) zum gesuchten Gesamtwert.<br />
U q3<br />
12
Dieses Rechenverfahren findet auch in der Wechselstromtechnik Anwendung, insbesondere dann<br />
wenn Ströme und Spannungen verschiedener Frequenzen mit gleichen Zeitfunktionen oder<br />
unterschiedlichen Zeitfunktionen aus verschiedenen Quellen auf einen Verbraucher geschaltet<br />
werden. (Mischverfahren in der Signalverarbeitung und Unterhaltungstechnik)<br />
2.1.2 Zweipoltheorie<br />
Der Grundgedanke bei Anwendung dieses Verfahrens ist : Jedes Netzwerk kann auf einen<br />
Grundstromkreis (bestehend aus Innenwiderstand, Spannungsquelle und Außenwiderstand d.h. in<br />
einen Stromkreis der aus einem aktiven und passiven Zweipol besteht) zurückgeführt werden! Für<br />
diese Zweipole gelten dann die einfachen Gesetzmäßigkeiten des Grundstromkreises.<br />
U i<br />
Ri<br />
Quelle Verbraucher<br />
U q<br />
U K<br />
aktiver Zweipol passiver Zweipol<br />
Erzeuger (Quelle) Verbraucher<br />
Wird dieses Verfahren auf das Beispiel zwei Spannungsquellen mit Innenwiderstand speisen einen<br />
Verbraucher, dessen Strom bei gegebenen Widerständen und Urspannungen bestimmt werden soll<br />
angewandt ergibt sich:<br />
Lösung mit Zweipoltheorie<br />
R R<br />
i1 i2<br />
U q1<br />
M<br />
I<br />
U q2<br />
U L<br />
R<br />
a<br />
I<br />
R iers<br />
Ua<br />
U qers<br />
I a = U qers<br />
R iers + R a R iers = R i1 //R i2 = 0,0175 Ω U qers = U L<br />
Masche bilden: U q1 - U q2 + I . (R i1 + R i2 ) = 0 I = -U q1 + U q2<br />
R i1 + R i2 = 71,42 A<br />
U Ri2 = I . R i2 = 71,42 A . 0,035 Ω = 2,5 V<br />
U L = U Ri2 + U q2 = 2,5 V + 225 V = 227,5 V I a = U qers<br />
R iers + R a = 11,36 A<br />
Die Berechnung vereinfacht sich auf die Grundstromkreisberechnungen wobei die Ersatzurspannung<br />
und der Ersatzinnenwiderstand bestimmt werden müssen.<br />
Ersatzurspannung:<br />
Wenn man sich den Stromkreis an den Klemmen aufgeschnitten vorstellt, hat der Strom I a den Wert<br />
Null. Damit wird auch der Spannungsabfall an R iers gleich Null, die jetzt an den Klemmen auftretende<br />
Spannung (Leerlaufspannung) ist identisch mit der Ersatzquellspannung. Die Berechnung dieser<br />
Spannung kann mit Hilfe aller bekannten Verfahren der Stromkreisberechnung erfolgen. Die<br />
praktische Bestimmung dieser Spannung ist einfach durch Spannungsmessung mittels eines<br />
hochohmigen Instrumentes möglich.<br />
Ersatzinnenwiderstand:<br />
Der Ersatzinnenwiderstand ist der Widerstand des Netzwerkes bei abgeklemmtem Außenwiderstand<br />
und Kurzschluss aller Spannungsquellen! Praktisch kann der Ersatzinnenwiderstand durch eine<br />
Strommessung (niederohmiges Instrument) bei Kurzschluß des Außenwiderstandes erfolgen<br />
R iers = U qers / I k , wobei I k den Kurzschlußstrom repräsentiert.<br />
Da im praktischen Betrieb Leerlaufmessungen relativ leicht, aber Kurzschlußmessungen kaum<br />
durchgeführt werden können werden zur Bestimmung <strong>von</strong> Ersatzinnenwiderstand und<br />
Ersatzquellspannung Betriebsmessungen durchgeführt. Dabei wird die Kennlinie des aktiven und des<br />
passiven Zweipols bestimmt. Der Schnittpunkt beider Kennlinien ist der sich einstellende Arbeitspunkt.<br />
I<br />
Ra<br />
U L<br />
I a<br />
R<br />
a<br />
13
Oder es werden Messungen mit zwei unterschiedlichen Außenwiderständen durchgeführt so erhält<br />
man zwei Gleichungen (für jeden Arbeitpunkt eine Gleichung) mit deren Hilfe Ersatzinnenwiderstand<br />
und Ersatzquellspannung berechnet werden können.<br />
U qers = I 1 R iers + I 1 R a1<br />
U qers = I 2 R iers + I 2 R a2<br />
bzw.: I k = U qers /R iers = U Leerlauf / R iers<br />
Dieses Verfahren kann somit sehr vorteilhaft für die Vorausbestimmung <strong>von</strong> Strömen und<br />
Spannungen (z.b. der sich ergebende Spannungsabfall ΔU oder die sich einstellende<br />
Klemmspannung U a bei bestimmten Außenwiderständen R a ) eingesetzt werden, die sich ergeben,<br />
wenn ein definierter Verbraucher angeschlossen werden muss. Auch die Vorausberechnung <strong>von</strong><br />
Kurzschlußströmen ist einfach möglich ( wesentlich in der Netztechnik).<br />
Leistungsumsatz und Betriebsart am Grundstromkreis<br />
Ausgehend <strong>von</strong> dem Schaltbild des Grundstromkreises können die Spannungs- und<br />
Stromverhältnisse wie folgt beschrieben werden:<br />
U/Uq= R a /(R i +R a ) I/I k = R i /(R i +R a )<br />
Für eine allgemeingültige Darstellung ist es sinnvoll diese Beziehungen mit Hilfe des<br />
Widerstandsverhältnisses R a /R i auszudrücken (Normierung auf R i ). In den dazugehörigen Kurven<br />
können dann folgende Betriebspunkte des Stromkreises hervorgehoben werden:<br />
R a /R i = 0 Kurzschluss: U/Uq = 0 I/I k = 1<br />
R a /R i = 1 Anpassung : U/Uq = 1/2 I/I k = 1/2<br />
R a /R i = > Leerlauf : U/Uq = 1 I/I k = 0<br />
Um den Verlauf zwischen diesen Punkten zu analysieren kann eine Kurvendiskussion durchgeführt<br />
werden:<br />
z.B.: y = 1 / 1+x mit y = i / i k und x = R a /R i >= 0 wird dy/dx = - 1/(1+x) 2 < 0 und d 2 y/dx 2<br />
= 2/(1+x) 3 >0 Also liegen weder Extrema noch Wendepunkte vor, die Beziehungen <strong>von</strong> y und dy/dx<br />
haben einen monotonen Verlauf. Für die erzeugte elektrische Leistung gilt:<br />
P = Uq I = I 2 (R a + R i )<br />
Für die Verlustleistung im Innenwiderstand der Spannungsquelle (im aktiven Zweipol) gilt:<br />
P i = I 2 R i<br />
Für die im Verbraucher ( in R a ) umgesetzte Leistung ergibt sich:<br />
P a = I 2 R a = Uq 2 R a / (R i + R a ) 2 mit I = Uq / (R i + R a )<br />
Für den Wirkungsgrad des Grundstromkreises gilt damit:<br />
η = P a / P = R a /(R a +R i ) = 1 / (1 + R i /R a )<br />
Wird z. B. für die im Verbraucher umgesetzte Leistung P a eine Kurvendiskussion durchgeführt ( z.B.<br />
ist dann das Maximum <strong>von</strong> p a = E 2 R a /(R i +R a ) 2 aus dp a /dR a = 0 zu ermitteln und d 2 p a /dR a 2 < 0<br />
am Ort des Extremwertes zu bestimmen , so kann man folgendes ermitteln:<br />
Bei maximaler Verbraucherleistung wird das Verhältnis R a /R i = 1. Die maximale Leistung tritt also im<br />
Anpassungsfall s.o. d.h. wenn Ra = Ri auf! Der Wert der maximalen Leistung wird dann E2 / 4Ri und der Wirkungsgrad η = 0,5 !<br />
Mit diesen Grundsatzüberlegungen kann die Betriebsweise <strong>von</strong> Stromkreisen charakterisiert werden:<br />
z.B. In der Signalverarbeitungstechnik (Meßtechnik, Sensorik Informationselektronik usw.) wird meist<br />
eine maximale Verbraucherleistung bei vorgegebenen Innenwiderstand gefordert. Bei den geringen<br />
Leistungsumsatz solcher Kreise ist der Wirkungsgrad <strong>von</strong> untergeordneter Bedeutung. Diese Kreise<br />
werden also vorzugsweise im Anpassungsfall d.h. Ra /Ri = 1 und η = o,5 betrieben.<br />
In der elektrischen Energietechnik werden große Leistungen umgesetzt, der Wirkungsgrad des<br />
Gesamtsystems ist hier <strong>von</strong> entscheidender Bedeutung. Es wird daher in solchen Systemen ein<br />
optimaler Wirkungsgrad durch ein möglichst großes Verhältnis <strong>von</strong> Ra / Ri angestrebt. ( D.h. diese<br />
Kreise müssen in der Nähe des Leerlaufs mit großen Spannungswerten betrieben werden!!)<br />
14
U<br />
U q<br />
η, Pa<br />
1<br />
0,5<br />
Leerlaufspannung<br />
1<br />
passiver Zweipol<br />
aktiver Zweipol<br />
Kurzschlußstrom<br />
η = f(Ra/Ri)<br />
I K<br />
P a = f(Ra/Ri)<br />
(Ra/Ri)<br />
I<br />
15
3. Der Feldbegriff in der <strong>Elektrotechnik</strong><br />
Allgemein werden energetische Raumzustände physikalisch als Felder bezeichnet. Ein Feld ist ein<br />
Teil eines Raumes, in dem einer physikalischen Größe in jedem Punkt nach einer bestimmten<br />
Funktion ein bestimmter Wert (skalar oder vektoriell) zugeordnet wird. (z.B. Temperaturfeld,<br />
Höhenlinien einer Karte oder Gravitationsfeld)<br />
Da alle elektrischen Vorgänge in Raum und Zeit stattfinden sind die mathematisch-physikalischen<br />
Beschreibungen grundsätzlich die Berechnung <strong>von</strong> „Feldern“ –<br />
Die Darstellung erfolgt jeweils mittels Feldlinien = Abstrahierung auf lineare Probleme<br />
Die Berechnung wird auf homogene Felder zurückgeführt = Abstrahierung auf ingenieurmäßig einfach<br />
handhabbare Gleichungen.<br />
Vernachlässigung <strong>von</strong> sog. Randproblemen = Beschränkung auf die wesentlichen bzw.<br />
interessierenden Erscheinungen.<br />
Folgende Felder werden in der <strong>Elektrotechnik</strong> definiert:<br />
Elektrisches Feld Stationäre- und Strömungsfelder<br />
Magnetisches Feld<br />
Elektromagnetisches Feld<br />
3.1 Elektrisches Feld<br />
3.1.1 Strömungsfeld (stationär)<br />
z.B. Darstellung mittels Feldlinien d.h. gerichtete (vektorielle) Größen<br />
dI<br />
S = wenn I ⊥ A dann<br />
dA<br />
I<br />
A 1<br />
l 1<br />
I<br />
S 1 = und<br />
A1<br />
ρ ⋅ l<br />
U 1 R1<br />
A1<br />
A2<br />
U<br />
= wenn ρ1 = ρ2 gilt: = = =<br />
U 2 R<br />
ρ ⋅ l<br />
2<br />
2 A1<br />
U<br />
A2<br />
Spannung entlang einer Wegstrecke. U = I ⋅ R<br />
1<br />
l 2<br />
A 2<br />
I<br />
S 2 = also gilt:<br />
A<br />
1<br />
2<br />
2<br />
S 1 A2<br />
= Strom- Felddichte<br />
S<br />
2<br />
A<br />
1<br />
wie bekannt, die Stromstärke ist proportional der<br />
Zweite Feldgröße: Feldstärke<br />
- je größer die Stromdichte, desto größer muss die antreibende Kraft – die Feldstärke sein! –<br />
ρ ⋅ l<br />
1 U 1<br />
dU 1<br />
mit: U = I ⋅ R = I = ρ ⋅ S ⋅ l = ⋅ S ⋅ l also: = ⋅ S allgemein: = dS<br />
A<br />
χ<br />
l χ<br />
dl χ<br />
dU 1<br />
Feldstärke: E = = ⋅ dS die Feldstärke ist die auf einen Längsabschnitt bezogenen<br />
dl<br />
χ<br />
Spannung. E pos. In Richtung des Spannungsabfalls<br />
- wenn U || l und A ⊥ I d.h. U Richtung dann algebraische Gleichung:<br />
1<br />
- S = ⋅ E oder S = χ<br />
⋅ E<br />
ρ<br />
16
dQ<br />
+ F<br />
-<br />
Auf Punktladung dQ zwischen zwei geladenen Metallplatten wird eine Kraft ausgeübt !<br />
U<br />
F<br />
F ≈ dQ Proportionalitätsfaktor E F = E ⋅ dQ E = Feldstärke ist ein Maß für die auf eine<br />
dQ<br />
bestimmte Ladung ausgeübte Kraft. Als positive Richtung wird die Richtung der Kraft auf eine positive<br />
⎡<br />
VAs<br />
⎢ 1⋅<br />
1⋅<br />
N<br />
Ladung definiert . Maßeinheit: ⎢E<br />
= =<br />
m<br />
⎢ 1⋅<br />
As As<br />
⎢⎣<br />
Beziehung zwischen Spannung und Feldstärke:<br />
B<br />
A<br />
dl<br />
E<br />
=<br />
⎤<br />
V ⎥<br />
⎥ s.o.<br />
m⎥<br />
⎥⎦<br />
dW = ∫ Fdl<br />
(skalare Produkt zweier Vektoren) mit F = E dQ dW = dQ ⋅ ∫ E ⋅dl<br />
d.h.<br />
A<br />
B<br />
dW<br />
dU<br />
U AB = = ∫ E ⋅ dl im obigen Bild (gleiche Richtung) also: E = Feldstärke ist die auf einen<br />
dQ<br />
dl<br />
A<br />
Längenabschnitt bezogene Spannung!<br />
Potential: = Spannung zwischen einem frei wählbaren Bezugspunkt und dem betrachteten Punkt<br />
A<br />
ϕ A = ∫ E ⋅ dl = U A0<br />
Maß für die Energie, die notwendig ist um eine Ladung vom Bezugspunkt 0<br />
0<br />
nach Punkt A zu bringen.<br />
B<br />
Allgemein gilt: U AB = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ϕ B − ϕ A<br />
0<br />
ihrer Potentialdifferenz! ∫ E ⋅ dl = 0 (Maschensatz)<br />
A<br />
0<br />
