Anhang 2 - GEONExT
Anhang 2 - GEONExT Anhang 2 - GEONExT
Mögliche Variationen durch geringfügig ändern („wackeln“): 19 bzw. 21 statt 20 Steine (19: Hier sind die Gewinnpositionen dieselben. A gewinnt sicher, wenn er zu nächst einen Stein nimmt und dann wie o.a. verfährt. 21: Hier sind die Gewinnpositionen 21; 18; 15; ... 3; 0. Nun kann A nur gewinnen, wenn ihn B auf eine Gewinnposition läßt. Ansonsten gewinnt B sicher.) verallgemeinern: n Steine (a) Ist n durch 3 teilbar und n : 3 = d, so ist 3⋅d ⎯ 3⋅(d−1) ⎯ ... ⎯ 3⋅1 die Folge der Gewinnpositionen (kurz: Gewinnfolge). B gewinnt sicher, wenn er jeden Zug von A zu 3 ergänzt. b) Ist n nicht durch 3 teilbar, also n = 3⋅d + i mit i = 1,2 , so ist die Gewinnfolge dieselbe. A gewinnt, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann jeweils zu 3 ergänzt. ) Ziel ändern: ... Verloren hat, wer den letzten Zug machen muß. (Jetzt muß man die Position 1 anstreben. Dann muß der Gegner den letzten Stein nehmen. Gewinnfolge ist also 19 ⎯ 16 ⎯ 13 ⎯ 10 ⎯ 7 ⎯ 4 ⎯ 1. A sollte also einen Stein wegnehmen und wie gewohnt ergänzen, bis 19 Steine genommen sind und B den letzten Stein nehmen muß.) kombinieren: ... Verloren hat, wer bei n Steinen den letzten Zug machen muß. (Wie bei „Gewonnen hat...“, jedoch mit n−1 statt n.) Bedingung ändern: ... nehmen abwechselnd 1 oder 3 (2 oder 3, 1 oder 2 oder 3) Steine weg. (a) 1 oder 3 jetzige Gewinnfolge: 20 ⎯ 16 ⎯ 12 ⎯ 8 ⎯ 4 B kann sicher gewinnen, wenn er die von A weggenommenen Steine jeweils zu 4 Steinen ergänzt. Mehr noch: B kann nicht verlieren, wie immer er auch zieht; denn A kommt immer auf eine ungerade Zahl, also nie in eine Gewinnposition. b) 2 oder 3 Gewinnfolge: 20 ⎯ 15 ⎯ 10 ⎯ 5 Wieder ist B im Vorteil. A muß versuchen, in die Gewinnfolge hineinzukommen oder aber die Position 19 anzusteuern, weil B dann den letzten 68
Stein nicht mehr nehmen kann (1 fehlt diesmal), also A den letzten Zug überlassen muß. Hinweis: Zwischen „letztem Ziehen“ und „letztem Stein“ ist deutlich zu unterscheiden. Wo sich, wie in diesem Fall, Unterschiede auftun, kann selbstverständlich entsprechend variiert werden. c) 1 oder 2 oder 3 Gewinnfolge: wie in a), doch ist jetzt die für B genannte Strategie unbedingt erforderlich. ) verallgemeinern: n Steine. Abwechselnd werden x oder y Steine genommen (y ≥ x > 0). Wer gewinnt, A oder B? (Es sei n = d⋅(x+y) + i mit 0 ≤ i < x+y. Ist i = 0, so gewinnt B, wenn der die o.a. Ergänzungsstrategie verfolgt. Ist i > 0, so gewinnt A, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann jeweils zu x+y ergänzt. Allerdings ist dabei vorausgesetzt, daß i = x oder i = y. Im Falle 0 < i < x ≤ y gewinnt B mit der Ergänzungsstrategie; denn schließlich bleiben i Steine übrig, die A nicht mehr nehmen kann. Im Falle x ≤ y < i gewinnt A, wenn er zunächst y Steine wegnimmt und dann wie gewohnt ergänzt. Zum Schluß bleiben i−y Steine übrig, die B wegen i−y < x nicht mehr nehmen kann. Der verbleibende Fall x < i < y muß in mehrere Unterfälle zerlegt werden, weshalb wir hier nicht