Zusammenfassung Digi- tale Bildverarbeitung

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Zusammenfassung Digitale
Bildverarbeitung
1. Einführung
Geschichtliches:
Ab den 1920ern: Bartlane Cable Picture Transmission
mit ca. 5 Graustufen, Übertragung eines Bildes
von New York nach London in ausreichender
Druckqualität in 3 Stunden
(Erst) ab den 1960ern: Wissenschaftliche Disziplin
durch Weltraumprogramm
Anwendungen: Medizin (Röntgenbilder), Fotografie
(Störungen entfernen), Vermessung der Erde,
etc.
Schritte bei der Bildverarbeitung:
Image Acquisition Bilderfassung mit Sensor. Aktiv
(Messung der Reflektionen ausgestrahlter Wellen)
oder passiv (ausschließlich Messung von
Wellen von Objekten des Sichtbereichs)
Image Enhancement
Image Restauration
Color Image Processing
Wavelets and Multiresolution Processing
Compression
Morphological Processing
Segmentation Einteilen des Bildes in überlappende
oder nicht-überlappende Teile
Representation & Description Segmente und Bilder
werden weiter manipuliert, um den Inhalt
der Bilder so zu charakterisieren, dass Erkennung
und Interpretation unterstützt werden
Object Recognition Der eigentlich Seh-Teil der
Verarbeitung. Herstellung semantischer Informationen.
Wellenlängen des Lichtes:
400 - 420 nm Violett 575 - 585 nm Gelb
420 - 490 nm Blau 585 - 650 nm Orange
490 - 575 nm Grün 650 - 750 nm Rot
Farbmodelle: RGB, CMY(K), HIS (Hue-
Intensity-Saturation, als Zylinder), HLS (Hue-
Luminance-Saturation, als Doppelkegel), HSV
(Hue-Saturation-Value, als Kegel)
Menschlicher
Sehsinn:
Zäpfchen: Teil
des menschlichen
Auges zur Wahrnehmung
von
Farbe
Stäbchen: Wahrnehmung
von
Helligkeit
Mach-Band-Effekt:
Sinnesphänomen;
an Grenze zwischen
heller und dunklen Fläche erscheint auf
heller Seite ein schmales Band, welches noch heller
ist. Entsprechend auf der dunklen Seite.
2. Rasterung und Quantisierung
Darstellung eines Bildes als 2-stellige Funktion f :
M × N −→]0, ∞[, wobei M := {1, . . . , m}, N resp.
Aufteilung in Beleuchtungs- und Reflektionskompontenten
I : M×N −→]0, ∞[, J : M×N −→]0, 1[.
Es gelte dabei f = I · J.
I gibt den Grauwert eines Pixels an.
Aliasing: Allgemeine Definition: Alias-Effekte sind
durch die Verletzung des Abtasttheorems (siehe
nachfolgenden Absatz) auftretende Fehler beim
Abtasten von Signalen.
Auswirkungen bei der Bildverarbeitung: Moiré-
Muster, Treppeneffekte an harten Kanten, Verschwinden
von Strukturen, die dünner als 1 Pixel
sind, etc.
(Nyquist-Shannon’sches) Abtasttheorem: Ein kontinuierliches
Signal mit einer Maximalfrequenz
fmax muss mit einer Frequenz größer als 2 · fmax
abgetastet werden, damit man aus dem so erhaltenen
zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne
Informationsverlust wieder rekonstruieren kann.
Anti-Aliasing: Entweder feinere Auflösung bei Rasterung
wählen: Jede Struktur durch mindestens 2
Bildpunkte repräsentieren oder durch Verwischung
das Auge täuschen
Ortsbereich: Bildpunkte ↔ Frequenzbereich: enthaltenen
Frequenzen
(Umwandlung mittels Spektralanalyse)
1

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
3. Fourier Transformation
Transformationen werden oftmals dazu eingesetzt,
Probleme zu vereinfachen – indem etwa die Komplexität
der zur Problemlösung verwendeten Algorithmen
gesenkt wird. Beispiel: Multiplikation/Division
mittels Logarithmentafeln. Transformation
des Problems f(a, b) = a · b auf eine Addition
(+ Hin- und Rücltransformation): exp(ln(a) +
ln(b)).