B<br />
Die Spannung zwischen zwei Punkten ist gleich<br />
Flächen mit gleichem Potential heißen Äquipotentialflächen! Für Sie gilt: Δϕ = ∫ E ⋅ dl = 0<br />
Gilt nur, wenn E ⊥ dl !<br />
3.1.2 elektrostatisches Feld<br />
ϕ ϕ<br />
1 2<br />
C<br />
+ -<br />
D H<br />
U AB<br />
ϕ 3<br />
E<br />
Wenn κ = 0 dann S = κ E = 0 Stromdichte gleich Null. D.h. Nichtleiter!! Es findet kein Ladungtransport<br />
statt. Trotzdem können in derartigen Räumen Erscheinungen (Kraftwirkung auf Ladungsmengen)<br />
beobachtet werden.<br />
Es werden Feldlinien, Äquipotentialflächen und Feldstärke wie im elektrischen Strömungsfeld definiert.<br />
B<br />
A<br />
17
Mit der Zielstellung gleiche oder zumindest ähnliche Betrachtungen durchführen zu können um<br />
derartige Bauelemente dann auch den in Stromkreisen üblichen Berechnungsverfahren zugänglich zu<br />
machen. Da physikalisch jedoch keine Strömungsgröße vorhanden ist, wird folgendes Verfahren<br />
angewandt:<br />
Es wird ein „Verschiebungsfluss“ definiert Ψ = Q = n q entspricht der Ladungsmenge, die infolge<br />
des elektr. Feldes (bzw. des Potentiales, der Spannung) getrennt (Polarisiert) wurde. Dieser<br />
Verschiebungsfluss wird wie eine Strömungsgröße behandelt. Und somit gelten die gleichen<br />
Beziehungen wie im Strömungsfeld. (Orient.- , Ionen-, Elektronenpolarisation)<br />
Verschiebungsflussdichte im stat. Elektr. Feld = dielektrische Verschiebung.<br />
Ψ Q<br />
D = = analog zur Stromdichte S<br />
A A<br />
D = ε ⋅ E ε - Dielektrizitätskonstante<br />
D = ⋅ ε r ⋅ E<br />
ε 0<br />
Kondensator (Definition)<br />
ε<br />
ε r =<br />
ε 0<br />
ε0 = 8,85 10 -12 As/Vm<br />
relative Dielektrizitätskonstante<br />
ϕ<br />
1<br />
ϕ<br />
2<br />
ϕ<br />
3<br />
+Q -Q<br />
+ -<br />
E<br />
d<br />
mit Q = C ⋅U<br />
; Q = D ⋅ A und U = E ⋅ D<br />
UAB D A<br />
wird C = ⋅ mit<br />
E d<br />
D = ε ⋅ E ergibt sich: für<br />
die Kapazität:<br />
A A<br />
C = ε ⋅ = ε 0 ⋅ ε r ⋅<br />
d d<br />
Dimensionierungsgleichung des Kondensators.<br />
Reihenschaltung:<br />
C1 C2 Cn + - - -<br />
U 1<br />
U 2<br />
U<br />
Q Q<br />
U = U 1 + U 2 + .... + U n = + + .... +<br />
C C<br />
⎛ 1<br />
U = Q<br />
⎜<br />
⎝ C<br />
1<br />
1<br />
+<br />
C<br />
Parallelschaltung:<br />
C 1<br />
C 2<br />
U<br />
C n<br />
-<br />
-<br />
2<br />
1 ⎞<br />
+ .... +<br />
⎟ = Q ⋅<br />
Cn<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
n<br />
∑<br />
1<br />
C<br />
i01 i<br />
Q<br />
C<br />
U n<br />
n<br />
1<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
1<br />
Cers i01 Ci<br />
Q = Q + Q + + Qn<br />
= C ⋅U<br />
+ C ⋅U<br />
+ .... + Cn<br />
⋅U<br />
Q<br />
C<br />
1<br />
n<br />
= ⎜∑<br />
i01<br />
ers<br />
⎛<br />
⎝<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i01<br />
2<br />
⎞<br />
Ci<br />
⎟ ⋅U<br />
⎠<br />
C<br />
i<br />
.... 1<br />
2<br />
18
Strom-Spannungsbeziehung am Kondensator<br />
Spannungsänderungen am Kondensator rufen nach Q = C U Ladungsänderungen auf den Platten<br />
hervor.<br />
dQ<br />
Mit iC = (Stromdefinition) wird:<br />
dt<br />
duC<br />
1<br />
iC<br />
= C bzw. uC =<br />
dt<br />
∫ iC<br />
⋅ dt<br />
C<br />
Mathematisch - physikalische Interpretation:<br />
1. Nur bei Spannungsänderungen fließt ein Strom in Kreisen mit Kondensatoren.<br />
2. Strom iC fließt nur so lange, bis der Kondensator die Ladungsmenge Q = C U gespeichert hat.<br />
( Laden oder Entladen)<br />
3. Im Dielektrikum fließt praktisch kein Strom (Leitfähigkeit ≈ 0 ). Der Strom iC setzt sich im<br />
Dielektrikum in Form des Verschiebungsflusses Ψ fort.<br />
4. Im Kondensatorzweig kann kein Gleichstrom fließen, wegen u = konst. bzw. du/ dt = 0 !<br />
Auf- und Entladung <strong>von</strong> Kondensatoren<br />
a) Laden Stellg. A<br />
A<br />
u c<br />
i<br />
τ<br />
B<br />
U q<br />
U C<br />
C<br />
R<br />
3τ<br />
i C<br />
u c<br />
duc<br />
+ ic<br />
⋅ R − U q = 0 mit ic<br />
= C wird:<br />
dt<br />
du c<br />
R ⋅ C + uc<br />
dt<br />
du<br />
= U q Trennung der Variablen: U q − uc<br />
= RC<br />
dt<br />
du c<br />
mit RC =τ U q = uc<br />
+ τ Lösg.:<br />
dt ∫ U<br />
1<br />
− u<br />
1<br />
duc<br />
= ∫ dt<br />
τ<br />
t<br />
( U q − uc<br />
) = − + 1<br />
ln<br />
τ<br />
K mit uc ( t 0)<br />
= 0V<br />
U q − uc<br />
ln<br />
U<br />
t<br />
t U q − uc<br />
−<br />
τ<br />
= − folglich: = e<br />
τ<br />
U<br />
q<br />
q<br />
= folgt: K1 = ln Uq<br />
t<br />
⎛ − ⎞<br />
⎜ τ<br />
u ⎟<br />
c = U q ⎜<br />
1 − e Spannungszeitverlauf Ladevorgang<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
95% 99%<br />
u c= f(t)<br />
i = f(t)<br />
5τ<br />
t<br />
c(<br />
t = 3τ<br />
)<br />
q<br />
q<br />
−3<br />
u = U ( 1 − e ) = 0,<br />
95U<br />
−5<br />
u = U ( 1 − e ) = 0,<br />
99U<br />
c(<br />
t = 5τ<br />
)<br />
q<br />
Stromzeitverlauf:<br />
t<br />
d U q e<br />
du<br />
⎟<br />
c<br />
i = C eingesetzt; i C<br />
dt<br />
dt<br />
⎟<br />
⎛ ⎛ − ⎞⎞<br />
⎜ ⎜ τ ⎟<br />
⎜ ⎜<br />
( 1 −<br />
⎟<br />
⎝ ⎝ ⎠<br />
=<br />
⎠<br />
t<br />
t<br />
1 − U<br />
τ<br />
q<br />
−<br />
τ<br />
i = U q ⋅ C ⋅ ⋅ e i = ⋅ e<br />
τ<br />
R<br />
i<br />
t<br />
−<br />
τ = I 0 ⋅ e mit I0 = Uq / R<br />
c<br />
q<br />
q<br />
19<br />
c
Entladen (Stellg.B):<br />
uc + i R = 0, allgemeine Lösung wie oben, aber Uq = 0 wird dann: uc<br />
= ⋅ e<br />
K<br />
1<br />
1<br />
uc (t=0) = Uq damit U q = damit gilt: uc<br />
K<br />
= U q<br />
t<br />
t<br />
−<br />
U<br />
τ<br />
q<br />
−<br />
τ<br />
⋅ e und für i: i = − ⋅ e<br />
R<br />
3.1.4 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld<br />
W = ∫ u ⋅ i ⋅ dt mit<br />
Kräfte:<br />
a) auf Punktladung Q<br />
dQ<br />
i = und<br />
dt<br />
C<br />
W = ⋅U<br />
2<br />
F = Q ⋅ E Kraftwirkung in Feldrichtung bei positivem Q<br />
b) zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2<br />
F1 = Q1<br />
⋅ E2<br />
mit D2 Q2<br />
= = ε ⋅ E2<br />
A<br />
gilt: E<br />
Q<br />
U C = ergibt sich:<br />
C<br />
2<br />
c<br />
Q2<br />
=<br />
ε ⋅ A<br />
2 also:<br />
Mit A = 4 π a 2 Q1<br />
⋅ Q2<br />
ergibt sich als Coulomb`sches Gesetz: F =<br />
4 ⋅π<br />
⋅ ε ⋅ a<br />
m1<br />
⋅ m2<br />
vergleichbar mit dem Gravitationsgesetz: ( F = γ )<br />
2<br />
r<br />
c) zwischen zwei Kondensatorplatten<br />
2<br />
t<br />
−<br />
τ<br />
Q1<br />
⋅ Q<br />
F =<br />
ε ⋅ A<br />
Anwendung des Prinzips der „virtuellen Verrückung“<br />
C 2<br />
1 2<br />
Energieinhalt eines Kondensators: W = ⋅U<br />
c mit U=Q/C ergibt sich: W = ⋅ Qc<br />
mit:<br />
2<br />
2 ⋅ C<br />
2<br />
A<br />
d 2<br />
dW Q<br />
C = ε ⋅ wird: W = ⋅ Qc<br />
mit dW = F dx und dx = dd wird F = =<br />
d<br />
2 ⋅ ε ⋅ A<br />
dx 2 ⋅ ε ⋅ A<br />
Beispiele:<br />
Ein (als ideal gedachter) Plattenkondensator, dessen Platten sich in einem Abstand <strong>von</strong> 0,5 mm<br />
gegenüberstehen (Fläche der Ladungsbelegung jeweils 100 cm 2 ) , ist durch eine Spannung <strong>von</strong> 220<br />
V aufgeladen worden. Es sind zu bestimmen:<br />
a) Feldstärke, Kapazität, Ladungsmenge, Ladungsträgerzahl auf der negativen Platte,<br />
Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte.<br />
b) Die im Dielektrikum gespeicherte Energie und die Anziehungskraft der Platten<br />
für Luft : ε r = 1 und für Paraffinöl : ε r = 2,5 .<br />
a) ε = εο εr = 8,86 . 10-12 As<br />
Vm . εr Feldstärke E = U 220 V<br />
=<br />
d 0,05 cm<br />
Kapazität C =<br />
ε A<br />
d<br />
Luft: E = 4400 V<br />
cm<br />
Öl: E = 4400 V<br />
cm<br />
Luft: C = 177,2 pF<br />
Öl: C = 443 pF<br />
Ladung Q = C U Luft: Q = 3,9 . 10 -8 As<br />
2<br />
20
Öl: Q = 9,75 . 10-8 As<br />
Ladungsträger n = Q<br />
e<br />
e = 1,602 . 10-19 As (Elektron)<br />
Luft: n = 2,43 . 1011 Öl: n = 6,08 . 1011 Verschiebungsfluss Ψ = Q<br />
Verschiebungsflussdichte D = dΨ Ψ<br />
dA<br />
=<br />
A = ε . E<br />
Luft: D = 3,9 . 10-6 As<br />
m2 Öl: D = 9,75 . 10-6 As<br />
m2 b) Energie W = C<br />
2 U2 Luft: W = 4,29 . 10 -6 Ws<br />
Kraft F = D2<br />
2 ε . D E A<br />
A = =<br />
2<br />
ε A E2<br />
2<br />
Luft: F = 8,57 . 10 -3 N<br />
Öl: F = 21,43 . 10 -3 N<br />
Öl: W = 10,73 . 10 -6 Ws<br />
Zwischen zwei ebenen Elektroden befindet sich je eine Schicht aus Plexiglas und Luft. Die<br />
Schichtdicke des Plexiglas beträgt 5 mm, die der Luft 9 mm.<br />
a) Berechnen Sie das Verhältnis der Spannungen, die sich über den Dielektrika einstellen.<br />
εrP = 4,0<br />
b) Berechnen Sie die Durchschlagsspannung dieser Elektrodenanordnung!<br />
Durchschlagfestigkeit <strong>von</strong> Plexiglas: 400 kV/cm<br />
Durchschlagfestigkeit <strong>von</strong> Luft: 20 kV/cm<br />
a) Plexiglas U P = E dP . d P = 400 kV/cm . 0,5 cm = 200 kV<br />
Luft U L = E dL . d L = 20 kV/cm . 0,9 cm = 18 kV<br />
U ges = U P + U L = 218 kV<br />
b) mit DP=Dl=ε⋅E wird<br />
U P<br />
U l<br />
EP<br />
⋅ d P<br />
=<br />
El<br />
⋅ dl<br />
ε l ⋅ d P<br />
=<br />
ε P ⋅ d l<br />
400kV<br />
/ cm ⋅ 0,<br />
5cm<br />
=<br />
= 11,<br />
11<br />
20kV<br />
/ cm ⋅ 0,<br />
9cm<br />
damit wird, da keine Teilspannung höher als die jeweilige Ed werden darf: Udges=218 kV!!<br />
Zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren <strong>von</strong><br />
C 1 = 1,0 μF und<br />
C 2 = 3,3 μF<br />
liegen an einer Spannung <strong>von</strong> 110 V. Auf welche Teilspannung laden sie sich auf und welche<br />
Ladungsmengen enthalten sie? Welche Ladung enthalten die beiden Kondensatoren, wenn sie<br />
parallel geschaltet sind?<br />
μ μ<br />
Q = C . U Cges = C1 . C2 3,3 μF2<br />
= = 0,7674 μF<br />
C1 + C2 4,3 μF<br />
Q1 = C1 . U1 Q2 = C2 . U2 Qges = Cges . Uges daraus folgt:<br />
C1 . U1 = C2 . U2 U1 =<br />
U2 C2 = 3,3<br />
C1 U1 =<br />
Uges Cges C1 U 1 = U ges . C ges<br />
C 1 = 84,418 V U 2 = U ges . C ges<br />
C 2 = 25,58 V<br />
Überprüfung: U ges = U 1 + U 2 = 109,9 V<br />
21
Q ges = C ges . U ges = 0,7674 . 110 V = 84,414 . 10 -6 C = Q 1 = Q 2<br />
C 1<br />
C 2<br />
110 V<br />
3,3 μF<br />
1 μF<br />
Cges = C1+C2 = 4,3 μF Q = Cges U = 4,3 μF 110V = 473 10 -6 C<br />
In einem Blitzlichtgerät wird eine Blitzröhre mit einem Arbeitsvermögen <strong>von</strong> 30 Ws eingesetzt.<br />
a) Bestimmen Sie die Kapazität des Speicherkondensators, wenn eine Gleichspannung <strong>von</strong> 550 V<br />
zur Verfügung steht !<br />
Ausgangsformel: W = C<br />
2 U2<br />
C550 = 2W 60 Ws<br />
U2 =<br />
(550 V) 2<br />
= 198,3 μF<br />
b) Wie viel Kondensatoren mit der ermittelten Kapazität sind einzusetzen, wenn nur 290 V zur<br />
Verfügung stehen ?<br />
(Spannungsänderung: 52% Kapazitätsänderung: 360%)<br />
C290 = 2W 60 Ws<br />
= = 713,4 μF<br />
2 2<br />
U<br />
(290 V)<br />
Die geforderte Kapazität kann durch Reihen-/Parallelschaltung geeigneter<br />
Kondensatoren hergestellt werden.<br />
c) Die Blitzdauer beträgt ca. 1/800 Sekunde. Welche Leistung müsste zur Verfügung stehen,<br />
wenn keine Speicherkondensatoren eingesetzt würden?<br />
W = P . t<br />
P = W<br />
t<br />
= 30 Ws<br />
1<br />
800 s<br />
= 24 kW<br />
d) Wie groß ist die praktische Blitzenergie, wenn nach dem Abblitzen noch eine Spannung <strong>von</strong> 80 V<br />
