6.6 Frequenzgang Neben der Übertragungsfunktion G(s) zur ... - IFAT

6.6 Frequenzgang
Neben der Übertragungsfunktion G(s) zur Beschreibung der Signalübertragung in
einem linearen Übertragungsglied im Bildbereich wird in verschiedenen Teilgebieten
der Elektrotechnik noch eine andere „Kennfunktion“ benutzt, der sog.
Frequenzgang.
Formal mathematisch ist er definiert als Übertragungsfunktion G(s) auf der
imaginären Achse der s – Ebene
G j
( s)
s = ω = G(
jω
) . (6.70)
Man hat nur in der Übertragungsfunktion G(s) die komplexe Variable s = δ + jω
durch die rein imaginäre Variable s = jω
zu ersetzen.
Beispiel:
Dgl: { y&
( t)
+ y(
t)
= u(
t)
RC T
y(
s)
1
G ( s)
= =
u(
s)
Ts + 1
1
G ( jω
) =
T * ( jω
) + 1
1 − Tjω
+ 1
=
Tjω
+ 1 − Tjω
+ 1
− Tjω
+ 1
=
T ² ω ² + 1
1 Tω
= − j
T 142
² ω ² 43 + 1 1T
42 ² ω²
43 + 1
Re{ G(
jω)}
Im{ G(
jω)}
Wie man aus diesem Beispiel u. a. sieht, stellt G(jw) eine komplexe Funktion mit
der Variablen w dar. Wie gezeigt, kann sie in der üblichen Weise in Real- und
Imaginärteil zerlegt werden:
201

1
Re{ G ( jω)}
=
T ² ω ² + 1
Tω
Im{ G ( jω)}
= − .
T ² ω ² + 1
Natürlich kann auch die Darstellung durch Betrag und Argument gewählt werden:
G ( jω
) = Re²{
G(
jω
)} + Im²{
G(
jω)}
(6.71)
=
=
G ( jω
) =
1 T ² ω²
+
( T ² ω ² + 1)²
( T ² ω ² + 1)²
1
T²
ω²
+ 1
1
.
T ² ω ² + 1
Im{ G(
jω)}
argG
( jω
) = G(
jω)
= arc tan
Re{ G(
jω)}
− Tω
= arc tan
1
= −arc
tanTω
.
(6.72)
Für die weiter unten folgende physikalische Deutung des Frequenzganges ist diese
Darstellung durch Betrag und Argument nützlicher. Es sei bemerkt, daß man
diese Darstellung des Frequenzganges aus seiner Gleichung i. a. schneller erhält,
wenn man nach dem folgenden, für das Beispiel illustriertem Muster vorgeht:
1 1
G ( jω
) = =
d. h. komplexe Zahl
1 + jTω
Z1
Z 1
=1+
jTω
1 1
G(
jω)
= =
Z 1+
T²
ω²
1
argG( jω
) = arg1−
arg Z1
Tω
= 0 − arc tan = −arc
tanTω.
1
Wenn man nun die Variable ω z. B. von 0 bis ∞ laufen lässt, kann man die komplexe
Funktion G(jw) in der komplexen Gauß´schen Zahlenebene bildlich darstellen.
Dazu hat man entweder punktweise
oder
Re{ G ( jω
)} , Im{ G ( jω
)}
G ( jω)
, arg G ( jω
)
202

für geeignet gewählte und ausreichend viele Werte ω auszurechnen (
Wertetabelle) und die entsprechenden Punkte in der Gauß´schen Zahlenebene
einzutragen. Jeder dieser Punkte ist durch den zugehörigen ω - Wert zu
kennzeichnen. Die Verbindung dieser Punkte liefert die sog. Ortskurve des
Frequenzganges. Für das vorliegende Beispiel erhält man z. B. einen Halbkreis im
IV. Quadranten:
Bild 6.8: Ortskurve des Frequenzganges
Erinnern wir uns an die formale Einführung des Frequenzganges mit (6.70)
( s)
= G(
jω
) ,
G s = jω
so kann man dieses Ergebnis deuten als die Abbildung der Punkte s = jω
(0 < ω < ∞) der s – Ebene – das ist die obere Hälfte der imaginären Achse der s –
Ebene – vermittels der (komplexen) Funktion oder Abbildvorschrift G(s) in eine
andere komplexe G(jω) – Ebene:
Bild 6.9: Zur Deutung der Abbildungsvorschrift (6.70)
203