Aus der Analysis ist bekannt, dass eine über
] − ∞, ∞[ stückweise stetige, stückweise monotone
sowie T -periodische Funktion f : −→ als Summe
von Sinus und Cosinus-Funktionen dargestellt
werden kann:
f(x) = a0
2 +
∞
k=1
ak cos( 2π
T kx) + bn sin( 2π
T kx)
(1)
Durch Umformen und Ausnutzen von Additionstheoremen
erhält man, dass sich f auch in komplexer
Form schreiben lässt:
f(x) =
ck = 1
T
∞
k=−∞
T/2
ck exp(i 2π
kx), mit (2)
T
−T/2
f(t) exp(−i 2π
kt)dt ∈ (3)
T
Definiere nun die sogenannte Fourier-Transformation
(FT) F{f(x)}, sofern sie für ganz existiert.
Im Folgenden setzen wir immer limx→±∞ = 0 voraus,
da dies hinreichend für die Existenz ist – allerdings
nicht unbedingt notwendig).
F (u) :=
∞
−∞
f(t) exp(−i2πut)dt (4)
Zur Verallgemeinerung auf den Fall, dass f nichtperiodisch
ist, gehe T → ∞. Damit folgt:
T · ck = F ( k
) (5)
T
Erweitere nun (2) mit T/T :
2
f(x) =
∞
k=−∞
T ck exp(i 2π 1
kx)
T T
(6)
Da 1
T
für T → ∞ infinitesimal klein wird, ersetze
im Folgenden:
1
T
→ du, k
T
Erhalte durch T → ∞:
f(x) =
∞
−∞
k
→ u, F ( ) → F (u) (7)
T
F (u) exp(i2πux)du (8)
Folglich lässt sich jede beliebige über ] − ∞, ∞[
stückweise stetige, stückweise monotone Funktion
f, deren FT wie oben beschrieben exitsiert,
als unendliche Summe bzgl. der Basis B :=
{exp(−i2πux) | u ∈ } darstellen. Dass B
tatsächlich Basis ist, folgt aus der Orthogonalität
zweier Elemente exp(−i2πu1x) und exp(−i2πu2x)
für u1 = u2 bzgl. des Skalarprodukts fg auf
der Menge aller komplexwertigen Funktionen, d. h.
f, g : → .
Bemerkungen: i) Die Def. von F in (4) ist also
nichts anderes als das Skalarprodukt zwischen der
Funktion f und dem entsprechenden Basisvektor
u → exp(−i2πut). (Vgl. den Anschauungsraum, in
dem wir beim Basiswechsel für die Koordinatenbestimmung
ebenfalls das Skalarprodukt eines Vektors
mit den neuen Basisvektoren bilden würden.)
ii) Das u in der Definition von F wird Frequenzvariable
genannt.
Da F im Allgemeinen eine komplexe Funktion ist,
teilt man auf: F (u) = R(u) + iI(u)
Als Polarform von F ergibt sich:
F (u) = |F (u)| exp(i · Φ(u)), mit (9)
|F | = R2 + I2 −1 I
, Φ = tan
R
|F (u)| heißt Fourier-Spektrum, |F (u)| 2
Leistungsspektrum von f und Φ(u) der Phasenwinkel.