am Kondensator anliegt?<br />
W = C 550<br />
2 U 1 2 - C 550<br />
2 U 2 2 = 99,1 F (U 1 2 - U2 2 ) = 29,34 Ws oder:<br />
W = W 1 - W 2<br />
W 1 = 30 Ws W = 99,1 μF (80 V) 2 = 0,634 Ws<br />
W = 30 Ws - 0,634 Ws = 29,61 Ws<br />
Achtung: da W proportional U 2 , ist eine Lösung mit<br />
(U 1 - U 2 ) 2 = U 1 2 - 2U1 U 2 + U 2 2 mathematisch falsch !!!<br />
Ein Wickelkondensator wird aus 40 mm breiten und 52 m langen Metallfolien, die durch 0,03 mm<br />
dickes Ölpapier (εr = 4,3) isoliert werden, hergestellt. Der Kondensator wird an 220 V, 50 Hz<br />
Wechselstrom angeschlossen.<br />
a) Berechnen Sie die Kapazität!<br />
b) Berechnen Sie die maximale Ladung!<br />
c) Berechnen Sie die maximale Energie!<br />
a) C = ε r . ε o .A<br />
L<br />
= 52m<br />
0,04m<br />
. . -12<br />
4,3 8,86 10 (F/m) .<br />
.<br />
.<br />
-3<br />
0,03. 10 m<br />
22
C =<br />
b) X c = - 1<br />
ωC =<br />
C = 2641,4613 . 10 -9 F = 2,64 μ F<br />
£ ¡£ ¤ ¥ ¡¥ ¦ § ¡¢<br />
¡¥ ¢<br />
¨ ¨ ¨ ¨<br />
¥<br />
. 10 -9 F<br />
©<br />
© § ¡¤ © ¥ ¨ ¨ = - 1206,3 Ω<br />
¢<br />
c) Q max = C . U max = 2,64 μF . 2 . 220 V = 818,928 . 10 -6 As<br />
d) W max = C<br />
2 . U 2 max =<br />
Q max =0,818 . 10 -3 = 0,818 mAs<br />
W max =<br />
¡¤ §<br />
¡¤ §<br />
¡¤ §<br />
§ μ . (311,126 V) 2<br />
§ μ . ( 2 . 220V) 2 =<br />
§ μ . 96800V2 = 255552 . 10-6 Ws = 0,127776 Ws<br />
23
4. Magnetfeld (Definition)<br />
Jeder elektrische Strom ist <strong>von</strong> einem Magnetfeld begleitet! (Magnetfeld „umwirbelt“ den fließenden<br />
Strom.) Leiter – Magnetfeld – Kraftwirkung<br />
N<br />
S<br />
S<br />
N<br />
Darstellung mittels Feldlinien<br />
Eigenschaften der Feldlinien: „in sich geschlossen“ (d.h.<br />
endlos vgl. mit elektr. Strom!)<br />
Strom – Feld – Zuordnung nach „Rechtsschraube“<br />
Rechte – Hand - Regel<br />
Die Gesamtheit des magnetischen Feldes (Feldlinien) wird als magnetischer Fluss mit dem<br />
Formelzeichen Φ bezeichnet. (Analogie: Ψ = Q → Φ ) Der magnetische Fluss ist eine reine<br />
Rechengröße und stellt letztendlich ein Maß für die <strong>von</strong> einem Magnetfeld ausgehende Kraft dar.<br />
- Φ wird wie ein Analogon zu I oder Ψ betrachtet und bei der mathematischen Beschreibung<br />
magnetischer Größen ebenso behandelt!<br />
- [ Φ] = 1⋅<br />
Vs = 1⋅<br />
Wb<br />
Magnetische Flussdichte B<br />
dA ⊥ Φ<br />
Φ dΦ<br />
B =<br />
dA⊥<br />
dA<br />
B - Vektor, der senkrecht auf dA steht, d.h. in Feldlinienrichtung<br />
-<br />
Durchflutung, magnetische Spannung, magnetischer Widerstand<br />
Der elektr. Strom ist die Ursache für das Magnetfeld. Bei vorliegen mehrere Ströme überlagern sich<br />
die Felder zu einem Gesamtfeld.<br />
Die dieses Feld antreibende Kraft – magentomotorische Kraft MMK<br />
- Durchflutung<br />
- magnetische Urspannung<br />
wird zu: Θ = ∑ I<br />
=<br />
Ι<br />
θ<br />
n<br />
ν 1<br />
ν<br />
oder bei Wicklungen zu: I ⋅ N = Θ definiert. [ ] A = Θ N – Windungszahl<br />
A<br />
mittlere<br />
Feldlinie<br />
Β<br />
Φ<br />
A<br />
1. Ursache des Magnetflusses Φ ist Θ = I N<br />
2. Ausbildung des Magnetflusses im Eisenkern und im<br />
Luftspalt<br />
3. Darstellung in Form einer „mittleren“ Feldlinie<br />
Randfelder u.a. Nebenerscheinungen werden<br />
vernachlässigt. – Beschränkung auf die Haupteffekte!<br />
(Begriff Streufeld, Streuung)<br />
Obwohl der Magnetfluss keine „Strömungsgröße“ ist bringt<br />
die Behandlung wie eine Strömungsgröße den Vorteil, dass<br />
die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie im Stromkreis<br />
angewandt werden können, wenn statt der elektrischen<br />
Größen, die magnetischen Größen eingesetzt werden.<br />
24
Analogon Magnetkreis – elektrischer<br />
Kreis<br />
R<br />
mFe<br />
θ<br />
V<br />
Fe<br />
Φ<br />
V<br />
δ<br />
- Magnetische Feldstärke<br />
ds<br />
Φ<br />
A<br />
V AB<br />
B<br />
B<br />
- Durchflutungsgesetz<br />
R<br />
mδ<br />
Definitionen:<br />
Magn. Spannungsabfall: V = Φ ⋅ Rm<br />
[ A]<br />
Magn. Widerstand: =<br />
Φ<br />
V ⎡ A ⎤<br />
Rm ⎢ ⎥<br />
⎣Vs<br />
⎦<br />
l<br />
Bemessungsglg.: Rm =<br />
μ ⋅ A<br />
⎡ A ⎤ ⎡ 1 ⎤<br />
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥<br />
⎣Vs<br />
⎦ ⎣Ω<br />
⋅ s ⎦<br />
μ - Permeabilität μ = μ o ⋅ μ r<br />
−7<br />
Vs<br />
μ 0 = 4 ⋅π<br />
⋅10<br />
Am<br />
−6<br />
Vs<br />
μ 0 = 1,<br />
256 ⋅10<br />
(Induktionskonstante)<br />
Am<br />
Maschensatz: ∑V = Θ oder: Θ + V = 0<br />
ν<br />
∑ ∑<br />
Ο Ο<br />
H = magn. Spannungsabfall pro Streckenabschnitt<br />
dV ⎡ A ⎤<br />
dU<br />
H =<br />
ds<br />
⎢<br />
⎣m<br />
⎥ (vgl. E = )<br />
⎦<br />
dl<br />
H ist ebenso wie E ein Vektor<br />
V<br />
AB<br />
B<br />
= ∫ H ⋅ d s<br />
A<br />
Die das Magnetfeld antreibenden Kräfte ist die <strong>von</strong> dem Feld eingeschlossene vorzeichenbehaftete<br />
∫<br />
ν = 1<br />
Stromsumme. ∑V ν = Θ<br />
V AB = H ⋅ d s = ∑ Iν<br />
= Θ<br />
Damit stellt das Durchflutungsgesetz die Verbindung zwischen magnetischen und elektrischen<br />
Größen dar.<br />
Gesucht: Feldstärke H um den Leiter!<br />
s<br />
-<br />
S<br />
N<br />
H<br />
Materie im Magnetfeld<br />
s<br />
I = ∫ H ⋅ ds s = r ϕ ds = r dϕ<br />
I = H ⋅<br />
I<br />
H =<br />
2 ⋅π<br />
⋅ r<br />
magn. Widerstand: Bemessungsglg.:<br />
2⋅π<br />
∫ ds = r ⋅ H ∫<br />
R m<br />
0<br />
l<br />
=<br />
μ ⋅ A<br />
unmagnetische Stoffe: μr ≈ 1 → μ ≈ μ0<br />
magnetische Stoffe: μr >> 1 → μ >> μ0<br />
n<br />
dϕ<br />
= 2 ⋅π<br />
⋅ H ⋅ r<br />
⎡ A ⎤ ⎡ 1 ⎤<br />
⎢<br />
=<br />
⎣Vs<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣Ω<br />
⋅ s<br />
⎥<br />
⎦<br />
diamagnetisch paramagnetisch ferromagnetisch<br />
μr < 1 μr > 1 μr >> 1<br />
Gold, Silber Cu H2O Al, Platin, Luft, O2 Fe, Kobalt, Ni<br />
ν<br />
25
Bei Erhitzung wird μ kleiner. Beim Curiepunkt verlieren Fe, Co, Ni ihre ferromagnetischen<br />
Eigenschaften schlagartig und werden unmagnetisch (paramagnetisch).<br />
TCfe ≈ 769 0 C<br />
TCNi ≈ 360 0 C<br />
Abhängigkeit B(H)<br />
Θ Θ<br />
Φ = = μ ⋅ A = μ ⋅ A ⋅ H<br />
(mit Θ =<br />
l<br />
∫ H ⋅ ds = H ⋅ l ) und B<br />
A<br />
Φ<br />
=<br />
R m<br />
wird: B = μ ⋅ H<br />
B = μ ⋅ H<br />
aber im Gegensatz zum Strömungsfeld und elektrischen Feld (dort χ und ε) ist die Permeabilität μ<br />
nicht konstant!!<br />
Hysteresekurve:<br />
B<br />
- Neukurve<br />
H c<br />
B r<br />
Dauermagnetkreis<br />
Gesucht: Luftspaltinduktion B0<br />
A<br />
Β<br />
mittlere<br />
Feldlinie<br />
H c<br />
AP<br />
B<br />
Φ<br />
B r<br />
A<br />
H<br />
H<br />
∫<br />
- Sättigung<br />
- Remanenzinduktion Br<br />
- Entmagnetisierung<br />
- Koerzitivfeldstärke Hc<br />
- Dynamische Permeabilität<br />
dB<br />
μ dyn =<br />
dt<br />
H ⋅ ds = Θ = 0<br />
l Fe<br />
H Fe ⋅ l Fe + H o ⋅ lo<br />
= 0 H 0 = − ⋅ H Fe<br />
l<br />
l<br />
B0 = μ 0 ⋅ H 0 = −μ<br />
0 ⋅ ⋅ Geradengleichung<br />
l<br />
B Fe = f ( H Fe ) B0 = BFe<br />
Fe<br />
H Fe<br />
0<br />
1. Arbeitspunkt ohne Luftspalt Br , H = 0<br />
2. Luftspalt vergrößert Rm → B sinkt → Arbeitspunkt<br />
wandert in den 2. Quadranten<br />
3. Neuer Arbeitspunkt muß auf Hysterese liegen und die<br />
l Fe<br />
Geradenglg. B0 = −μ<br />
0 ⋅ ⋅ H Fe erfüllen.<br />
l<br />
0<br />
0<br />
26
4.1 Energie und Kräfte im Magnetfeld<br />
Energieinhalt des Magnetfeldes<br />
t = 0<br />
R<br />
Uq U<br />
L L W iu<br />
L d t = L<br />
2<br />
⋅ Ι<br />
=<br />
2<br />
L<br />
W<br />
i<br />
∞<br />
= ∫<br />
Ο<br />
∞<br />
∫ i = ∫<br />
Ο<br />
d i<br />
dt<br />
Ι<br />
Ο<br />
L ⋅Ι<br />
i dt =<br />
2<br />
Analogie zur kinetischen Energie Wkin =<br />
Energie ist im Magnetfeld der Spule gespeichert.<br />
Energie lässt sich auch durch magnetische Größen ausdrücken<br />
<br />
⎧ Θ<br />
1<br />
H l H<br />
⎪<br />
⎪Ι<br />
= ; Θ = ⋅ ; =<br />
N<br />
μ<br />
⎨ 2<br />
B<br />
⎪<br />
N l<br />
L = ; Rm<br />
=<br />
⎪<br />
Rm<br />
μ A<br />
B ⋅ H<br />
W = ⋅ A⋅<br />
l<br />
2<br />
* W B ⋅ H<br />
W = =<br />
V 2<br />
W * - pro Volumen V gespeicherte magnetische Energie<br />
2<br />
2<br />
mv<br />
A, l – Querschnitt und Länge des<br />
Magnetleiters<br />
V=A <br />
Allgemeine Schlussfolgerung: In passiven Zweipolen können drei verschiedene<br />
Energieformen auftreten:<br />
I<br />
I<br />
I<br />
W R<br />
U R R<br />
= ∫ Ι<br />
2<br />
⋅ R⋅<br />
d t<br />
Umwandlung in Wärme<br />
Kraftwirkungen im magnetischen Feld<br />
U C<br />
2<br />
CU<br />
Wel =<br />
2<br />
Speicherung im elektrischen Feld<br />
Kräfte an Grenzflächen<br />
Grenzfläche = Fläche, an der Materialien mit verschiedener Permeabilität<br />
zusammenstoßen<br />
Beispiel: Hubmagnet (Elektromagnet)<br />
Prinzip der virtuellen Verschiebung (virtuell = scheinbar)<br />
Energie im Luftspalt vor dem Hub:<br />
C<br />
U L L<br />
2<br />
27<br />
2<br />
⋅ Ι<br />
=<br />
2<br />
L<br />
Wmag Speicherung im magnetischen Feld
l μ o<br />
μFe<br />
Δl<br />
Annahme:<br />
H Fe
Praktische Anwendung: Gleichstrommotor<br />
S<br />
N<br />
b) bewegte Ladungsträger im Magnetfeld<br />
Motorprinzip<br />
F <br />
= <br />
Elektrodynamisches Kraftgesetz „ Δ “durch „ d „ ersetzen<br />
= Ι(<br />
l × B )<br />
dQ<br />
i =<br />
dt<br />
dF<br />
dQ ( dl<br />
× B)<br />
dt<br />
dl<br />
V =<br />
dt<br />
c) zwei stromdurchflossene Leiter<br />
a<br />
F<br />
F<br />
+<br />
F<br />
v<br />
1 2<br />
4.3 Induktionsgesetz<br />
B<br />
F<br />
( V<br />
B)<br />
F = Q ×<br />
F<br />
( l<br />
× B)<br />
F = Ι ⋅<br />
F<br />
<br />
<br />
<br />
Rechtssystem beim<br />
Vektorprodukt<br />
Feldverstärkung zwischen den Leitern<br />
Abstoßung<br />
<br />
Elektrodynamisches Kraftgesetz<br />
F1 = Ι1<br />
⋅l<br />
⋅ B2<br />
B2 = μH<br />
2<br />
Θ2<br />
Ι2<br />
H 2 = =<br />
2ΙΙa<br />
2ΙΙ<br />
⋅ a<br />
lμ<br />
F1<br />
= Ι1<br />
⋅ Ι 2<br />
2ΙΙ<br />
⋅ a<br />
F 1 = F2<br />
= F<br />
lμ<br />
F = Ι1Ι<br />
2<br />
2ΙΙ<br />
⋅ a<br />
Faraday 1831: Immer wenn ein Leiter einer Flussänderung ausgesetzt<br />
ist, entsteht in ihm eine elektrische Spannung <br />
eine Spannung induziert<br />
2 Arten der Induktion<br />
- Induktion der Ruhe <br />
- Induktion der Bewegung <br />
Beide Arten können sich überlagern.<br />
v<br />
B<br />
w<br />
u<br />
v<br />
Michael Faraday<br />
1791 - 1867<br />
29
Induktion der Ruhe<br />
<br />
i (t)<br />
Φ (t)<br />
V<br />
Vorzeichen der induzierten Spannung:<br />
allgemein:<br />
+ I<br />
Praxis zeigt:<br />
Uq dΦ<br />
dt <br />
+ Φ (t)<br />
U qi<br />
Φ (t) ,<br />
i (t)<br />
d Φ<br />
> 0<br />
dt<br />
30<br />
Richtung der<br />
induzierten Quellspannung<br />
Lenz´sche Regel: Der durch die induzierte Spannung angetriebene Strom ist so gerichtet, dass sein<br />
Magnetfeld dem die Induktion erzeugenden (äußeren) Magnetfeld entgegen gerichtet ist, d. h. der<br />
induzierte Strom wirkt seiner Ursache entgegen.<br />
Φ (t) ,<br />
i (t)<br />
d Φ<br />
> 0<br />
dt<br />
Richtung der<br />
induzierten Quellspannung<br />
dΦ<br />
Uqi = +<br />
dt<br />
Induktionsgesetz<br />
Induzierte Spannung Uq ist der oben<br />
definierten positiven Spannungsrichtung<br />
entgegengerichtet, deswegen gilt<br />