näher auf ihn eingehen.) kombinieren: Wie eben, jedoch mit Verlust beim letztmaligen Ziehen. (An die Stelle der letzten Gewinnzahl n tritt nun die letzte Gewinnzahl n − kleinere der beiden Zahlen x,y. Alles weitere entsprechend.) anders verallgemeinern: n Steine. Jeder Spieler muß 1 und darf höchstens m (m < n) Steine wegnehmen. Wer hat eine Gewinnstrategie? (Gilt (m+1)⏐n , so hat B eine Gewinnstrategie: Ergänze jeweils die Steinezahl von A durch deine eigene zu m+1. Andernfalls sei n = d·(m+1) + i mit i ∈ {1,2, ... ,m−1}. A gewinnt sicher, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann verfährt wie für B beschrieben.) Variation variieren: Wie eben, doch ist nun m nicht mehr konstant, sondern höchstens gleich der Hälfte der verbliebenen Steine. 69
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Stein nicht mehr nehmen kann (1 fehlt diesmal), also A den letzten Zug<br />
überlassen muß.<br />
Hinweis: Zwischen „letztem Ziehen“ und „letztem Stein“ ist deutlich zu unterscheiden.<br />
Wo sich, wie in diesem Fall, Unterschiede auftun, kann selbstverständlich<br />
entsprechend variiert werden.<br />
c) 1 oder 2 oder 3<br />
Gewinnfolge: wie in a), doch ist jetzt die für B genannte Strategie unbedingt<br />
erforderlich. )<br />
verallgemeinern:<br />
n Steine. Abwechselnd werden x oder y Steine genommen (y ≥ x > 0). Wer gewinnt,<br />
A oder B?<br />
(Es sei n = d⋅(x+y) + i mit 0 ≤ i < x+y. Ist i = 0, so gewinnt B, wenn der die o.a.<br />
Ergänzungsstrategie verfolgt. Ist i > 0, so gewinnt A, wenn er zunächst i Steine<br />
nimmt und dann jeweils zu x+y ergänzt.<br />
Allerdings ist dabei vorausgesetzt, daß i = x oder i = y.<br />
Im Falle 0 < i < x ≤ y gewinnt B mit der Ergänzungsstrategie; denn schließlich<br />
bleiben i Steine übrig, die A nicht mehr nehmen kann.<br />
Im Falle x ≤ y < i gewinnt A, wenn er zunächst y Steine wegnimmt und dann<br />
wie gewohnt ergänzt. Zum Schluß bleiben i−y Steine übrig, die B wegen i−y < x<br />
nicht mehr nehmen kann.<br />
Der verbleibende Fall x < i < y muß in mehrere Unterfälle zerlegt werden, weshalb<br />
wir hier nicht näher auf ihn eingehen.)<br />
kombinieren:<br />
Wie eben, jedoch mit Verlust beim letztmaligen Ziehen.<br />
(An die Stelle der letzten Gewinnzahl n tritt nun die letzte Gewinnzahl n − kleinere<br />
der beiden Zahlen x,y. Alles weitere entsprechend.)<br />
anders verallgemeinern:<br />
n Steine. Jeder Spieler muß 1 und darf höchstens m (m < n) Steine wegnehmen.<br />
Wer hat eine Gewinnstrategie?<br />
(Gilt (m+1)⏐n , so hat B eine Gewinnstrategie: Ergänze jeweils die Steinezahl<br />
von A durch deine eigene zu m+1. Andernfalls sei n = d·(m+1) + i mit i ∈ {1,2,<br />
... ,m−1}. A gewinnt sicher, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann verfährt<br />
wie für B beschrieben.)<br />
Variation variieren:<br />
Wie eben, doch ist nun m nicht mehr konstant, sondern höchstens gleich der<br />
Hälfte der verbliebenen Steine.<br />
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