Eigenschaften der Fourier-Transformation:
Linearität:
F{af(x) + bg(x)} = aF (u) + bG(u) (10)
Änderung der Skalierung im Ortsbereich:
F{f(ax)} = 1
F (u ) (11)
a a

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Verschiebung im Ortsbereich ändert nur die
Phase:
Ableitung:
F{f(x − a)} = F (u) exp(i2πua) (12)
F{ dn
dx n f(x)} = (i2πu)n F (u) (13)
Integral des Leistungsspektrums:
∞
−∞
|f(x)| 2 dx =
∞
−∞
Symmetrieeigenschaften:
f reell =⇒ F (−x) = F (x)
f imaginär =⇒ F (−x) = −F (x)
f gerade, d. h. f(−x) = f(x)
=⇒ F (−x) = F (x)
f ungerade, d. h. f(−x) = −f(x)
=⇒ F (−x) = −F (x)
Für den zweidimensionalen Fall:
|F (u)| 2 du (14)
F{f(u, v)} = F (u, v) (15)
=
=
∞ ∞
−∞
∞
−∞
−∞
f(s, t) exp(−i2π(us + vt))dsdt
∞
f(s, t) exp(−i2πus)ds ·
−∞
exp(−i2πvt))dt
(Separabilität von F )
(16)
(17)
gelten die gleichen Eigenschaften wie im eindimensionalen.
Zustätzlich: Wird f(x, y) um den Winkel
θ gedreht, so auch F{f(x, y)} = F (u, v).
Für die praktische Anwendbarkeit benötigen wir
die diskrete Fourier-Transformation (DFT). Eine
kontinuierliche Funktion f(x) mit FT F (u) werde
dazu diskretisiert, d. h. auf N äquidistanten Intervallen
[0, ∆x] = [x0, x1], . . . , [xN−1, xN] approximiert
durch die Treppenfunktion g(x) mit FT
G(u). (OBdA setzen wir hier voraus, dass x0 =
0, ggf. wäre ansonsten noch eine Verschiebung
notwendig.) Der Kehrwert von ∆x ist dabei die
(Abtast-)frequenz.
g(x) :=
f(xi) wenn x ∈ [xi, xi+1[
0 sonst
(18)
Nach Nyquist’schem Abstasttheorem ist die höchste
darstellbare Frequenz bei einer Abtastrate von
1
∆ (also einem Abtastinterval von ∆) gerade ν∆ :=
1
2∆ .
Folglich betrachten wir nur Frequenzen innerhalb
des Intervals [−ν∆x, +ν∆x] mit äquidistanter Zerlegung
(also mit Abstand ∆u = 2ν∆x 1
N = N∆x ):
u0 < · · · < uN.
Es kann nun approximiert werden:
F (un) =
∞
−∞
≈ G(un) = ∆x
= ∆x
N−1
k=0
f(t) exp(−i2πunt)dt
N−1
k=0
g(k∆x) exp(−i2πunk∆x)
g(k∆x) exp(−i2πk( n
N
da un∆x = (− 1
2∆x
− 1
2 ))
+ n
)∆x
N∆x
(19)
Da die Abbildung n → G(un) (bei entsprechender
Fortsetzung der un) N-periodisch ist, wird aus
praktischen Gründen die DFT H von g(x) jedoch
zwischen 0 und ν∆x als n-elementige Folge definiert.
Zudem wird ∆x = 1 gewählt. (Bei einer beliebigen
Funktion würden wir die DFT auf einer Skalierung
vornehmen, welche die Abtastpunkte auf
einen Abstand von 1 abbildet.) Zusammen mit etwas
geänderter Skalierung ( 1
N steht nun bei der
Hintransformation) und gn := g(n∆x) = g(n) folgt:
Gn := 1
N−1
gk exp(−i2πk
N
n
) (20)
N
N−1
gn =
k=0
k=0
Gk exp(i2πk n
) (21)
N
Bemerkungen: Einsetzen von (21) in (20) ergibt
Gn
= 1
N
N−1
k=0
= 1
N−1
N
N−1
l=0
N−1
Gl exp(i2πl k
n
) exp(−i2πk
N N )
exp(i2π(l − n) k
N )
Gl
l=0 k=0
N wenn l = n,
sonst 0 wg. (23)
= Gn
(22)
Man sieht also, dass das Produkt der konstanten
Vorfaktoren 1
N ergeben muss. Die Aufteilung ist
prinzipiell willkürlich möglich.