Werden N Windungen <strong>von</strong> der gleichen Flussänderung erfasst, addieren sich die Spannungen,<br />
d. h<br />
.<br />
Umfasster Fluss<br />
Flussverkettung<br />
Induktion der Bewegung<br />
Gedankenexperiment:<br />
dΦ<br />
Uqi = + N<br />
dt<br />
dΨ<br />
Ψ = N ⋅ Φ ⇒ U pi +<br />
dt
l<br />
i<br />
v<br />
V<br />
dΦ<br />
I Uqi I = I I<br />
dt<br />
dx<br />
Uqi = B.l<br />
dt<br />
Uqi = B.v.l Ursache = Bewegung<br />
Vermittlung = Feldlinien<br />
Wirkung = Stromfluss<br />
dΦ = B ⋅ dA<br />
dA = l ⋅ dx<br />
Strom im Leiter fließt so, dass das Magnetfeld vor dem Leiter verstärkt wird und hinter ihm<br />
geschwächt wird.<br />
Zusammendrängen der Feldlinien auf der einen Seite und ihre Schwächung auf der anderen bewirkt<br />
eine Gegenkraft, die der Bewegung entgegenwirkt <br />
Hinweis: Maßgebend für die Induktion ist die zeitliche Änderung des den Leiter<br />
durchsetzenden Flusses.<br />
4.4 Wirbelströme und Stromverdrängung<br />
Wirbelströme<br />
dΦ<br />
Φ > 0 ⇒<br />
dt<br />
Wirbelströme verursachen <br />
Stromwärmeverluste<br />
1. Unterbrechung der Strombahnen durch Lamellierung<br />
Fe<br />
2. Einsatz <strong>von</strong> Ferriten<br />
B<br />
<br />
z.B. Mn Zn – Ferrite (MnO, ZnO + Fe2O3)<br />
<br />
Ni Zn – Ferrite (NiO, ZnO + Fe2O3)<br />
Schwachstromtechnik für Spulen und Übertrager<br />
Stromverdrängung<br />
S + dS<br />
Φ + dΦ<br />
I + dI<br />
S + dS<br />
I + dI<br />
Φ + dΦ<br />
W<br />
V<br />
Starkstromtechnik, el. Maschinen<br />
Wirbelstrom angetrieben <strong>von</strong><br />
dΦ<br />
e =<br />
−<br />
dt<br />
U<br />
31
Wirbelstrom schwächt den Strom im Inneren des Leiters und verstärkt ihn in seinem Äußeren<br />
Verdrängung des Stromes an die <br />
Leiteroberfläche<br />
Folgen des Skineffektes:<br />
- Stromverteilung im Leiterquerschnitt ist nicht <br />
gleichmäßig<br />
<br />
sinkt<br />
dΦ<br />
- Stromverdrängung wird durch hervorgerufen,<br />
dt<br />
<br />
<br />
R<br />
R o<br />
f<br />
- bei Gleichstrom gleichmäßige Stromverteilung und kein Skineffekt.<br />
Selbst- und Gegeninduktion<br />
Selbstinduktion<br />
Wird eine Spule <strong>von</strong> einem sich zeitlich ändernden Strom durchflossen, dann wird die Spule <strong>von</strong><br />
einem sich zeitlich änderndem Fluss durchsetzt. Dieser Fluss induziert nach dem<br />
Induktionsgesetz in der Spule eine Spannung. Dieser Vorgang heißt Selbstinduktion, da die<br />
Spannung durch das eigene Magnetfeld der Spule induziert wird.<br />
dΦ<br />
Θ iN<br />
U qi<br />
= + N<br />
U<br />
qi<br />
Induktivität<br />
Maßeinheit<br />
[<br />
dt<br />
Rm = Φ =<br />
Rm<br />
2<br />
N di<br />
= +<br />
2. Form des Induktionsgesetzes<br />
R dt<br />
[<br />
]<br />
m<br />
e Vs<br />
L ] = = = Ωs<br />
= H<br />
⎡di<br />
⎤ A<br />
⎢<br />
⎣dt<br />
⎥<br />
⎦<br />
Berechnungsbeispiel:<br />
Ι<br />
N<br />
A<br />
Β<br />
mittlere<br />
Feldlinie<br />
Diskussion der Einflussparameter:<br />
Φ<br />
N<br />
L =<br />
2<br />
Rm<br />
L =<br />
N<br />
2<br />
Rm<br />
m<br />
R<br />
μO<br />
μγ<br />
A⋅<br />
N<br />
L =<br />
l<br />
m<br />
2<br />
lm<br />
=<br />
μ μγA<br />
O<br />
Joseph Henry<br />
1797 – 1878<br />
am. Physiker<br />
32
Definitionsgleichung der Selbstinduktivität :<br />
di dΦ<br />
∫ L =<br />
dt ∫ dt<br />
Li = NΦ<br />
= ψ<br />
Schaltung <strong>von</strong> Induktivitäten<br />
Reihenschaltung<br />
I<br />
U U<br />
1 2<br />
L1 L2 Parallelschaltung<br />
U<br />
L 1<br />
L 2<br />
L 3<br />
L 4<br />
( analog R )<br />
n<br />
1 1<br />
= ∑ L<br />
Lges 1<br />
Induktion einer Quellspannung in L , die an den Klemmen als Spannungsabfall U l aufgefasst<br />
werden kann.<br />
i<br />
Maschensatz:<br />
U L<br />
L<br />
UqI<br />
U<br />
l<br />
l<br />
−U qi = 0<br />
U = + U<br />
Ersatzschaltbild einer technischen Induktivität<br />
UR<br />
UL<br />
R L<br />
U<br />
Stromverzögernde Wirkung der Induktivität<br />
qi<br />
ψ<br />
vgl. Kapazität<br />
R<br />
=<br />
⇒<br />
u = u + u<br />
γ<br />
di<br />
U l = L<br />
dt<br />
1<br />
c<br />
( = idt )<br />
L<br />
L<br />
U c<br />
L ⋅<br />
ges<br />
=<br />
di<br />
u = iR + L<br />
DGL<br />
dt<br />
n<br />
i<br />
∑<br />
1<br />
∫<br />
L<br />
γ<br />
33
t = 0<br />
U q<br />
UR<br />
Anfangswert:<br />
t = 0, i = 0 ⇒ 1+K = 0 ⇒ K = -1<br />
U q<br />
i = ⎜<br />
⎛<br />
1−<br />
e<br />
R ⎝<br />
Diskussion der e-Funktion!<br />
Gegeninduktion<br />
R<br />
L<br />
UL<br />
U q<br />
di<br />
= −L<br />
+ iR<br />
dt<br />
Trennung der Variablen<br />
dt =<br />
U<br />
L ⎛ U q ⎞<br />
L<br />
t = ln i + ln K<br />
R ⎜ −<br />
R ⎟<br />
= τ<br />
⎝ ⎠<br />
R<br />
t 1 ⎛ U q ⎞<br />
− = ln ⎜<br />
⎜i<br />
−<br />
⎟<br />
τ K ⎝ R ⎠<br />
− t 1 ⎛ U ⎞<br />
⇒ = ⎜<br />
⎛ −<br />
τ<br />
q U q<br />
t<br />
=<br />
+ ⎟<br />
⎞<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
τ<br />
e i i 1 Ke<br />
K ⎝ R ⎠ R ⎝ ⎠<br />
− t<br />
τ<br />
⎟<br />
⎞<br />
⎠<br />
U q<br />
R<br />
i<br />
q<br />
L L di<br />
di = −<br />
− iR R U q<br />
i −<br />
R<br />
95% 99%<br />
i = f(t)<br />
τ 3τ 5τ<br />
Wird in einer Spule eine Spannung durch Flussänderungen einer anderen Spule induziert, so heißt<br />
dieser Vorgang Gegeninduktion.<br />
+ Φ (t)<br />
Φ = k Φ<br />
k1 – Kopplungsfaktor<br />
1<br />
2<br />
umgekehrt gilt:<br />
12<br />
U qi<br />
Φ<br />
1<br />
1<br />
1<br />
dΦ<br />
= + N<br />
dt<br />
i1N<br />
=<br />
R<br />
1<br />
m1<br />
U qi2<br />
U qi2<br />
dΦ12<br />
= + N 2<br />
Φ12 = k1Φ1<br />
dt<br />
= + M<br />
Gegeninduktivität [ M ] = H<br />
12<br />
di1<br />
dt<br />
k1N<br />
1N<br />
M 12 =<br />
R<br />
m1<br />
2<br />
t<br />
34
Es lässt sich beweisen, dass gilt<br />
Uqi2 di1<br />
= + M<br />
dt<br />
M12 = M21 = M<br />
Uqi1 di2<br />
= + M<br />
dt<br />
Gegeninduktivität M lässt sich aus der Selbstinduktivität beider Spulen berechnen.<br />
k k ⋅ =<br />
U qi1<br />
M =<br />
1 2 k<br />
M M ⋅ =<br />
=<br />
+ M<br />
k<br />
12 12 M<br />
L1<br />
L 2<br />
Kopplungsfaktor<br />
Wichtigstes Beispiel: Trafo<br />
Φ<br />
12<br />
di2<br />
dt<br />
2 2<br />
N1<br />
N 2<br />
= k1 ⋅ k s ⋅ M = k1<br />
⋅ K 2 ⋅ L1<br />
⋅ L2<br />
Rm1<br />
Rm2<br />
1 N1 N2 2 k ≈ 1 M = L1<br />
⋅ L2<br />
35
1. Folgende technische Magnetkreise sind gegeben:<br />
Transformator Gleichstrommaschine<br />
a) In den Transformatorquerschnitt ist der Verlauf der Feldlinien einzuzeichnen, wenn in der Wicklung<br />
1 (W 1 ) der Strom im Uhrzeigersinn um den Mittelschenkel (<strong>von</strong> oben gesehen) fließt und die<br />
Wicklung 2 (W 2 ) stromlos ist !<br />
Wie groß ist dann die magnetische Urspannung bei einem Stromaugenblickswert <strong>von</strong> i 1 =2 A und<br />
W 1 =2000? Errechnen Sie die gesamte magnetische Urspannung, wenn zusätzlich in Wicklung 2<br />
ein Strom i 2 =4 A dem Strom i 1 entgegengesetzt fließt und W 2 =800 ist !<br />
W 1 : Θ 1 =Σ Ι ν =i 1 . W 1 = 2 A . 2000 =4 kA<br />
W 1 +W 2 : Θ ges =i 1 . W 1 - i 2 . W 2 =Θ 1 - i 2 . W 2<br />
= 4 kA - 4 A . 800 =0,8 kA<br />
b) In den Querschnitt der Gleichstrommaschine ist der Flussverlauf einzuzeichnen, wenn beide<br />
Erregerwicklungen in Reihe geschaltet sind und der Strom (<strong>von</strong> oben gesehen) entgegen dem<br />
Uhrzeigersinn um die Polkerne fließt! Wie groß ist dafür die gesamte magnetische Urspannung,<br />
wenn der Erregerstrom I E =1A und N/2 =500 beträgt? Wie groß ist sie bei Parallelschaltung und<br />
doppeltem Strom in einer Wicklung? Wie sähe der Flussverlauf aus, wenn sich in Wicklung zwei<br />
die Stromrichtung umkehren würde?<br />
Reihenschaltung: Θ ges =2 . Ι Err . N/2 =2 A . 500 =1000 A<br />
Parallelschaltung: Θ ges =2 (2 . Ι Err ) . N/2 =4 A . 500 =2 kA<br />
c) Zeichnen Sie das Ankerfeld in den Querschnitt der Gleichstrommaschine ein ! (Motorbetrieb,<br />
Rechtslauf !)<br />
36
) Gleichstrommaschine<br />
Reihenschaltung der Wicklungen: Gegenschaltung der Wicklungen:<br />
Reihenschaltung: Θ ges =2 . Ι Err . N/2 =2 A . 500 =1000 A<br />
Parallelschaltung: Θ ges =2 (2 . Ι Err ) . N/2 =4 A . 500 =2 kA<br />
c) Ankerfeld der Gleichstrommaschine:<br />
2. In der dargestellten Drehstromleitung fließen im Augenblick der Betrachtung folgende Ströme:<br />
i 1 =1500 A; i 2 =1500 A; i 3 =3000 A<br />
(Maße in mm)<br />
Es ist die <strong>von</strong> diesen Strömen hervorgerufene magnetische Feldstärke im Nulleiter zu berechnen !<br />
Allgemein: Θ = ∫ H ⋅ ds Durchflutungsgesetz<br />
Feldlinien um einen elektrischen Leiter stellen konzentrische Kreise dar, wodurch aus Symmetriegründen<br />
H = Ι<br />
= const. resultiert. Im Augenblick der Betrachtung gilt für die Stelle, an der sich der<br />
2 π r<br />
Nulleiter befindet:<br />
37
Ι1 1500 A<br />
H1 = =<br />
2 π r1 2 π . 0,707 m =337,5 A/m H2 =<br />
Ι2 1500 A<br />
=<br />
2 π r2 2 π . =478 A/m<br />
0,5 m<br />
Ι3 3000 A<br />
H3 = =<br />
2 π r3 2 π . =675 A/m<br />
0,707 m<br />
Gesamt-Horizontalkomponente:<br />
H H =H 2 + H 1 . cos 45° - H 3 . cos 45° =(478 +232,65 - 477,30) A/m =233,35 A/m<br />
Gesamt-Vertikalkomponente: H V =(H 1 +H 3 ) . sin 45° =716 A/m<br />
Gesamtfeldstärke im Nulleiter: H = H 2<br />
+ H<br />
2<br />
H V = 233,352 +7162 A/m =753 A/m<br />
3. Gegeben ist der dargestellte Magnetkreis mit N=500 pro Schenkel.<br />
a) Zeichnen Sie die Flusslinien ein !<br />
b) Wie groß sind der magnetische Fluss, die magnetische Feldstärke, der magnetische<br />
Spannungsabfall im Luftspalt, die magnetische Urspannung und der Strom, wenn die<br />
Flussdichte im Luftspalt 0,628<br />
Vs beträgt ?<br />
2<br />
m<br />
c) Wie groß ist die Induktivität ?<br />
d) Wie sähe der Flussverlauf aus, wenn R mFe
) R mFe
4. Eine Leiterschleife (L =10 cm; b = 2 cm) wird - vorher mit dem rechten Leiter a/4 vor dem<br />
Magnetfeld stehend - mit konstanter Geschwindigkeit v =0,1 m/s durch ein homogenes Magnetfeld<br />
mit B =1,5 T parallel zur Vorderkante des Magneten gezogen. Dabei befinden sich auch die<br />
Querleiter der Leiterschleife im Magnetfeld. Berechnen Sie die in der Leiterschleife induzierte<br />
Spannung als Funktion des Weges s, bis der linke Längsleiter um a/4 außerhalb des Magnetfeldes<br />
steht und tragen Sie die Funktion maßstäblich auf ! In welcher Zeit legt die Leiterschleife den Weg<br />
zurück ?<br />
v = s<br />
t<br />
--> t = s s b<br />
s ⎛ 3a<br />
⎞<br />
t = = ⎜ + ⎟ ⋅ = 2,<br />
0<br />
v ⎝ 2 ⋅ 0,<br />
1m<br />
⎠<br />
Vorzeichenfestlegung ! -uq = e =B . L . v =1,5 T . 0,1 m . 0,1 m<br />
=0,015 V =15 mV<br />
s<br />
-uq = e =- N dΦ<br />
dt<br />
=N . -d(BA)<br />
=- B<br />
dt<br />
. N dA<br />
dt<br />
e ( a<br />
< s <<br />
4<br />
a<br />
4<br />
+ b) =- 15 mV e ( 5a<br />
< s <<br />
4<br />
5a<br />
4<br />
+ b) =+ 15 mV<br />
13. In einem 0,95 T starken Magnetfeld, welches zwischen den Polschuhen eines Dauermagneten<br />
wirksam ist, befindet sich eine einfache, drehbar gelagerte Leiterschleife. Sie ist 30 cm lang, 20<br />
cm breit und wird <strong>von</strong> einem Strom <strong>von</strong> 110 A durchflossen. Das Drehmoment ist zu berechnen<br />
und die Drehrichtung der Leiterschleife ist anzugeben! Welche Abhängigkeit besteht zwischen<br />