Zweifellos ist bis jetzt nicht so recht einzusehen, weshalb dieser als Spezialfall für
s = jω
aus der Übertragungsfunktion G(s) hervorgehende Frequenzgang eines
linearen Systems (Übertragungsgliedes) eingeführt wird. Dies wird gerechtfertigt
durch die große messtechnische Bedeutung des Frequenzganges und die hohe
Anschaulichkeit, die er in viele Seiten der linearen Signal- und Systemtheorie
hineinzubringen vermag.
Es ist nämlich noch ein ganz anderer anschaulicher Zugang zum Frequenzgang
G(jω) eines linearen Systems möglich, der darauf beruht, dass der Frequenzgang die
stationäre Antwort des Übertragungsgliedes bei Aufschaltung harmonischer
Schwingungen beschreibt.
Schaltet man am Eingang eines linearen zeitinvarianten Übertragungsgliedes ein
harmonisches Eingangssignal
oder
{ } t j
Uˆ
ω
e
u(
t)
= Uˆ
sinωt
= Im
(6.73)
{ } t j
Uˆ
ω
e
u(
t)
= Uˆ
cosωt
= Re
(6.74)
auf, so stellt sich am Ausgang nach einem gewissen Übergangsvorgang wieder eine
stationäre harmonische Schwingung gleicher Frequenz w ein, deren Amplitude
und Phasenlage aber gegenüber der erregenden Eingangsschwingung i. a.
verändert sind:
Bild 6.10: „Sinusantwort“ eines linearen zeitinvarianten Systems
Im stationären Zustand reagiert also ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied
auf die harmonische Eingangsschwingung
mit
u( t)
= Uˆ
sin ωt
y ( t)
= Yˆ
sin( w t + j ) . (6.75)
¥
204

Wenn man dieses Experiment mit unterschiedlicher Frequenz ω durchführt, so stellt
man fest, daß sich die Amplitude Y ˆ und die Phasenlage j der stationären
Antwortschwingung mit der Frequenz w ändern.
Gut bekannt und sehr markant ist diese Tatsache, aus Beobachtungen von
Resonanzerscheinungen bei schwingungsfähigen Systemen, z.B. RLC –
Netzwerken, Feder – Masse – Schwingern usw. Bei Erregung solcher Systeme mit
harmonischen Schwingungen treten in der Nähe der Resonanzfrequenz starke
Amplitudenüberhöhungen Y ˆ bzw. große Amplitudenverhältnisse
Yˆ
Uˆ
und deutliche Phasendrehungen der erzwungenen stationären Ausgangsschwingung
gegenüber der erregenden Schwingung auf.
Für eine gezielte Ermittlung der Frequenzabhängigkeiten des
Amplitudenverhältnisses und der relativen Phasenlage benötigt man folgende
Messanordnung:
Bild 6.11: Zur messtechnischen Ermittlung des Frequenzganges
Das auf diese Weise experimentell ermittelbare
Yˆ
( ω )
frequenzabhängige Amplitudenverhältnis
Uˆ
und die
frequenzabhängige Phasendrehung ϕ (ω)
hängen nun mit dem oben mathematisch eingeführten Frequenzgang G(jω) wie folgt
zusammen:
Yˆ
( ω)
= G(
jω)
„Amplitudengang“ (6.76)
Uˆ
205

ϕ( ω ) = arg G(
jω).
„Phasengang“. (6.77)
Damit erhält der Frequenzgang G(jw) eine technische Interpretation und
anschauliche Erklärung. Auf diese Weise ist es möglich, die oben als bildliche
Darstellung des Frequenzganges eingeführte Ortskurve punktweise
messtechnisch zu ermitteln: Für einen bestimmten Frequenzwert ω ist die Länge
des Zeigers (also der Betrag G ( jω)
) durch das für diese Frequenz gemessene
Amplitudenverhältnis bestimmt, und der Winkel des Zeigers zur positiven reellen
Achse (also das Argument arg G(jω)) entspricht der für diese Frequenz gemessenen
relativen, Phasendrehung der stationären Ausgangsschwingung gegenüber der
Eingangsschwingung:
ˆ
jargG
( jω
) Y(
ω)
jϕ(
ω )
G ( jω)
= G(
jω)
e = e .
(6.78)
Uˆ
Mit diesem physikalischen Verständnis des Frequenzganges, das sich aus dem
Übertragungsverhalten linearer Systeme für harmonische Signale im
eingeschwungenen (stationären) Zustand ergibt, lassen sich nun weitere nützliche
Zusammenhänge mit den anderen Formen der mathematischen Beschreibung
linearer zeitinvarianter Systeme herstellen.
Zunächst aber sollen die Sinusantwort (6.75) eines linearen zeitinvarianten Systems
mit gebrochen rationaler Übertragungsfunktion G(s) und die Zusammenhänge (6.76),
(6.77), (6.78) mit dem Frequenzgang auf rechnerischem Weg ermittelt werden. (Man
vergleiche hierzu auch die in 6.2 im Unterpunkt 3) durchgeführten Berechnungen der
Sinusantwort für ein Beispielsystem 2. Ordnung mit Hilfe der Übertragungsfunktion.)
Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied habe die gebrochen rationale
Übertragungsfunktion G(s). Dann gilt für beliebige korrespondierende Ein- und
Ausgangssignale die Gleichung (6.11):
Y ( s)
= G(
s)
* U(
s)
.
Als Eingangssignal wird eine Sinusschwingung aufgeschaltet ( U ˆ U = konst.
= 0 )
ˆ
U 0ω
u(
t)
= U sinωt
o − •U
( s)
= ,
(6.79)
s²
+ ω ²
so dass im Bildbereich für das herauskommende Ausgangssignal gilt
U ω
( s)
= G(
s)
* .
s²
+ ω ²
Y 0 (6.80)
Die Rücktransformation in den Zeitbereich nehmen wir über die
Partialbruchentwicklung von Y(s) vor. Nehmen wir dazu o. E. d. A. an, dass G(s)
sämtlich verschiedene reelle Pole besitzt, so lautet der Ansatz dafür:
206