3

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Sei w := exp(i2π(l − n) 1 ). Es gilt: w ist N-te Ein-
N
heitswurzel (Gruppeneigenschaft), und exp(i2π(l −
n) k
N ) = wk , da k ∈ . Folglich:
N−1
k=0
w k = wN − 1
w − 1
= 0 (23)
Die Erweiterung auf den 2-dimensionalen Fall erfolgt
analog zur kontinuierlichen FT. Es gelten die
für die kontinuierliche FT oben genannten Eigenschaften.
Durchschnitt f einer 2-dimensionalen diskreten
Funktion f(x, y):
f(x, y) = 1
MN
M−1
x=0
N−1
y=0
f(x, y)
= F (0, 0) (durch Einsetzen)
(24)
Die Faltung zweier Funktionen f, g ist definiert im
Eindimsionalen (25) und 2-Dimensionalen (26):
(f ∗ g)(x) =
(f ∗ g)(x, y) =
∞
−∞
∞ ∞
−∞
f(t)g(x − t)dt (25)
−∞
f(s, t)(x − s, y − t)dsdt
Faltungstheorem (Convolution Theorem):
(26)
F{(f ∗ g)(x)} = F (u) · G(u) (27)
F{f(x) · g(x)} = (F ∗ G)(u) (28)
Faltung im diskreten Fall, f, g : → , beide Nperiodisch
(2-dimensionaler Fall analog):
(f ∗ g)(x) =
N−1
i=0
f(i)g(x − i) (29)
Der Dirac-Impuls δ(x − a) eine Distribution, die
über ihr Integral definiert ist. Für eine beliebige
Funktion f(x) muss gelten:
∞
−∞
∞
−∞
f(x)δ(x − a)dx = f(a) (30)
a+t
δ(x − a)dx = lim
t→0
Im 2-Dimensionalen analog.
4
a−t
δ(x − a)dx = 1
(31)
Die Fast Fourier-Transformation (FFT). Im Folgenden
sei WN = exp(−i2π/N) primitive N-te
Einheitswurzel. N sei der Form N = 2 m = 2M,
m, M ∈ . Nach (20) folgt ((fn) sei Folge von
Funktionswerten im Orts- (Fn) im Frequenzbereich):
Fn = 1
2M−1
fkW
2M
k=0
nk
2M
= 1
M−1
1
2 M
k=0
+ 1
M−1
M
= 1
1
2 M
k=0
M−1
f2kW n(2k)
2M
f2k+1W n(2k+1)
2M
f2kW nk
M
k=0
=:F
(even)
n
+ 1
M
M−1
f2k+1W nk
M W n 2M
k=0
=:F
(odd)
n
(da W n2k
2M = W nk
M )
(32)
(33)
= 1 (even)
(F n + F
2 (odd)
n W n 2M) (34)
Das Divide & Conquer-Prinzip werde entsprechend
fortgeführt... Laufzeitverbesserung von N 2 (mit
” normalem“ naivem Ansatz) auf N log 2 N.
4. Punktoperationen
Punktoperationen verändern die Pixel unabhängig
von den Nachbarpixeln: Operation T auf einen Pixel
an Position (x, y) und altem Grauwert r. Neuer
Grauwert s = T (g, x, y), falls nur von Grauwert
abhängig (oft), dann s = T (r).
(Nachbarschaftsoperationen – siehe nächstes Kapitel
– berücksichtigen umliegende Pixel.)
Beispiele für Punktoperationen:
Negativ
Exponential-Transformation ( ” Gamma Korrektur“):
T (r) = cr γ oder T (r) = c(r + ɛ) γ
Operationen über mehrere Bilder: Bspw.