Drehmoment und Drehwinkel?<br />
Grundprinzip des Gleichstrommotors für N=1 Drehbewegung erfolgt im Uhrzeigersinn<br />
M =2 F . r =2 (B . L . I . b<br />
2 ) 2F =Fges , da zwei Angriffspunkte r =b<br />
2<br />
M =B . L . I . b =0,95 Vs<br />
m2 . 0,3 m . 110 A . 0,2 m =6,27 Nm<br />
M =6,27 Nm . cos α α =Drehwinkel<br />
Beim Durchgang der Leiterschleife durch die Horizontale (α =90° , 270° ) muß die<br />
Stromrichtung umgekehrt werden, um eine kontinuierliche Drehbewegung zu ermöglichen<br />
(Kommutierung).<br />
---> M =6,27 Nm . cos α<br />
40
5. Wechselstromtechnik<br />
Erzeugung <strong>von</strong> Wechselstrom, Bestimmungsgrößen<br />
N<br />
α=ω(t)<br />
r ω<br />
A(t)<br />
S<br />
l = Länge der Leiterschleife<br />
A(t) = 2 r cos ω t<br />
B = konst. ω – Kreisfrequenz<br />
ω= 2 f<br />
¡ induktionswirksamer Fluß Φ( t) = B ⋅ A(<br />
t)<br />
= 2 ⋅ B ⋅ r ⋅l<br />
⋅ cos⋅ω<br />
t<br />
= Φˆ<br />
cos⋅ω<br />
t<br />
Φˆ = 2B<br />
⋅ r ⋅ l<br />
dΦ<br />
Uqi = -N = - N(- Φˆ ωsin ω t)<br />
dt<br />
Uqi = -N Φˆ ωsin ω t = Ê sin ω t , Uqi = N ω Φˆ Generatorprinzip F<br />
Zeitlicher Verlauf Liniendiagramm:<br />
U<br />
5.1 Zeitliche Mittelwerte <strong>von</strong> Sinusgrößen<br />
a) Arithmetischer Mittelwert<br />
T<br />
1<br />
allgemein: X = ∫ X ⋅ dt<br />
T Ο<br />
geometrische Interpretation<br />
x<br />
ο<br />
t UMAX<br />
t<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
ο<br />
1/f = T=2π<br />
π 2π<br />
Für sinusförmige Spannung ergäbe sich U = 0 , deswegen Bezug auf gleichgerichtete<br />
Spannung.<br />
t<br />
ωt<br />
41
x<br />
ο<br />
2π<br />
ω = 2 π f =<br />
T<br />
2<br />
U = ⋅Uˆ<br />
= 0,<br />
64Uˆ<br />
π<br />
b) Effektivwert (quadratischer Mittelwert)<br />
1<br />
T<br />
Ueff =<br />
T ∫<br />
Ο<br />
U<br />
2<br />
dt<br />
geometrische Interpretation<br />
für sinusförmige Größen (Wechselspannung)<br />
Physikalische Bedeutung des Effektivwertes<br />
z.B. Wärmeenergie<br />
i<br />
u<br />
R<br />
t<br />
Ι<br />
2<br />
1<br />
U = ∫Uˆ<br />
sin ω t ⋅ dt<br />
Ι Ο<br />
2<br />
2Uˆ<br />
=<br />
T<br />
Ι<br />
2<br />
∫<br />
Ο<br />
sin ω t ⋅ dt<br />
2Uˆ<br />
U = − cosω<br />
t<br />
ϖT<br />
Ι<br />
2Uˆ Uˆ<br />
2 U = − cos = − −<br />
2π<br />
π<br />
Uˆ<br />
1<br />
U = = 2 Uˆ<br />
= 0,<br />
707 U<br />
2 2<br />
ˆ<br />
U<br />
P = u i<br />
P = R i 2<br />
P<br />
R<br />
T<br />
T<br />
= ∫ Ο<br />
Ο<br />
R ⋅i<br />
2<br />
Ι<br />
2<br />
Ο<br />
( −1<br />
1)<br />
U(t)<br />
u = i R<br />
⋅ dt = Ι<br />
2<br />
⋅ R<br />
2<br />
U (t)<br />
t<br />
Mittelwert des<br />
Leistungsumsatzes<br />
Ein Wechselstrom mit Effektivwert Ieff erzeugt in R die gleiche Wärmemenge, wie ein<br />
Gleichstrom der selben Größe.<br />
¢ £ ¤ ¤ ¥ ¦ § ¨© ¥ § ¨ § ¥ ¨ ¤ ¥ ¨§ § ¥ ¥ § ¥ ¥ ¥ § § ¥ ¥ ¨ § <br />
42
5.2 Sinusförmige Spannungen und Ströme im Zeigerdiagramm<br />
Ziel: Abbildung der Sinusfunktion in der komplexen Ebene<br />
Z L = a + jb<br />
Z L = Z (cos ϕ + j sin ϕ )<br />
Z L =Z.e j ϕ<br />
Zsinϕ<br />
j<br />
Z<br />
ϕ<br />
Zcosϕ<br />
ωt<br />
Zsinωt<br />
Z L = Z (cos ω t + j sin ω t)<br />
x<br />
j Im(Z (<br />
ϕ<br />
ωt<br />
ωt=ϕ<br />
Zcosωt<br />
x<br />
ο<br />
ϕ<br />
ωt))=Zsinωt<br />
Liniendiagramm<br />
Zwei phasenverschobene Sinusfunktionen mit gleicher Frequenz w = 2Uf<br />
Spannung eilt dem Strom voraus um 90° el.<br />
ω<br />
ϕ ui<br />
j<br />
Im<br />
ϕ u<br />
ϕ i<br />
ωt=0<br />
ωt=0<br />
Re<br />
x<br />
Re(Z ( ωt))=Zcosωt<br />
ϕ ϕ<br />
u<br />
i<br />
ϕ ui<br />
Beide Zeiger rotieren mit ω, wobei ihre Lage zueinander erhalten bleibt (Phasenverschiebung<br />
ϕ ui).<br />
Vereinbarung: - Das System der mit gleicher Frequenz rotierenden Zeiger wird zum Zeitpunkt<br />
Z = 0 betrachtet und dargestellt <br />
- Länge der Zeiger entspricht dem Effektivwert der dargestellten Größe <br />
Effektivwertzeiger<br />
Beispiel:<br />
ωt<br />
ωt<br />
43
U = ( ω t + ϕ)<br />
U<br />
jϕ<br />
sin U = U(<br />
cosϕ<br />
+ j sin ϕ)<br />
=<br />
Ue<br />
u<br />
ϕ<br />
ο ωt<br />
Im<br />
ϕ<br />
Re<br />
Symbolik U = U-Zeiger<br />
5.3 Spannungs- und Stromzeiger bei den Grundschaltelementen (R, L, C),<br />
Wechselstromwiderstände<br />
Ohmscher Widerstand<br />
i<br />
u<br />
R<br />
( ω + ϕ)<br />
<br />
<br />
U = Uˆ<br />
sin t<br />
ϕ u<br />
U = Ue<br />
u Uˆ<br />
i = = sin(<br />
ω t + ϕ u)<br />
R R<br />
j u<br />
e ϕ<br />
Ι = Ι<br />
ϕ<br />
u<br />
i<br />
ο ωt<br />
Kondensator<br />
i<br />
Z L<br />
C<br />
U<br />
( ω t + )<br />
U U<br />
= = = R<br />
Ι Ι<br />
U = U ˆ j ϕ u<br />
sin ϕ<br />
U == e<br />
u<br />
du<br />
i = C = Uˆ<br />
⋅ω<br />
C cos(<br />
ω t + ϕu<br />
) →<br />
dt<br />
u<br />
i<br />
ϕ u<br />
U<br />
I<br />
U = U<br />
Ι =<br />
Ι<br />
=<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
2<br />
44<br />
1<br />
U = 2Uˆ<br />
= U<br />
2<br />
2 Ιˆ<br />
2Uˆ<br />
Wechselstromwiderstand (komplexe Größe,<br />
aber Imaginärteil ist Null<br />
I = U ⋅ω<br />
⋅C<br />
⋅ e<br />
ϕ ο ωt<br />
u<br />
I<br />
π<br />
j(<br />
ϕu<br />
+ )<br />
2<br />
U<br />
ϕ u
Z<br />
L<br />
Induktivität<br />
π<br />
− j<br />
2<br />
U<br />
=<br />
Ι<br />
j ϕ u<br />
e<br />
=<br />
j ⎛<br />
ω ⋅ C ⋅ e ⎜ϕ<br />
u<br />
⎝<br />
1<br />
= e<br />
π ⎞ ω ⋅ C<br />
+ ⎟<br />
2 ⎠<br />
e j<br />
j = −<br />
π<br />
− ⎛ ⎛ π ⎞ −2<br />
⎛ π ⎞⎞<br />
2 e = 1⎜<br />
cos⎜−<br />
⎟ + j sin⎜<br />
− ⎟⎟<br />
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠<br />
j<br />
⎛ π ⎞<br />
cos ⎜−<br />
⎟ = 0<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ π ⎞<br />
sin⎜ − ⎟ = −1<br />
⎝ 2 ⎠<br />
i<br />
L<br />
Z = j ⋅<br />
X C<br />
( ω t + u)<br />
X<br />
1<br />
= −<br />
ω ⋅C<br />
L<br />
u<br />
C<br />
U = Uˆ<br />
sin ϕ<br />
U = Ue<br />
j ϕ u<br />
1 −Uˆ<br />
i = u ⋅ dt = ( ω t + ϕ u )<br />
L ∫ cos<br />
ωL<br />
Z<br />
L<br />
U U ⋅ e<br />
= =<br />
Ι U<br />
⋅ e<br />
ω L<br />
Uˆ ⎛ π ⎞<br />
= sin⎜ω<br />
t + ϕ U−<br />
⎟<br />
ω L ⎝ 2 ⎠<br />
jϕ<br />
u<br />
ϕ<br />
u<br />
U<br />
⎛ π ⎞<br />
j⎜<br />
ϕ U − ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
L<br />
Z = j ⋅<br />
X L<br />
i<br />
ο ωt<br />
= ω ⋅ L ⋅ e<br />
X<br />
= ω ⋅ L<br />
π<br />
j<br />
2<br />
Berechnung <strong>von</strong> Wechselstromschaltungen<br />
L<br />
e j<br />
π<br />
2<br />
π<br />
−<br />
2<br />
kapazitiver Wechselstromwiderstand<br />
=<br />
U<br />
Ι =<br />
ω ⋅L<br />
j<br />
⎛<br />
j⎜<br />
ϕ<br />
⎝ e<br />
I<br />
U<br />
π ⎞<br />
− ⎟<br />
2 ⎠<br />
U<br />
ϕ u<br />
induktiver Wechselstromwiderstand,<br />
Induktanz<br />
- Berechnung <strong>von</strong> Wechselstromschaltungen im Zeitbereich erfordert das Lösen <strong>von</strong><br />
DGL <br />
- DGL kann umgangen werden, wenn in Zeigerdarstellung (komplexe Ebene) gerechnet<br />
wird<br />
- Anwendung der komplexen Darstellung nur für eingeschwungene Vorgänge möglich<br />
45
Beispiel:<br />
i<br />
Xc<br />
R<br />
gegeben: u( t)<br />
= 2 ⋅10V<br />
sin ω t<br />
= −30Ω<br />
U<br />
gesucht: i (t)<br />
1. Übergang: Zeitbereich Zeigerdarstellung<br />
( t)<br />
= ⋅10<br />
V sin⋅<br />
t<br />
u j Ο<br />
2 ω<br />
U = 10 V ⋅e<br />
2. Bestimmung des Wechselstromwiderstandes<br />
Z L<br />
Z<br />
<br />
Z L<br />
= ( j)Ω<br />
<br />
40 − 30 = R + j ⋅ X C<br />
X <br />
C<br />
L j ω Z<br />
2 2<br />
2 2<br />
= Ze = Z = R + X C = 40 + 30 Ω = 50Ω<br />
= 50Ω ⋅ e<br />
−36,<br />
9°<br />
3. Berechnung des Stromzeigers<br />
U<br />
Ι =<br />
Z<br />
L<br />
=<br />
50<br />
ϕ Z<br />
X C<br />
j Ο<br />
10V ⋅ e<br />
j 36,<br />
9°<br />
= 0,<br />
2 A⋅<br />
e<br />
− j 36,<br />
9°<br />
Ω ⋅<br />
4. Rücktransformation in den Zeitbereich<br />
Zeigerbilder<br />
Ι = 0,<br />
2<br />
e<br />
− 30<br />
= arctan = arctan = −36,<br />
9°<br />
R 40<br />
A ) )<br />
j 36,<br />
9°<br />
⋅e<br />
i( t = 2 ⋅ 0,<br />
2 Asin<br />
( ω t + 36,<br />
9°<br />
Zeigerbild = Darstellung der Zeiger aller Teilströme und Teilerspannungen einer Schaltung<br />
Beispiele: U = Uˆ<br />
sin ω t<br />
b)<br />
UL i = iˆ<br />
sin ω t<br />
I<br />
R L<br />
U R<br />
U L<br />
U<br />
Uc<br />
Uc<br />
U<br />
U R<br />
I<br />
U<br />
U<br />
U<br />
R<br />
L<br />
C<br />
=<br />
Ι ⋅<br />
= Ι ⋅<br />
= Ι ⋅<br />
R<br />
j ⋅ X<br />
j ⋅ X<br />
L<br />
C<br />
46
c) quantitatives Zeigerbild<br />
I<br />
Uc<br />
R<br />
1<br />
U R1<br />
I L<br />
Uc<br />
U<br />
I R2<br />
I R<br />
I L<br />
U<br />
R<br />
L<br />
2 R1 = 50<br />
R2 = 50<br />
XL = 50<br />
U R2<br />
Verfahren des unbestimmten Maßstabes!<br />
5.4.1 Resonanz<br />
I<br />
U R1<br />
XC<br />
IR = 1A<br />
Maßstäbe: 10 V =ˆ 1 cm<br />
1 A =ˆ 3 cm<br />
U R 2 = Ι R 2<br />
Ι<br />
L<br />
Ι = Ι<br />
Ι =<br />
U<br />
=<br />
X<br />
L<br />
L<br />
⋅ R<br />
R 2<br />
=<br />
+ Ι<br />
2 A<br />
R 2<br />
2<br />
1A<br />
= 50V<br />
U C = Ι⋅<br />
X C = 50 2 V = 70,<br />
7 V<br />
= Ι ⋅ R = 70,<br />
7 V<br />
U R1<br />
U = 112 V<br />
Sonderfall in Wechselstromkreisen, in den der imaginäre Teil des Scheinwiderstandes<br />
verschwindet.<br />
L { } 0<br />
Im Z = oder Z L = R<br />
a) Reihenresonanz<br />
I<br />
R L<br />
U R<br />
Resonanzbedingung<br />
ω = 2 ⋅ <br />
π ⋅ f<br />
r<br />
U L<br />
U<br />
C<br />
Uc<br />
1<br />
ω ⋅ L − = 0<br />
ω ⋅C<br />
U<br />
Ι = L<br />
Z<br />
L<br />
Z = R + j X + X<br />
Z L<br />
1<br />
( )<br />
⎛ 1 ⎞<br />
= R + j ⎜<br />
⎜ω<br />
L − ⎟<br />
⎝ ω C ⎠<br />
ω<br />
r<br />
=<br />
C<br />
1<br />
L ⋅C<br />
L<br />
ω r – Resonanzkreisfrequenz<br />
ω r<br />
f r = Resonanzfrequenz<br />
2 ⋅π<br />
47
Spannungszeiger<br />
kompensieren sich <br />
Spannungsresonanz<br />
+j<br />
U L<br />
Uc<br />
U R<br />
I<br />
+Re<br />
U R<br />
U L<br />
L<br />
= Ι ⋅<br />
R<br />
= jω<br />
⋅ L ⋅Ι<br />
U = U<br />
U C<br />
C<br />
1<br />
= − j<br />
ω c<br />
Hinweis: Die Spannungen über den Blindelementen können wesentlich größer werden als die<br />
Gesamtspannung <br />
Z<br />
R<br />
I<br />
U<br />
R<br />
Z L =<br />
f<br />
( ω)<br />
ω ω<br />
ω ω<br />
r<br />
b) Parallelresonanz<br />
I R<br />
I L<br />
I C<br />
U<br />
R<br />
L<br />
C<br />
Z L<br />
=<br />
Ι = Ι<br />
Ι =<br />
= Ι<br />
R<br />
2<br />
U<br />
Ι =<br />
Z<br />
R<br />
U<br />
R<br />
U<br />
R<br />
+ Ι<br />
⎛ 1 ⎞<br />
+ ⎜<br />
⎜ω<br />
L − ⎟ ⎝ ω c ⎠<br />
L<br />
L<br />
=<br />
+ Ι<br />
C<br />
R<br />
U U<br />
+ −<br />
jω<br />
L 1<br />
j<br />
ω C<br />
U<br />
j jUω<br />
C<br />
ω L<br />
+ −<br />
2<br />
2<br />
U<br />
⋅ Ι<br />
⎛ 1 ⎞<br />
+ ⎜<br />
⎜ω<br />
L − ⎟<br />
⎝ ω C ⎠<br />
2<br />
48
Z L =<br />
Ι =<br />
f<br />
f<br />
( ω)<br />
( ω)<br />
1<br />
Z L<br />
Z<br />
R<br />
Ι =<br />
2<br />
+j<br />
I =j U ωC<br />
C<br />
I R=U/R<br />
I =-j U /ωL<br />
U<br />
1 1 1<br />
= + −<br />
R jω<br />
L 1<br />
j<br />
ω C<br />
U L<br />
Ι = U<br />
+Re<br />
ω ω<br />
r<br />
⎛ 1 ⎡ 1 ⎤⎞<br />
= U⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
+ j ⎢ωC<br />
− ⎥⎟<br />
⎝ R ⎣ ω L⎦<br />
⎠<br />
1<br />
R<br />
2<br />
⎛ 1 ⎞<br />
+ ⎜<br />
⎜ωC<br />
− ⎟<br />
⎝ ω L ⎠<br />
5.5 Wechselstromleistung<br />
