Anhang 2 - GEONExT

Anhang 2: Zahlenspiel
Initialaufgabe:
Nimm eine vierziffrige natürliche Zahl, bei der alle Ziffern verschieden sind.
Stelle die Ziffern so um, daß einmal eine möglichst große und zum anderen eine
möglichst kleine Zahl entsteht. Subtrahiere die zweite von der ersten neugebildeten
Zahl. Verfahre mit der Differenz in gleicher Weise usw.
Lösung:
Man landet stets bei 6174. Diese Zahl wiederholt sich dann ständig: 7641 – 1467
= 6174 .
Mögliche Variationen durch
Analogie:
A a) Beginne mit einer dreiziffrigen Zahl.
(Man landet stets bei 495.)
A b) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Verdopple jede Ziffer. So kommst Du zu einer
neuen dreiziffrigen Zahl. Nimm notfalls die Quersumme der verdoppelten
Ziffer.
(Nach genau 6 Schritten erscheint wieder die Ausgangszahl.)
A c) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Stelle die Einerziffer voran. Erhöhe die neue
Einerziffer um 2. Wenn diese Summe zweiziffrig ist, so nimm nur deren
Einerziffer.
(Nach genau 15 Schritten erhält man wieder die Ausgangszahl.)
A d) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Wenn sie durch 3 teilbar ist, so teile sie durch
3. Andernfalls nimm das Quadrat der Quersumme.
(Entweder landet man bei 1 oder beim Zyklus 169 - 256.)
Verallgemeinerung:
Bildet man aus einer natürlichen Zahl nach irgendeiner festen Vorschrift eine
neue Zahl mit gleichvielen Ziffern, so landet man schließlich bei einer bestimmten
Zahl oder bei einem Zyklus.
(Nachweis über das Schubfachprinzip: Verteilt man m (> n) Objekte irgendwie
auf n Fächer, so liegen in mindestens einem Fach zwei oder mehr dieser Objekte.)
49