Durchschnittbildung
Maße für Qualität eines Bildes:

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Mittlerer Grauwert
Γ := 1
MN
M−1
x=0
N−1
y=0
f(x, y) (35)
Varianz Mittlere quadratische Abweichung:
Λ := 1
MN
M−1
x=0
N−1
(f(x, y) − Γ) 2
y=0
(36)
Histogramm Bildet einen Grauwert g auf die Anzahl
Pixel mit diesem Grauwert r ab: r →
|{(x, y) | f(x, y) = r}|. Wenn normiert (also
durch MN geteilt), entspricht das Histogramm
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
über den Grauwert eines zufällig gewählten Pixels.
Grauwertpofil Grauwerte entlang einer Linie, d. h.
Zuordnung Position → Grauwert
Histogramm Einebnung: Betrachte eine stetige
(streng) montonon steigende (und damit bijektive)
Punktoperation s = T (r), deren Inverse T −1 ebenfalls
monton steigt. Zur Einfachheit sei T : [0, 1] →
[0, 1]. Mit pr, ps seien im Folgenden die Wahrscheinlichkeitsdichten
bezeichnet für die Zufallsvariable
R, S = T (R), die den Grauwert eines zufällig ausgewählten
Pixels vor bzw. nach der Transformation
T angeben. Es folgt:
b
Pr(T (a) ≤ S < T (b)) = pr(r)dr
T (b)
a
= pr(T
T (a)
−1 (s))(T −1 ) ′ (s)ds (Subst.)
=⇒ps(s) = d
Pr(S < s)
ds
(Def. der Dichte)
=pr(T −1 (s))(T −1 ) ′ (s) = pr(r) dr
ds
(37)
Für die Einebnung gewünscht ist ps(s) = 1 für 0 ≤
s ≤ 1 (und 0 sonst). Definiere:
r
s = T (r) := pr(t)dt (0 ≤ r ≤ 1) (38)
Hiermit folgt:
pr(r) = ds
dr
0
= (dr
ds )−1
(39)
ps(s) = pr(r) 1
= 1 (40)
pr(r)
Die Einebnung im diskreten Fall (es stehen k Graustufen
r0, . . . , rk zur Verfügung): nj bezeichne die
Anzahl der Pixel mit Grauwert rj, N die Gesamtpixelzahl.
Es gelten (analog zu (38)) folgende Definitionen:
pr(rj) := nj
N
sk = T (rk) :=
(41)
k
pr(rj) (42)
j=0
5. Filteroperationen
Digitale Bildverarbeitung 5. Filteroperationen
Darstellung":=;H:8>=;:E67B Nachbarschaft:
25 June, 2004
Pixel an Stelle x,y
Direkte Nachbarn – 4er Nachbarschaft
Indirekte Nachbarn
8er Nachbarschaft
Grafische Darstellung
einer Faltung: Multi- Page 4
plizieren,Aufsummieren, Zentrumspixel ersetzen
Einige Filter:
Boxcar: 1
9 ·
Gauss: 1
8 ·
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 0
1 4 1
0 1 0
Digitale Bildverarbeitung
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
12345678*98:4;?*$5:@

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Sobel:
Laplace:
−1 −2 −1
0 0 0
1 2 1
0 1 0
1 −4 1
0 1 0
oder
1 1 1
1 −8 1
1 1 1
(mit Diag.)
Erste partielle Ableitungen eines Bildes f(x, y)
(Gradient):
∇f(x, y) =
∂f
∂x
∂f =
∂y
f(x + 1, y) − f(x, y)
f(x, y + 1) − f(x, y)
(45)
Der Gradient zeigt in die Richtung des maximalen
Anstiegs von f.
Zweite partielle Ableitungen ( ∂2 f
∂y 2 analog):
∂ 2 f
∂x 2 = f(x + 1, y) − f(x, y) −
f(x, y) − f(x − 1, y)
=f(x + 1, y) − 2f(x, y) + f(x − 1, y)
(46)
Dies entspricht dem Laplace-Filter.
1 1 1
Laplace mit 1 −8 1 entspricht ebenfalls einem
1 1 1
Unscharf Maskieren, d. h. Kantenverstärktest Bild
= c · Originalbild − geglättetes Bild.