u = uˆ sin ω t<br />
u<br />
2<br />
Ι = Ι bei Resonanz, d. h. die Blindanteile<br />
C<br />
L<br />
49<br />
der Ströme heben sich <br />
auf<br />
Hinweis: Die Teilströme in den Blindelementen<br />
können wesentlich größer werden als<br />
der Gesamtstrom<br />
Z L<br />
=<br />
I<br />
U<br />
R<br />
i Z L Z L = R + jX<br />
i = iˆ sin(<br />
ω t + ϕ )<br />
i<br />
⎡1−<br />
cos2ω<br />
t sin 2ω<br />
t ⎤<br />
p = uˆ iˆ<br />
⎢ cosϕ<br />
i + sin ϕ i ⎥<br />
⎣ 2<br />
2 ⎦<br />
1<br />
R<br />
2<br />
1<br />
⎛ 1 ⎞<br />
+ ⎜<br />
⎜ω<br />
c − ⎟<br />
⎝ ω L ⎠<br />
ω ω<br />
r<br />
p = u · i = u ⋅ iˆ<br />
sinω<br />
t ⋅sin(<br />
ω t + ϕ )<br />
ˆ *<br />
Additionstheorem<br />
* sin( ω t + ϕ i ) = cosϕ<br />
i ⋅sinϕ<br />
t + sin ϕ ⋅ cosω<br />
t<br />
p u iˆ<br />
2<br />
= ˆ sin ω t ⋅ cosϕ<br />
i + sin ω t ⋅ cosω<br />
t ⋅sin<br />
ϕ i<br />
1 cos2<br />
* sin<br />
2<br />
2 − ω t<br />
ω t =<br />
sin 2ω<br />
t<br />
* sin ω t ⋅ cosω<br />
t =<br />
2<br />
[ ]<br />
2<br />
i
uˆ<br />
iˆ<br />
* p = [ cosϕ<br />
i + ( sin 2ω<br />
t ⋅sin<br />
ϕ i − cos2ω<br />
t ⋅cosϕ<br />
i ) ]<br />
2<br />
T<br />
1 uˆ<br />
iˆ<br />
Mittelwert P = p d t = cosϕ<br />
∫Ο<br />
i<br />
T 2<br />
uˆ<br />
= 2U<br />
Wechselstromleistung besitzt einen zeitunabhängigen<br />
Anteil<br />
Mittelwert P<br />
und einen periodischen Anteil, dessen<br />
iˆ<br />
= 2 Ι<br />
Mittelwert Null ist<br />
P U ⋅Ι<br />
cos ϕi<br />
S = U · I Scheinleistung<br />
P = S cos ϕ<br />
= Wirkleistung Pw (t)<br />
P<br />
ϕi<br />
=<br />
S<br />
Pw ( t)<br />
= S ( sin 2 ω t ⋅sin<br />
ϕ i − cos 2ω<br />
t ⋅ cosϕ<br />
i )<br />
ω − ϕ ω<br />
cos Leistungsfaktor<br />
= S sinϕ sin 2 t S cos ⋅ cos 2 t<br />
<br />
<br />
Q<br />
<br />
i ⋅ <br />
P<br />
Q = S ⋅sinϕ<br />
<br />
p(t) = P + pw(t)<br />
p t = P 1 − cos 2ω<br />
t + Qsin<br />
2ω<br />
t<br />
( ) ( )<br />
P<br />
P<br />
Q<br />
i<br />
i<br />
+ +<br />
- -<br />
i<br />
Blindleistung<br />
-<br />
P(1-cos2ωt)<br />
+<br />
Q(1-sin2ωt)<br />
<br />
Interpretation:<br />
- Komponente Q sin 2 ω t ist die Leistung, die zwischen Erzeuger und Verbraucher „hin<br />
und her geschoben“ wird, ohne dass es im Mittel zu einem Leistungsumsatz kommt.<br />
Der Transport der Leistung ruft aber in den Zuleitungen Stromwärmeverluste hervor<br />
und belastet das Netz cosϕ → 1<br />
- P (1-cos 2 ω t) ist stets positiv <br />
(Spannungsquelle<br />
Leistung wird im Verbraucher umgesetzt.<br />
1<br />
T<br />
T<br />
∫<br />
Ο<br />
P<br />
( 1−<br />
cos 2ω<br />
t)<br />
dt = P = P<br />
Leistungsdreieck<br />
-<br />
ωt<br />
50
S = UΙ<br />
⎫<br />
⎪<br />
P = S cosϕ<br />
i ⎬<br />
Q = S sin ϕ ⎪<br />
i ⎭<br />
S 2 = P 2 + Q 2 keine Vektoren<br />
Beispiele<br />
1. Betrachtungen an einem komplexen<br />
Verbraucher<br />
220V, 50Hz<br />
I<br />
10Ω<br />
R<br />
C<br />
I 1<br />
162,5μF<br />
L<br />
140 mH<br />
I 2<br />
ϕ i<br />
S<br />
P<br />
R = 10<br />
C = 162,5 F<br />
L = 140 mH<br />
a) Berechnen Sie für die Gesamtschaltung P, Q, S und den Phasenwinkel ! <br />
b) Welcher Gesamtstrom I stellt sich ein?<br />
6<br />
1 10<br />
X C = = −<br />
Ω = −19,<br />
6Ω<br />
ω C 2π<br />
⋅ 50 ⋅162,<br />
5<br />
X L<br />
= ω L = 2π<br />
f ⋅140<br />
⋅10<br />
P Ι ⋅ R<br />
−3<br />
Ω = 44Ω<br />
Q<br />
gesucht:<br />
Gesamtleistung<br />
S, P, Q, <br />
= 2<br />
1 Ι1<br />
=<br />
= A = 10 A<br />
2 2<br />
R + X 22<br />
C<br />
P = 1000 W<br />
QC 2<br />
= Ι1<br />
⋅ X C = −1960<br />
Var<br />
2<br />
U<br />
Q L =<br />
X<br />
= 1100 VAr<br />
Q = Q + Q = -860 Var<br />
L<br />
C<br />
P<br />
cos ϕ = = 0,76<br />
S<br />
L<br />
S +<br />
U<br />
2 2<br />
= P Q = 1319 VA<br />
S<br />
Ι = = 6A<br />
U<br />
2. Die dargestellte Schaltung wird mit einer Wechselspannung U = 100 V bei f = 50 Hz gespeist. Die<br />
Bauelemente haben folgende Werte:<br />
R 1 = 30 Ω ; R 2 = 50 Ω ; L = 0,1 H ; C = 44,6 μF<br />
Der Schalter S ist geöffnet.<br />
a) Es sind der Strom durch R 1 und der Scheinwiderstand in der komplexen Zahlenebene zu<br />
errechnen. Daraus sind der Effektivwert des Stromes und der resultierende Phasenwinkel<br />
zwischen Gesamtspannung und Strom zu ermitteln und das maßstäbliche Zeigerbild zu<br />
zeichnen. Maßstab: 1cm = 20 V; 1 cm = 0,5 A<br />
220<br />
51
) Bei welcher Frequenz ist nach außen nur R 1 wirksam ("Resonanz") ? Wie groß sind dabei der<br />
Strom sowie die Spannung am Kondensator und an der Induktivität ?<br />
Der Schalter S wird geschlossen:<br />
Ergänzen Sie das maßstäbliche Zeigerbild und berechnen Sie Gesamtstrom und Phasenwinkel!<br />
a) I = U<br />
| |<br />
= R 1<br />
1 +<br />
j ωC +j ωL =R1 + j (XL + Xc ) =30 Ω - j 40 Ω<br />
Xc = -1<br />
ωC =<br />
- 1<br />
314 s-1 . 44,6 . 10-6 As<br />
=- 71,4 Ω<br />
V<br />
XL =ωL =314 s-1 . 0,1 Vs<br />
A<br />
=31,4 Ω<br />
| |=Z =<br />
2<br />
R1 + (XL +Xc )2 =50 Ω Ieff =IR1 = U V<br />
=100 =2 A<br />
Z 50 Ω<br />
ϕ =arctan Im<br />
Re =arctan XL +Xc - 4<br />
R<br />
=arctan<br />
3<br />
---> ϕ =- 53,13 °<br />
cos ϕ = R<br />
Z =cos 0,6 ----> ϕ =- 53,13 ° I∠ = 2A e -j53,13<br />
Zeigerbild: Maßstab: 1cm =20 V; 1cm =0,5 A;<br />
UR1 =I . R1 =60 V (3 cm) UR2 =100 V (5 cm)<br />
UL =I . XL =62,8 V (3,4 cm)<br />
UR2 IR2 =<br />
R<br />
=2 A (4 cm)<br />
2<br />
U c =I . X c =142,8 V (7,1 cm) I ges =3,5 A (7 cm)<br />
1<br />
b) Resonanz ---> XL =Xc ---> 2 π fR L =<br />
2 π fR C<br />
fR = 1 .<br />
2π<br />
1 1<br />
=<br />
L C 2π . 1<br />
0,1 H . 44,6 . 10-6 = 75,42 Hz<br />
F<br />
IRes = U 100 V<br />
R<br />
=<br />
1 30 Ω = IL =Ic =3,33 A |UL |= IL . XL =3,33 A . 2π . 75,42 Hz . 0,1 H =157,8 V<br />
|Uc |= Ic . Xc =3,33 A .<br />
1<br />
2π . 44,6 . 10-6 F . =157,8 V<br />
75,42 Hz<br />
UL = Uc da XL = Xcund IL =Ic =I<br />
c) IR2 = U 100 V<br />
R<br />
=<br />
2 50 Ω =2 A und IR2 || U<br />
2<br />
I = I1 + I 2<br />
2<br />
+ 2 I1 I2 cos ϕ = I 2<br />
1 + I 2<br />
2<br />
I =3,577 A Zeigerbild: 3,5 A<br />
3. Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Werten:<br />
+ 2 I 1 I 2 cos [ 180° - ( ϕ 1 - ϕ 2 )]<br />
52
R =2,2 Ω; L =7,0 mH; U =230 V; f = 50 Hz<br />
a) Berechnen Sie Wirk-, Blind-, Scheinleistung, den resultierenden Phasenwinkel und den<br />
Gesamtstrom I !<br />
b) Zur Kompensation wird ein Kondensator C parallelgeschaltet. Bestimmen Sie dessen Größe,<br />
wenn cosϕ =1 werden soll ! Um wieviel Prozent verringert sich der Gesamtstrom I ?<br />
c) Berechnen Sie den Spannungsabfall in einer 31,4 m langen Zuleitung (Cu 10 mm 2 ;<br />
ρ Cu =0,0175 Ω mm 2 m -1 ) für die Fälle a) und b) ! (Zulässig in Verbraucheranlagen sind<br />
nach VDE 5% Spannungsabfall)<br />
d) Berechnen Sie die Leitungsverluste für die Fälle a) und b) !<br />
a) IR = U V<br />
=230<br />
R 2,2 Ω =104,54 A I U 230 V<br />
L = =<br />
XL 2 π f . =104,58 A<br />
7,0 mH<br />
2<br />
P =I .<br />
R R = (104,54 A) 2 . 2,2 Ω = 24045,45 W<br />
Q L =I L<br />
2 . XL =(104,58 A) 2 . (2 π f . 7,0 mH) = 24055,13 VA r<br />
S = P2 +Q2 =34012,25 VA<br />
S =Uges . Iges ----> Iges = S 34012,25 VA<br />
U<br />
=<br />
ges 230 V<br />
=147,88 A<br />
ϕ =arctan Q<br />
P<br />
arctan 1,001=45,01° oder cos ϕ =P<br />
S<br />
=0,707 ----> ϕ =45,01°<br />
b) cos ϕ =1 ----> QL =Qc Qc = U 2<br />
c<br />
Xc ---><br />
.<br />
1,<br />
2 pf C , Qc<br />
Xc = =<br />
C =<br />
2<br />
U c<br />
Qc . 2 π f =24055,13 VAr ;(230 V)2 . 2 π . 50 Hz) =1,45 mF<br />
S = P2 +(QL - Qc ) =P =24045,45 VA Iges = S 24045,45 VA<br />
U<br />
=<br />
ges 230 V<br />
=104,54 A<br />
Δ I % = 104,54 A . 100%<br />
147,88 A<br />
=70,70 % oder Igesa I<br />
=<br />
gesb cos ϕa =<br />
cos ϕb 0,707<br />
1<br />
=0,707 ---> 70,7 %<br />
Der Gesamtstrom ändert sich durch die Kompensation um ca. 30%.<br />
c) RLeitung = ρ . L Ω mm2<br />
A<br />
=0,0175<br />
m . 2 . 31,4 m<br />
10 mm2 = 0,1099 Ω ---> 0,11 Ω<br />
U Leitung =I . R Leitung<br />
Fall a) Fall b)<br />
U Leitg. = 147,88 A . 0,11 Ω =16,27 V U Leitg. = 104,54 A . 0,11 Ω =11,5 V<br />
nach VDE: 230 V . 0,05 =11,5 V ----> max. zulässiger Spannungsabfall<br />
d) P v =I 2 . R<br />
Fall a) Fall b)<br />
P v = (147,88 A) 2 . 0,11 Ω =2405,53 W P v = (104,54 A) 2 . 0,11 Ω =1202,15 W<br />
53
6. Drehstrom (Dreiphasenwechselstrom)<br />
Erzeugung <strong>von</strong> Drehstrom<br />
I err<br />
2'<br />
3<br />
1<br />
1'<br />
3'<br />
2<br />
U1 U2 U3<br />
π/2<br />
2/3π=12 0<br />
U1 = Uˆ sin ω t<br />
⎛ 2 ⎞<br />
U2 = Uˆ<br />
sin⎜ω<br />
t − π ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎛ 4 ⎞<br />
U3 = Uˆ<br />
sin⎜ω<br />
t − π ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
Zeigerdiagramm aus dem Liniendiagramm<br />
Rechtssystem<br />
U<br />
1<br />
2<br />
U3<br />
+ U + U<br />
j0<br />
U 1 = Ue ;<br />
3<br />
U1<br />
120 0 120 0<br />
= 0<br />
U<br />
2<br />
2<br />
− j π<br />
3<br />
U2<br />
= Ue ;<br />
6.1 Verkettung des Dreiphasensystems<br />
W 1<br />
W 2<br />
U 1<br />
U 2<br />
V 1<br />
V 2<br />
U<br />
3<br />
π<br />
2π<br />
Dreiphasensystem ist ein System <strong>von</strong> drei<br />
gleichgroßen Spannungen mit gleicher<br />
Frequenz, die zueinander um je 120°<br />
phasenverschoben sind<br />
= Ue<br />
Das unverkettete Dreiphasensystem benötigt sechs Zuleitungen und stellt dem dreiphasigen<br />
Verbraucher drei Spannungen mit der selben Amplitude zur Verfügung <br />
4<br />
− j π<br />
3<br />
R<br />
R<br />
R<br />
54<br />
ωt
a) Sternschaltung (<br />
U = U -<br />
31 30 U10<br />
U30<br />
3<br />
U10<br />
0<br />
U q3<br />
Y<br />
U = U -<br />
23 20 U30<br />
)<br />
I 3<br />
U q1<br />
1<br />
0<br />
U = U -<br />
12 10 U20<br />
U20<br />
U q2<br />
U 10<br />
Index 0 wird in Zukunft weggelassen.<br />
2<br />
V2 Beziehung zwischen der Strang- und Leiterspannung:<br />
U1<br />
Y<br />
0<br />
120 0<br />
U<br />
12<br />
60 0<br />
30 0<br />
U2<br />
U 20<br />
I 0<br />
U 30<br />
U<br />
U<br />
10<br />
12<br />
3<br />
U 31<br />
Z3<br />
+ U + U<br />
20<br />
+ U + U<br />
23<br />
Z 1<br />
U 30<br />
I 2<br />
30<br />
31<br />
1<br />
0<br />
U 23<br />
= 0<br />
= 0<br />
U 10<br />
U 20<br />
Z 2<br />
U 12<br />
Definition der Strangspannung und der<br />
Leiterspannung; Ustr. UL<br />
U12<br />
sin 60°<br />
=<br />
2U<br />
2<br />
12 = 2 ⋅ 2sin<br />
60°<br />
U<br />
1<br />
U ; sin 60°<br />
= 3<br />
2<br />
U = 3 ⋅U<br />
12<br />
oder allgemein:<br />
U L = 3 ⋅U<br />
str<br />
Bei der -Schaltung verhalten sich die Strangspannungen zu den Leiterspannungen wie<br />
1 : 3<br />
1.) Ustr. = 230 V (220V)<br />
d. h. es stehen prinzipiell stets zwei Spannungen<br />
2.) UL = 400 V (380V)<br />
zur Verfügung, wobei bei der -Schaltung die<br />
Strangspannung (Spannung am Verbraucher)<br />
230 V beträgt<br />
Die Ströme in den Strängen und Leitern sind dieselben<br />
IL = Istr.<br />
.<br />
2<br />
Y<br />
2<br />
55
L L L<br />
1 = 2 3<br />
Für einen symmetrischen Verbraucher ( Z Z = Z = Z<br />
denn<br />
U<br />
U<br />
1<br />
Ι Ο<br />
= 0<br />
( U + U + U ) = 0<br />
Ι Ο <br />
= Ι1<br />
+ Ι 3<br />
1 = L<br />
Z1<br />
2 + L<br />
Z 2<br />
3 + L<br />
Z 3<br />
= L<br />
Z<br />
1 2<br />
0<br />
