Anhang 2 - GEONExT

g) Zum Ergebnis 5
gelangt man auch, wenn man (was beim Addieren völlig
14
falsch ist) Zähler 2 zu Zähler 3 und Nenner 7 zu Nenner 7 addiert. Bekommt
man so immer eine Zwischenzahl?
Strategie: Auffälligkeiten überprüfen
(Liegt 5 1
= zwischen
15 3
2
7
und 3
8
? Ja; denn 1
3
64
2 2 1 3 3
= > und = < .
6 7 3 9 8
Auch alle weiteren Überprüfungen bestätigen die Vermutung. Ihr exakter
Nachweis kann allerdings erst mit algebraischen Mitteln geführt werden:
Ist a c
a a c c
< also ad < bc so <
b d b b d d
+
+ <
, , , weil a⋅(b+d) < b⋅(a+c) und (a+c)⋅d
< c⋅(b+d). )
h) Wie viele Bruchzahlen liegen überhaupt zwischen 2
7
Strategie: nachfragen
(Antwort: beliebig viele. Begründungen:
α) Zwischen 2
7
zwischen 5
14
usw.
und 3
7 ?
5
9
und liegt wieder eine Zwischenzahl (z.B. ), ebenso
14 28
und 3
7
11
(z.B. ), dazwischen auch wieder Zwischenzahlen
28
β) Je größer der Erweiterungsfaktor ist, desto mehr Zahlen passen dazwischen.
(Genauer: Sollen n Zahlen dazwischenpassen, muß man mit n+1 erweitern.))
i) Wie heißt die Bruchzahl, die direkt hinter der 0 kommt?
Strategie: Fangfragen stellen
(Es gibt keine nächstgrößere Bruchzahl. Zwischen jeder Bruchzahl und der
Null gibt es eine kleinere Zwischenzahl (z.B. die halb so große).
j) Zwischen welchen Zahlen liegen 2
7
Strategie: Denkrichtung umkehren
(z.B. zwischen 1
7
5
und )
7
und 3
7 ?
Hinweis: Diese Variation eignet sich vorzüglich zum Festigen der Größenvorstellungen
bei Bruchzahlen und zur Wiederholung von deren Ordnungsstruktur.