Der Filterkern summiert sich auf 1 bei einem
Glättungsfilter, um die Skalierung der Grauwerte
zu behalten, und summiert sich auf 0 bei einer Kantenerkennung,
so dass bei Filterung über ein homogenes
Bild das Ergebnis 0 bleibt (keine Kanten).
Ergebnisse: 1. Ableitung erzeugt dickere Kanten, 2.
Ableitung dünnere. Insb. die 2. Ableitung verstärkt
Rauschen stark durch ” ringing“, ” double edges“
Ein Tiefpassfilter lässt nur ” niedrige“ Frequenzen
durch, um so Störungen mit hohen Frequenzen
zu eliminieren. Dies ist intuitiv im Frequenzbereich
möglich: Sei F (u, v) die Transformation eines
Bildes f(x, y). Gesucht ist nun ein H(u, v), so
dass die Rücktransformation g(x, y) von G(u, v) =
H(u, v)F (u, v) ein entstörtes (weichgezeichnetes)
Bild ergibt. Ideal wäre also (im kontinuierlichen
Fall), wenn sämtliche Frequenzpaare (u, v), deren
6
(absolutes) geometrisches Mittel größer einer bestimmten
Frequenz D0 ist, ausgefiltert werden:
D(u, v) := u2 + v2
(47)
H(u, v) =
1
0
wenn D(u, v) ≤ D0
sonst
(48)
Der Butterworth Filter hat im Unterschied keinen
scharfen Abschnitt:
1
H(u, v) =
1 + D(u,v) (49)
2n
D0
Hochpassfilter ist analog definiert – im idealen Fall
bspw. H ′ (u, v) := 1 − H(u, v).
Homomorphic Filtering: Ein Bild f(x, y) kann aus
zwei Komponenten zusammengesetzt gedacht werden:
f(x, y) = ι(x, y) · ρ(x, y), wobei 0 < ι < ∞ die
Beleuchtung angibt, 0 < ρ < 1 die Reflektion. Da
die FT bzgl. der Multiplikation nicht strukturverträglich
ist (allerdings bzgl. der Addition) und es
manchmal wünschenswert ist, auf beiden Komponenten
separat zu arbeiten, kann das Filterergebnis
g(x, y) wie folgt folgt gewonnen werden:
z(x, y) := ln f(x, y)
F{f ′ (x, y)}
:=Z(u,v)
= ln ι(x, y) + ln ρ(x, y)
= F{ι(x, y)}
:=I(u,v)
+ F{ρ(x, y)}
:=R(u,v)
Es werde nun der Filter H(u, v) angewandt:
g(x, y) = exp(F −1 {H(u, v)Z(u, v)})
= exp(F −1 {H(u, v)I(u, v)}+
F −1 {H(u, v)R(u, v)})
= exp(F −1 {H(u, v)Z(u, v)})·
exp(F −1 {H(u, v)R(u, v)})
(50)
(51)
(52)
Zusammenfassend: f(x, y) → ln → FFT →
H(u, v) · ⋆ → FFT −1 → exp → g(x, y)
6. Restauration
Restaurierung
Modell im Orts- und Fourier-Bereich:
g(x, y) = f(x, y)
∗ h(x, y)
+ n(x, y)
Originalbild Degradierung
” noise term“
(53)
G(u, v) =F (u, v)H(u, v) + N(u, v) (54)

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
Inverse Filtering, Näherung für Original:
ˆF
G(u, v) N(u, v)
(u, v) = −
H(u, v) H(u, v)
(55)
Problematisch beim Inverse Filtering sind Fälle, in
denen H(u, v) sehr kleine Werte annimmt (oder –
schlimmer noch – sogar ganz verschwindet).
Der Least Mean Square (LMS) Filter, wobei
Sf (u, v) und Sn(u, v) das Leistungssprektrum von
fe bzw. ne darstellen (den für die diskrete Faltung
mit 0en erweiterten Funktionen f und n):
ˆF (u, v) =
H(u, v)
|H(u, v)| 2 + γ( Sn(u, v)
Sf (u, v) )
=:k
· G(u, v)
(56)
Wenn Sn und Sf unbekannt, so muss k selbst bestimmt
werden.