U<br />
Sind die Verbraucher unterschiedlich, (unsymmetrische Last;<br />
Strom im Nulleiter I0<br />
Z. B.:<br />
I 1<br />
I 3<br />
I 2<br />
U 1<br />
U 3<br />
U 2<br />
b) Dreieckschaltung ( <br />
Zeigerdiagramm<br />
für induktive Last<br />
3<br />
3<br />
U 31<br />
R<br />
R/2<br />
1<br />
0<br />
R<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
Begründung der Rolle des Nulleiters<br />
1<br />
U 23<br />
1<br />
U 31<br />
U 12<br />
2<br />
U 23<br />
3<br />
U3<br />
L<br />
) gilt<br />
Z 2 L<br />
Z 1<br />
L<br />
Z 3 ), fließt ein<br />
I 1 =2U 1/R<br />
I =U /R<br />
3<br />
3<br />
L L L<br />
12 = Z 23 = Z31<br />
Z = Z<br />
Es gibt keinen Nulleiter!<br />
Es gilt: I12 + U 12 U 23 U 31<br />
I23 + I31 = 0 wegen + + = 0<br />
L L L<br />
Z Z Z<br />
0<br />
U 12<br />
L<br />
U1<br />
0<br />
1. I1 = I12 - I31<br />
2. I2 = I23 - I12<br />
3. I3 = I31 - I23<br />
I =I + I + I<br />
0<br />
1<br />
2 3<br />
I =U /R<br />
2<br />
2<br />
U2<br />
I1 = I2 - I3 = 0<br />
In der <br />
Null!<br />
Beziehung zwischen den Strang- und Leiterströmen<br />
56
1<br />
⎛ U 12<br />
31 ⎞<br />
Ι1 = Ι12<br />
− Ι 31 = ( U 12 −U<br />
31 )<br />
L<br />
⎜Ι12<br />
= ; Ι =<br />
L<br />
31 L ⎟<br />
2<br />
⎝ Z<br />
Z ⎠<br />
Ι<br />
Ι<br />
1<br />
12<br />
=<br />
U<br />
12<br />
allgemein<br />
und<br />
U<br />
−U<br />
12<br />
31<br />
=<br />
3<br />
U 12 - U 31<br />
2<br />
6.2 Leistung im Drehstromsystem<br />
3<br />
2<br />
1<br />
I 1<br />
I 3<br />
I 2<br />
U 1<br />
U 3<br />
U2<br />
Z < 3<br />
Pges = P1 + P2 + P3<br />
P1 = U2 I1 1<br />
P2 = U2 I2 2<br />
P3 = U3 I3 3<br />
bei<br />
Z1 L = Z2 L = Z2 L = Z L<br />
P1 = P2 = P3 = IL Ustr.<br />
Pges = 3 IL <br />
Ustr.<br />
1<br />
3<br />
U<br />
str.<br />
=<br />
1<br />
0<br />
120 0<br />
UL = Ustr.<br />
Z < 2<br />
2<br />
U<br />
U 12<br />
-U 31<br />
12<br />
U<br />
−U<br />
12<br />
1<br />
Z < 1 Z < 1<br />
U<br />
3<br />
L<br />
Ι<br />
L<br />
31<br />
3<br />
2<br />
=<br />
3<br />
Pges = P1 + P2 + P3<br />
P1 = U12 I12 1<br />
P2 = U23 I23 2<br />
U<br />
I 31<br />
P3 = U31 I 31 3<br />
bei<br />
Z1 L = Z2 L = Z3 L = Z L<br />
Z < 3<br />
1<br />
3 Z < 2<br />
P1 = P2 = P3 = Istr <br />
UL.<br />
Pges = 3 Istr <br />
UL.<br />
1<br />
Ι<br />
str.<br />
Ι<br />
3<br />
<br />
⋅ ⋅ ϕ<br />
P<br />
=<br />
ges<br />
3 ⋅ Ι str<br />
= 3 UL<br />
IL<br />
⋅cos<br />
S = 3 ⋅U<br />
⋅Ι<br />
ges<br />
Qges = 3 ⋅U<br />
L ⋅Ι<br />
L<br />
.<br />
L<br />
L<br />
L<br />
sin ϕ<br />
I 12<br />
1<br />
I 23<br />
2<br />
57
Beispiele<br />
1. Ein Drehstromverbraucher hat folgende Daten: UL = 6 kV, IL = 28 A, cosϕ = 0,8. Berechnen<br />
Sie die Wirk-, Blind- und Scheinleistung!<br />
P = 3U I cos ϕ = 1, 732 ⋅ 6000V ⋅ 28A ⋅ 0, 8 = 232, 787kW<br />
L L<br />
P Q<br />
S = 3UL IL<br />
= = = 290, 984kVA<br />
cosϕ sin ϕ<br />
2 2<br />
Q = Ssin ϕ = S − P = 3U I sin ϕ = 174, 590k<br />
var<br />
L L<br />
2. Skizzieren Sie zur direkten bzw. indirekten Messung der Systemwirkleistung eines<br />
symmetrischen Verbrauchers ohne Mittelpunktsleiter:<br />
a) Einwattmeterschaltung mit künstlichem Sternpunkt,<br />
b) Aronschaltung<br />
a)<br />
b)<br />
c) I1 +I2 +I3 =0 Pges = I1U1 +I2U2 +I3U3 cosϕ = 1 z.B.<br />
I2 = - I1 - I3 Pges = I1 (U1 - U2 ) +I3 (U3 - U2 )<br />
P1 : I1 (U1-U2 ) P2 : I3 (U3-U2 )<br />
Mit zwei Instrumenten kann die gesamte Wirkleistung unabhängig <strong>von</strong> der Schaltung<br />
gemessen werden!!<br />
3. a) Mit Hilfe der Daten des folgenden Prinzipschaltbildes sind die Ströme I 1 , I 2 , I 3, und I 4 zu<br />
berechnen!<br />
b) Berechnen Sie die Gesamtwirk-, Gesamtblind-, Gesamtscheinleistung sowie den Gesamtstrom<br />
des Systems ohne Kompensationsanlage!<br />
c) Berechnen Sie die Gesamtwirk-, Gesamtblind-, Gesamtscheinleistung sowie den Gesamtstrom<br />
des Systems mit der Kompensationsanlage wobei für Q c = 75 kvar einzusetzen ist!<br />
58
a,b) Berechnung der Einzelwerte des Systems und tabellarische Zusammenstellung!<br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
<br />
<br />
<br />
Abzweig P<br />
kW<br />
cosϕ<br />
=<br />
ϕ<br />
kVA<br />
=<br />
A<br />
= −<br />
kvar<br />
1 5 0,2 25 36 625 25 +24,49<br />
2 45 0,8 56 80,9 3136 2025 +33,33<br />
3 18 1,0 18 26 0<br />
4 56 0,7 80 115,6 6400 3136 +57,13<br />
<br />
Kennzeichnung induktiver Blindlasten: "+" / „-„ oder Zusatz "ind." / „kap“<br />
59<br />
S2 P2 <br />
Berechnung des Gesamtstromes nur über die Gesamtwirk, -Blind- oder Scheinleistung möglich!!<br />
Aus Tabelle: P = 124 kW P 2 = 15376 kW 2 , Q = 114,95 kvar Q 2 = 13213,5 kvar 2<br />
S 2 = P 2 +Q 2 S = 169,08 kVA<br />
<br />
= <br />
c) Qc = 75 kvar kap!<br />
I = 244,3 4A<br />
Q Σ2 mit C = (114,95 - 75)kvar = 39,95 kvar ind<br />
S Σ2 2 = P 2 +Q 2 S Σ2 =130,18 kVA<br />
<br />
= <br />
IΣ2 = 188,13 A cosϕΣ2 = PΣ2 /SΣ2 = 0,9525
7. Schutzmaßnahmen in Niederspannungsanlagen<br />
7.1. Allgemeines<br />
Als Maß für die Wirkungen der Elektrizität ist primär der Strom maßgeblich, erst sekundär die<br />
eigentlich auslösende Größe, die elektrische Spannung. Diese ist mit dem Strom über den<br />
Widerstand (Übergangswiderstände an Stromeintritts- und -austrittsstelle, Körperinnenwiderstand)<br />
verknüpft. Hauptsächlich treten vier Erscheinungsformen als Folge <strong>von</strong> elektrischer Durchströmung<br />
auf:<br />
- Reizwirkung (Schmerz),<br />
- Kontraktion <strong>von</strong> Muskeln,<br />
- Fehlersteuerungen (Herzkammerflimmern, Lungenstillstand),<br />
- elektrolytische Wirkungen (Verbrennungen).<br />
Für die Gefährdung durch elektrischen Strom können drei Grenzen festgestellt [5] werden:<br />
- Spürbarkeitsgrenze (Anfang der Reizwirkung),<br />
- Loslassgrenze (z.b. Starrkrampf in den Armen),<br />
- Schwellwert für den Einsatz des Herzkammerflimmerns.<br />
Die mittleren unteren Grenzwerte sind (nach Dr. Hauf, Freiburg) bei Wechselstrom mit 50Hz:<br />
0,0045 mA Wahrnehmbarkeit mit der Zunge<br />
1,2 mA Wahrnehmbarkeit mit den Fingern<br />
6 mA Muskelverkrampfungen bei Frauen, Loslaßgrenze (let-go current)<br />
9 mA Muskelverkrampfungen bei Männern, Loslaßgrenze (let-go current)<br />
20 mA Verkrampfung der Atemmuskulatur<br />
80 mA Herzkammerflimmern, wenn die Einwirkungsdauer länger als 1 s<br />
Dies sind untere Grenzwerte, die Mittelwerte liegen um 50% höher!!!<br />
Diese Gefährdungsgrenzen sind <strong>von</strong> den Einflussgrößen Frequenz, Weg des Stromes, Betrag des<br />
Stromes, Einwirkungsdauer und Stromform abhängig. Gefährdung nimmt mit der Frequenz ab <br />
Heilbehandlung<br />
Nach [6] kann Herzkammerflimmern schon bei Stromstärken <strong>von</strong>:<br />
80 mA Wechselstrom<br />
bzw. 300 mA Gleichstrom<br />
auftreten. Es werden daher Stromgrenzwerte festgelegt, deren Überschreitung in elektrischen<br />
Anlagen/Geräten zwingend die Anwendung <strong>von</strong> geeigneten Schutzmaßnahmen gegen gefährliche<br />
Durchströmungen fordert: z.B.<br />
50 V Wechselspannung<br />
120 V Gleichspannung (Welligkeit < 10%)<br />
oder<br />
3 mA Wechselstrom eff.<br />
12 mA Gleichstrom (Welligkeit < 10%)<br />
(als Maximalströme bei 2 kΩ induktionsfreien Widerstand)<br />
Da bei einer Spannung <strong>von</strong> 220V∼ {R ü ≤ 100 Ω bis 100 kΩ; R k = 300Ω bis 1300Ω} schon Ströme<br />
<strong>von</strong> ca. 440 mA auftreten können sind in allen Niederspannungsanlagen (Nennspannung ≤ 1000 V)<br />
grundsätzlich Schutzmaßnahmen anzuwenden.<br />
Die anzuwendenden Schutzmaßnahmen sind:<br />
Schutzkleinspannung<br />
Schutzerdung<br />
Überstromschutzeinrichtungen (Nullung)<br />
Schutzleitungssystem<br />
Fehlerspannungs (FU) - Schutzschaltung<br />
60
Fehlerstrom (FI) - Schutzschaltung<br />
Schutztrennung<br />
Schutzisolierung<br />
Die anzuwendenden Schutzmaßnahmen werden <strong>von</strong> der jeweils vorliegenden Netzkonfiguration<br />
bestimmt.<br />
Schutz gegen<br />
direktes Berühren<br />
vollständiger Schutz<br />
Isolierung<br />
Abdeckung<br />
Umhüllung<br />
Teilweiser Schutz<br />
Hindernisse<br />
Abstände<br />
Zusätzlicher Schutz<br />
FI - Schutzeinrichtung<br />
7.2 Netzformen<br />
Übersicht über die Schutzmaßnahmen<br />
nach DIN 57 100 Teil 410 / VDE 0100 Teil 410<br />
Schutz bei<br />
indirektem Berühren<br />
Schutz durch Abschaltung<br />
oder Meldung<br />
TN - Netz<br />
TT - Netz<br />
IT - Netz<br />
Schutzisolierung<br />
Schutz durch nichtleitende<br />
Räume<br />
Schutz durch erfreien<br />
örtlichen Potentialausgleich<br />
Schutzkleinspannung<br />
Funktionskleinspannung<br />
61<br />
Begrenzung der Entladungsenergie<br />
Überstromschutzeinrichtung<br />
FI - Schutzeinrichtung<br />
Überstromschutzeinrichtung<br />
FI - Schutzeinrichtung<br />
FU - Schutzeinrichtung<br />
Überstromschutzeinrichtung<br />
FI - Schutzeinrichtung<br />
Isolationsüberwachungseinrichtung<br />
FU - Schutzeinrichtung<br />
mit sicherer Trennung<br />
ohne sichere Trennung
Kennzeichnung :<br />
erster Buchstabe: - Erdungsverhältnisse der Stromquelle<br />
T direkte Erdung eines Punktes<br />
I entweder Isolierung aller aktiven Teile <strong>von</strong> Erde oder<br />
Verbindung eines Punktes mit Erde über eine Impedanz<br />
zweiter Buchstabe: - Erdungsverhältnisse der Körper der elektrischen Anlage<br />
T Körper direkt geerdet<br />
N Körper direkt mit dem Betriebserder verbunden (meist Sternpunkt)<br />
weitere Buchstaben: - Anordnung des Neutralleiters und des Schutzleiters im TN-Netz<br />
S Neutralleiter- u. Schutzleiterfunktion durch getrennte Leiter<br />
C Neutralleiter- u. Schutzleiterfunktionen kombiniert in einem<br />
Leiter (PEN - Leiter)<br />
7.3. Kurzcharakteristika der Schutzmaßnahmen<br />
Elektrische Anlagen und Geräte müssen grundsätzlich zwei Schutzfunktionen gewährleisten. Der<br />
Grund- oder Basischutz sichert gegen direktes Berühren (DIN VDE 0100 Teil 410), der<br />
Fehlerschutz sichert gegen gefährliche Spannungen an Teilen die normalerweise nicht unter<br />
Spannung stehen (Schutz bei indirektem Berühren).<br />
Schutz bei indirektem Berühren<br />
Hierzu sind Schutzmaßnahmen allgemein notwendig und sollten in jeder elektrischen Anlage<br />
vorgesehen werden. Wird der Schutz durch "Abschaltung oder Meldung" gewährleistet, so ist stets<br />
eine Koordinierung zwischen Netzform und Schutzeinrichtung notwendig. Basis dafür sind die<br />
typischen Netzformen nach DIN 57 100 Teil 310/ VDE 0100 Teil 310. Aufgabe dieser<br />
Schutzeinrichtungen ist es ." Durch automatisches Abschalten nach Auftreten <strong>von</strong> Fehlern soll<br />
verhindert werden, dass eine Berührungsspannung solange fortbesteht, dass sich hieraus eine Gefahr<br />
ergeben könnte."<br />
7.3.1 Schutzisolierung<br />
Die Schutzisolierung soll das Überbrücken zu hoher Berührungsspannungen gegen mit Erde in<br />
Verbindung stehenden leitfähigen Teilen oder gegen den Standort verhindern.<br />
62
Die Körper dieser Betriebsmittel sind mit Isolierstoff zusätzlich zur Basisisolierung zu umgeben, der<br />
an keiner Stelle durch leitende Medien durchbrochen werden darf. Diese Isolierstoffumhüllung muss<br />