2
rn
r r
Y ( s)
= + + ... + + +
s − α1 s − α2
s −αω
1444
44 2444443
1
s −
4
jω
424
s +
4
j
3
ω
1 (6.81)
n Pole αi von G(s), k.k.P.P. ± jω von U(s),
korrespondiert mit yu& & (t ) . Korrespondiert mit y∞ (t)
.
α 1t
α 2t
α n t
y(
t)
= re
+ r e + ... + r e + " Schwingung"
1
2
n
Wenn alle Pole αi von G(s) in der linken Hälfte der komplexen s – Ebene liegen, wie
das für sog. stabile Übertragungsglieder der Fall ist, so verschwinden für große
Zeiten (t ∞) die ersten n Teilvorgänge
α it
lin re
− > 0,
Re{ α } < 0,
t−
> ∞
i
so dass als stationäre Antwort nur die Schwingung
y∞ (t)
= £ -1⎧
r r ⎫
⎨ + ⎬
⎩ s − jω
s + jω
⎭
i
(6.82)
auftritt. Die beiden Partialbruchkoeffizienten r, r sind wie die Pole jω , − jω
konjugiert
komplex zueinander und können nach 5.3.2. wie folgt berechnet werden:
⎡
U0ω
⎤
r = ⎢(
s − jω
) * G(
s)
s²
ω ² ⎥
⎣
+ ⎦
⎡ U ω ⎤ 0
r = ⎢G(
s)
⎥
⎣ s + jω
⎦
U0
r = G(
jω
) = −
2 j
⎡ U ω ⎤ 0
r = ⎢G(
s)
⎥
⎣ s − jω
⎦
s=
jω
s=
jω
U0
j G(
jω
) ,
2
⎡
U0ω
⎤
r = ⎢(
s + jω
) * G(
s)
s²
ω ² ⎥
⎣
+ ⎦
s=
− jω
s=
− jω
U0
U0
r = − G(
− jω
) = j G(
− jω
) .
2 j
2
~> Darstellung durch Betrag und Argument:
U0
r = * G(
jω)
2
arg r = −90
° + arg G(
jω
) = −90°
+ ϕ
U0
U0
r = * G(
− jω)
= * G(
jω)
= r
2
2
arg r = 90 ° + arg G(
− jω
) = 90°
− ϕ = −arg
r.
Damit folgt aus (6.82)
207

y∞ (t)
= £ -1
⎧U0
j ( ϕ −90)
U0
− j(
ϕ−
90)
⎫
⎪
Ge
G e
⎪
⎨
2 + 2
⎬
⎪ s − jω
s + jω
⎪
⎩
⎭
U 0
j(
ϕ−
90)
jωt
− j(
ϕ −90)
− jωt
= G(
jω)
( e e + e e ).
2
Mit der Euler – Beziehung ist das eine Cos – Schwingung
bzw.
y ( t)
= U * G(
jω)
cos( ωt
+ ϕ − 90)
∞
0
y ( t)
= U0
* G(
jω
) sin( ωt
+ ϕ).
(6.83)
∞
arg G(jω)
Die stationäre Antwort (6.83) auf die Erregung mit
u t)
= U sinωt
( 0
ist wieder eine Sinusschwingung mit der gleichen Frequenz ω, der Amplitude
ˆ = U * G(
jω
)
Y 0
und der Phasenverschiebung
ϕ = arg G(
jω).
Damit sind (6.76) und (6.77) rechnerisch bestätigt.
208