Der LMS für γ = 1 heißt Wiener Filter. Für ihn
gilt: E[(f(x, y) − ˆ f(x, y)) 2 beitung 6. Restaurieren / Segmentieren / Pyramiden
rauwertberechnung!
] wird minimal.
t neighbor Geometrische (zero-order Verzerrung interpolation) - Nächste
arschaft
spatial transformation
(x,y)
Gray-level transformation
( xˆ
, yˆ
)
nearest neighbor
Neue Grauwertberechnung: Nearest Neighbor oder
bilineare Interpolation. Faustregel: Backward
”
re Interpolation oder kubische Interpolation
ard mapping” mapping“ sinnvoller als “forward forward mapping“.
” mapping”
Segmentierung
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
12345678*98:4;?*$5:@

Digitale Bildverarbeitung, Prof. Dr. Gitta Domik, Zusammenfassung v. Florian Schoppmann
Das Copyright für die dieser Zusammenfassung zugrunde liegenden Vorlesungsunterlagen (Skripte, Folien, etc.) liegt beim Dozenten.
Darüber hinaus bin ich, Florian Schoppmann, alleiniger Autor dieses Dokuments und der genannte Dozent ist in keiner Weise verantwortlich.
Etwaige Inkorrektheiten sind mit sehr großer Wahrscheinlichkeit erst durch meine Zusammenfassung/Interpretation entstanden.
(lossy) Kodierungen: Pyramidenebenen weglassen,
im YIC-Farbmodell nur die Helligkeit mit voller
Auflösung, im RGB Würfel Farbwerte neu quantisieren,
bei der Cosinus-Transformation nur die
” wichtigen“ Werte speichern
Schema für Kodierung (Verlust tritt beim Quantizer
auf):
f(x, y) → Mapper → Quantizer →
Symbol encoder → Channel
Dekodierung: Channel → Symbol decoder →
Inverse Mapper → ˆ f(x, y)
Schema beim JPEG: Mapper transformiert
von RGB in Helligkeitsmodell (hier kann Verlust
auftreten) und nimmt diskrete Cosinus-
Transformation (DCT) vor, Quantizer kann
Auflösung der DCT-Werte vergröbern, Symbol encoder
benutzt Huffman und Lauflängen-Codierung
Digitale Bildverarbeitung 7. Kompression
Rechts: DCT Komponenten
geordnet nach Frequenz. Bei
JPEG werden die Werte
Digitale Bildverarbeitung
nach Wichtigkeit“ quanti-
7. Kompression
”
siert. Die Folge der Komponenten
links oben wird
für alle 8 × 8-Matrizen Huffman
kodiert. Die jeweils anderen
Komponenten werden geordnet nach Frequenzen
(also in Pfeilrichtung) abgespeichert und
Lauflängen-kodiert (es treten viele 0en auf).
DCT Komponenten geordnet
nach Frequenzen
25 June, 2004
Wavelet-Komprimierung: Zerlegung des Bildes
in eine Skalierung und 3 Wavelets (horizontal,
vertikal, diagonal). Verlustfreie Rekonstruktion
möglich, wenn keine Quantisierung vorgenommen
wurde. Eignung für Pyramiden:
5 June, 2004
8
Page 31
Quantisierung
Das Auge reagiert nicht
gleich auf unterschiedliche Frequenzen.
Deshalb werden die Zahlen
nach „Wichtigkeit“ quantisiert.
Komponenten von weniger wichtigen
Frequenzen werden dabei gröber
quantisiert als von wichtigen
Frequenzen. Es wird meist auf die
Konstruktion der
DWT der Ebene
j aus der Ebene
nächste ganze Zahlen gerundet.
j+1
Page 25
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
!"#$%&'#()*+,*-./%&0+&"
12345678*98:4;?*$5:@