den mechanischen, elektrischen und thermischen Beanspruchungen standhalten, die üblicherweise<br />
auftreten können. An die Körper dieser Betriebsmittel dürfen keine Schutzleiter angeschlossen<br />
werden. Kennzeichnung: (nach DIN 30600)<br />
7.3.2 Schutz- und Funktionskleinspannung<br />
Man unterscheidet hier "Funktionskleinspannung mit sicherer Trennung" (entspr. Sicherheitskleinspannung)<br />
und "Funktionskleinspannung ohne sichere Trennung".<br />
Die Nennspannung dieser Anlagen darf 50V Wechselspannung oder 120V Gleichspannung nicht<br />
überschreiten und die Speisung muss aus einer speziellen Stromquelle erfolgen (z.b.<br />
Sicherheitstransformatoren nach VDE 0551).Wenn die Nennspannung 25V ~ oder 60V= überschreitet<br />
muss ein Schutz gegen direktes Berühren sichergestellt werden (z.b.: Isolierung die einer<br />
Prüfspannung <strong>von</strong> 500V Wechselspannung 1 min. standhält!) Aktive Teile <strong>von</strong><br />
Schutzkleinspannungsstromkreise dürfen weder mit Erde noch mit Schutzleitern oder mit aktiven<br />
Teilen anderer Stromkreise verbunden werden. Körper dürfen nicht absichtlich verbunden werden,<br />
weder mit Erde noch mit Schutzleitern oder Körpern <strong>von</strong> Stromkreisen anderer Spannungen. Wenn<br />
Funktionskleinspannung ohne sichere Trennung vorliegt, werden erheblich schärfere Forderungen<br />
(z.B. Prüfspannung 1500V) an die eingesetzten Betriebsmittel gestellt.<br />
7.3.3 Schutztrennung<br />
Durch Schutztrennung eines einzelnen Stromkreises werden Gefahren beim Berühren <strong>von</strong> Körpern<br />
vermieden, die durch einen Fehler in der Basisisolierung des Stromkreises Spannung annehmen<br />
können. Trennmittel sind z.B. Trenntransformatoren nach VDE 0550, Motorgeneratoren nach VDE<br />
0530. Diese Geräte sollten meist in "Schutzisoliert" ausgeführt sein. Die aktiven Teile des<br />
Sekundärstromkreises dürfen weder mit einem anderen Stromkreis noch mit Erde verbunden werden.<br />
Wenn die Schutzmaßnahme Schutztrennung im Hinblick auf eine besondere Gefährdung zwingend<br />
vorgeschrieben ist, darf an die Stromquelle nur ein einzelnes Verbrauchsmittel angeschlossen<br />
werden.<br />
7.4.1 Schutzmaßnahmen mit Überstrom-Schutzeinrichtungen im TN-Netz<br />
(Nullung und Schutzerdung)<br />
Alle Körper müssen mit dem geerdeten Punkt des speisenden Netzes durch Schutzleiter bzw. PEN-<br />
Leiter verbunden werden. Im Fehlerfall spricht dann die Überstromschutzeinrichtung an. Die<br />
Ansprechzeit muss:<br />
in Stromkreisen mit Steckdosen bis 35 A Nennstrom ≤ 0,2 s<br />
in anderen Stromkreisen ≤ 5 s betragen.<br />
Die Impedanz der Fehlerschleife muss so gering sein, dass die o.g. Ansprechzeiten sicher eingehalten<br />
werden.<br />
Z S ∗ I a ≤ U 0<br />
Z S Fehlerschleifenimpedanz<br />
I a Abschaltstrom (Bei FI-Schaltereinsatz = Nennfehlerstrom des FI Schalters)<br />
U 0 Nennspannung gegen geerdeten Leiter<br />
Es dürfen im TN - Netz: Überstrom-Schutzeinrichtungen<br />
Fehlerstrom-Schutzeinrichtungen<br />
angewandt werden. (Im TN-C-Netz muss der Schutz durch Überstromschutzeinrichtungen erfolgen.)<br />
Bei zusätzlichem Einsatz <strong>von</strong> Fehlerstromschutzeinrichtungen muss der Anschluss der Körper an<br />
den Schutzleiter des Netzes vor der Fehlerstromschutzeinrichtung erfolgen.<br />
Überstromschutzeinrichtungen im PEN - Leiter sind unzulässig! Ist der PEN - Leiter schaltbar, so<br />
muss das Schaltstück beim Einschalten vor- und beim Ausschalten nacheilen!<br />
Beispiel: Überstromschutzeinrichtung<br />
63
S1<br />
I F<br />
Erdung nach DIN/<br />
VDE 0100 Teil 540<br />
I F<br />
Ia S2<br />
TN - C - Netz<br />
M 3 ~<br />
I F<br />
TN - C - S - Netz<br />
I F<br />
PEN<br />
Rohrnetze<br />
N - Neutralleiter L 2 , L 3 - Außenleiter<br />
PE - Schutzleiter I F - Fehlerstrom<br />
PA<br />
TN - S - Netz<br />
Metallkonstruktionen<br />
PA - Potentialausgleich I a - Abschaltstrom d. Überstromschutzeinrichtung<br />
PEN - Schutzleiter mit Neutralleiterfunktion<br />
Wirkprinzip:<br />
Wenn z.B. am Motor <strong>von</strong> L 2 zu dem Gehäuse (Körper) ein Fehlerstrom I F auftritt, so fließt dieser<br />
Strom über die Erdklemme am Gehäuse, über den Schutzleiter mit Neutralleiterfunktion (PEN) zum<br />
Außenleiter L 2 . Der Widerstand dieser Fehlerstrombahn muss so klein sein, dass mit Sicherheit der<br />
Abschaltstrom I a der Überstromschutzeinrichtung (Sicherung) innerhalb <strong>von</strong> ≤ 0,2 Sekunden (bzw. ≤<br />
5s bei Kreisen ohne Steckvorrichtungen) erreicht wird und durch Ansprechen der Sicherung<br />
(Überstromschutzeinrichtung) der fehlerhafte Stromkreisteil abgeschaltet wird.<br />
Beispiel Fehlerstromschutzeinrichtung:<br />
L1<br />
L2<br />
L3<br />
N<br />
PEN<br />
Ι ><br />
Prüftaste<br />
L1<br />
L2<br />
L3<br />
N<br />
PE<br />
64
U L /V FI - Schutzeinrichtung<br />
I F /A 0,01 0,03* 0,1* 0,3 0,5<br />
50 V 5000Ω 1660Ω 500Ω 166Ω 100Ω<br />
25 V 2500Ω 830Ω 250Ω 83Ω 50Ω<br />
* Vorzugswerte nach DIN VDE 0664 Teil 1<br />
7.4.2 Schutzmaßnahmen im TT-Netz<br />
Alle Körper, die durch eine Schutzeinrichtung gemeinsam geschützt sind, müssen durch Schutzleiter<br />
an einen gemeinsamen Erder angeschlossen werden. Gleichzeitig berührbare Körper müssen an<br />
denselben Erder angeschlossen werden. Im TT-Netz muss der Sternpunkt oder ein Außenleiter<br />
geerdet werden.<br />
An den Erdübergangswiderstand wird folgende Forderung gestellt:<br />
R A ∗ I a ≤ U L<br />
R A = Erdungswiderstand der Erder der Körper<br />
I a = Strom der das automatische Abschalten innerhalb 5s bewirkt.<br />
U L =Vereinbarte Grenze der dauernd zulässigen Berührungsspannungen<br />
Bei Verwendung <strong>von</strong> Fehlerstrom-Schutzeinrichtung ist I a der Nennfehlerstrom. Bei Anwendung <strong>von</strong><br />
Überstromschutzeinrichtungen muss auch im Neutralleiter eine Überstromschutzeinrichtung<br />
vorgesehen werden, die so beschaffen sein muss, dass in keinem Fall der Neutralleiter vor dem<br />
Außenleiter abgeschaltet wird. Die Überstromschutzeinrichtungen müssen dann innerhalb <strong>von</strong> 0,2 s<br />
ansprechen. Bei Anwendung <strong>von</strong> Fehlerspannungsschutzeinrichtungen sollte R A ≤ 200 Ω sein.<br />
Es dürfen Überstromschutzeinrichtungen<br />
Fehlerstromschutzeinrichtungen<br />
Fehlerspannungschutzeinrichtungen (in Sonderfällen)<br />
angewandt werden.<br />
7.4.3 Schutzmaßnahmen im IT-Netz<br />
IT-Netze müssen entweder gegen Erde isoliert oder über eine ausreichen hohe Impedanz geerdet<br />
werden. Der Fehlerstrom bei Auftreten nur eines Körper- oder Erdschlusses ist niedrig, eine<br />
Abschaltung ist nicht erforderlich. Es müssen jedoch Maßnahmen getroffen werden, um bei Auftreten<br />
eines weiteren Fehlers Gefahren zu vermeiden.<br />
Die Körper müssen einzeln, gruppenweise oder in ihrer Gesamtheit mit einem Schutzleiter verbunden<br />
werden.<br />
R A ∗ I d ≤ U L<br />
R A = Erdungswiderstand aller mit einem Erder verbunden Körper<br />
I d = Fehlerstrom im Falle des ersten Fehlers (unter Berücksichtigung der<br />
Gesamtimpedanz der Anlage gegen Erde!)<br />
U L = vereinbarte Grenze der dauernd zulässigen Berührungsspannung<br />
In diesen Anlagen dürfen: Überstromschutzeinrichtungen<br />
Fehlerstromschutzeinrichtungen<br />
Isolationsüberwachungseinrichtungen<br />
Fehlerspannungsschutzeinrichtungen (in Sonderfällen)<br />
angewandt werden.<br />
7.5 Schutz durch erdfreien, örtlichen Potentialausgleich<br />
Ein erdfreier, örtlicher Potentialausgleich verhindert das Auftreten einer gefährlichen<br />
Berührungsspannung. Alle gleichzeitig berührbaren Körper müssen durch Potentialausgleichsleiter<br />
nach DIN 57 100 Teil 540/VDE 0100 Teil 540 miteinander verbunden werden. Dieses örtliche<br />
Potentialausgleichssystem darf weder über Körper noch über fremde leitfähige Teile mit Erde<br />
verbunden werden.<br />
(Es muss sichergestellt werden, dass beim Betreten eines erdpotentialfreien Raumes keine<br />
gefährlichen Berührungsspannungen auftreten.)<br />
65
7.6 Prüfung elektrischer Anlagen<br />
Für elektrische Anlagen und Betriebsmittel gilt die Unfallverhütungsvorschrift VBG 4 Elektrische<br />
Anlagen und Betriebsmittel. Im §5 wird die Forderung nach periodischen Prüfungen gestellt.<br />
In Bild 19 sind Prüfungen elektrischer Anlagen und Betriebsmittel und Beispiele für die Prüffristen<br />
nach VBG 4 zusammengestellt:<br />
Anlage/Betriebsmittel Prüffrist Art der Prüfung Prüfer<br />
Elektrische Anlagen und<br />
Betriebsmittel allgemein<br />
Elektrische Anlagen und ortsfeste<br />
elektrische Betriebsmittel<br />
Nicht ortsfeste elektrische<br />
Betriebsmittel, Anschlußleitungen<br />
mit Steckern; Verlängerung- und<br />
Geräteanschlußleitungen mit ihren<br />
Steckvorrichtungen<br />
Schutzmaßnahmen mit<br />
Fehlerstromschutzeinrichtungen<br />
˝<br />
bei nichtstationären Anlagen<br />
Fehlerstrom- und<br />
Fehlerspannungsschutzeinrichtungen<br />
˝<br />
- bei stationären Anlagen<br />
˝<br />
˝<br />
- bei nichtstationären Anlagen<br />
Isolierende Schutzkleidung<br />
˝<br />
Spannungsprüfer, Isolierte<br />
Werkzeuge; Erdungsstangen<br />
Spannungsprüfer für<br />
Nennspannungen über 1kV<br />
vor der ersten Inbetriebnahme<br />
˝<br />
nach einer Änderung oder<br />
Instandsetzung<br />
mindestens alle<br />
˝<br />
4 Jahre<br />
mindestens alle<br />
6 Monate<br />
(soweit benutzt)<br />
mindestens<br />
˝<br />
1x im Monat<br />
mindestens aller 6 Monate<br />
arbeitstäglich<br />
relevante DIN/VDE Vorschriften<br />
auf ordnungsgemäßen Zustand falls<br />
keine entsprechende<br />
Bescheinigung des Errichters<br />
vorliegt<br />
auf ordnungsgemäßen Zustand,<br />
falls keine entsprechende<br />
Bestätigung des Reparaturbetriebes<br />
vorliegt<br />
˝<br />
auf ordnungsgemäßen Zustand<br />
auf ordnungsgemäßen Zustand<br />
˝<br />
auf Wirksamkeit<br />
auf einwandfreie Funktion<br />
durch Betätigen der<br />
Prüfeinrichtungen<br />
mindestens aller 6 Monate auf sicherheitstechnisch<br />
einwandfreien Zustand<br />
vor jeder Benutzung auf augenfällige Mängel und<br />
einwandfreie Funktion<br />
mindestens all 6 Jahre auf Einhaltung der in den<br />
elektrotechnischen Regeln<br />
vorgegebenen Grenzwerte<br />
66<br />
Elektrofachkraft oder unter<br />
Leitung und Aufsicht einer<br />
Elektrofachkraft<br />
˝<br />
Elektrofachkraft<br />
Elektrofachkraft, bei Verwendung<br />
geeigneter Prüfgeräte auch<br />
elektrotechnisch unterwiesenes<br />
Personal<br />
Elektrofachkraft<br />
Benutzer<br />
Elektrofachkraft<br />
[1] DIN 31 000/ Allgemeine Leitsätze für das sicherheitsgerechte Gestalten<br />
VDE 1000 technischer Erzeugnisse<br />
[2] DIN 57 100 Errichten <strong>von</strong> Starkstromanlagen mit Nennspannungen bis<br />
VDE 0100 1000 V<br />
[3] DIN 57 100 Errichten <strong>von</strong> Starkstromanlagen mit Nennspannungen bis<br />
VDE 0100 1000 V<br />
Teil 410 Schutzmaßnahmen in Niederspannungsanlagen<br />
[4] DIN 57 105 Teil 1 Betrieb <strong>von</strong> Starkstromanlagen "Allgemeine Festlegungen“<br />
z.B. Festlegungen zu Wiederholungsprüfungen<br />
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