Anhang 2 - GEONExT

Hinweise zu den nachfolgenden Anhängen:
Die Anhänge haben unterschiedlichen Charakter. Manche dienen nur der Verdeutlichung
allgemeiner Argumentationen (z.B. 1, 4-6, 21-24, 48-50). Das
schließt nicht aus, daß sie auch als Planungshintergrund für entsprechende Unterrichtseinheiten
dienen können (Ausnahmen: 4, 5). Zugehörige Erfahrungen
sind aber noch nicht repräsentativ. Anhang 2 ist eine Zusammenstellung von Variationen,
wie sie in einer amerikanischen Versuchsklasse beobachtet wurden
(D. Brutlag in Brown; Walter 1993). Die Anhänge 11, 12, 14, 55, 56 und 62 entstammen
dem Unterricht von Mitgliedern der Planungsgruppe, Anhang 7 liegt
eine Mathematikstunde in einer Saarbrücker Grundschule zugrunde. Nachträglich:
Auch Beispiel 1 zeigt Variationen, wie sie einer von uns in mehreren Klassen
7-9, auch in zwei Oberstufenkursen veranlaßt hat, übrigens mit unterschiedlichem
Anklang (von verbreitetem Desinteresse über ungeteilte Aufmerksamkeit
bis zu einhelliger Begeisterung). Die Anhänge 18, 25, 39 und 42 kommen aus
der Arbeit mit Lehramtskandidaten, Anhang 26 aus einer Lehrerfortbildungsveranstaltung
(wobei die Initialaufgabe in einem mitgebrachten Schulbuch zufällig
gewählt wurde). Den Anhängen 10, 16, 20, 31, 33, 37, 52 und 53 liegen Planungen
und Erfahrungen aus dem Unterricht zugrunde.
Indessen stellt eines all dieser Beispiele konkreten Unterricht dar, und keines
kann unmittelbar als roter Faden für einen solchen Unterricht dienen. Schon
deshalb nicht, weil die jeweiligen Varianten beim Aufschreiben linear hintereinandergefügt
werden müssen, im Unterricht aber als bloße Vorschläge gesammelt
und vorstrukturiert werden sollten (s. 5).
Anders die Anhänge 54-62. Dies sind nachträgliche Protokolle von Kollegen
über Unterrichtseinheiten, die dem Variieren dienten. Ohne Musterstunden zu
sein, zeigen sie (in je eigener Dokumentationsweise), daß ein solcher Unterricht
möglich und sinnvoll ist. Der Leser fühle sich aufgefordert, uns weitere Beispiele
(beiderlei Art) zur Verfügung zu stellen.
In diesem Zusammenhang weisen wir auch auf einen Unterrichtsbericht von
Ulshöfer 1998 hin, der sich auf die Variation einer Aufgabe zur Kombinatorik in
Klasse 10 bezieht. Sie ist außerhalb unseres Projekts und fast zufällig, jedenfalls
situationsbedingt entstanden, entspricht aber im Verlauf und der nachträglichen
Reflexion völlig unserer Intention. Auch die Variationen über eine klassische
Extremwertaufgabe (Heuß 1999) sind hier zu nennen.
Auf eine einheitliche Darstellung unserer Variationsbeispiele haben wir bewußt
verzichtet. Jedoch ist bei fast jeder Variante hervorgehoben, welcher Teil der
Ausgangsaufgabe (des „Themas“) oder einer früheren Variation abgeändert
wurde und welche Strategie dieser Änderung explizit oder implizit zugrunde
liegt.
Weitere Beispiele bis hin zu originalen Variationsleistungen einzelner Schülerinnen
und Schüler finden sich in Henning; Leneke 2000.
47

Anhang 1: Parallelogrammdrittelung
Initialaufgabe:
Ein Parallelogramm soll von einer Ecke aus durch 2 Geraden in 3 inhaltsgleiche
Teilflächen zerlegt werden.
Lösung:
Die zugehörige Diagonale halbiert die
Parallelogrammfläche. Darum braucht
man jedes der beiden Teildreiecke nur
noch geeignet zu dritteln.
Mögliche Variationen durch
Verallgemeinern:
V a) Zerlegung durch n Geraden in n+1 inhaltsgleiche Teilflächen
V b) Zerlegung von irgendeinem Punkt der Ebene aus (außen, auf dem Rand,
innen (?))
V c) Zerlegung eines (allgemeinen) Vierecks
V d) Zerlegung durch Streckenzüge
Spezialisieren:
S a) Zerlegung eines Rechtecks, einer Raute, eines Quadrats
S b) wie V b), aber von einem Seitenmittelpunkt aus
Analogisieren:
A a) Zerlegung eines Kreises
A b) Zerlegung eines Spates (Quaders) durch Ebenen von einer Kante (Ecke)
aus
A c) Zerlegung durch zwei Geraden parallel zu einer gegebenen Geraden
A d) Dreiteilung des Parallelogrammrandes
A e) Dreiteilung von einer Diagonale her
A f) Dreiteilung mittels zweier Kreisbögen von gegenüberliegenden Ecken aus
Zerlegen und Zusammensetzen:
Z a) Zusätzliche Zerlegung von der Gegenecke her. Frage nach Teil- und Inhaltsverhältnissen
Z b) Kombination von V a) und V b)
Z c) Kombination zweier Zerlegungen nach A c) mit Seiten als Richtgeraden
48

Anhang 2: Zahlenspiel
Initialaufgabe:
Nimm eine vierziffrige natürliche Zahl, bei der alle Ziffern verschieden sind.
Stelle die Ziffern so um, daß einmal eine möglichst große und zum anderen eine
möglichst kleine Zahl entsteht. Subtrahiere die zweite von der ersten neugebildeten
Zahl. Verfahre mit der Differenz in gleicher Weise usw.
Lösung:
Man landet stets bei 6174. Diese Zahl wiederholt sich dann ständig: 7641 – 1467
= 6174 .
Mögliche Variationen durch
Analogie:
A a) Beginne mit einer dreiziffrigen Zahl.
(Man landet stets bei 495.)
A b) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Verdopple jede Ziffer. So kommst Du zu einer
neuen dreiziffrigen Zahl. Nimm notfalls die Quersumme der verdoppelten
Ziffer.
(Nach genau 6 Schritten erscheint wieder die Ausgangszahl.)
A c) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Stelle die Einerziffer voran. Erhöhe die neue
Einerziffer um 2. Wenn diese Summe zweiziffrig ist, so nimm nur deren
Einerziffer.
(Nach genau 15 Schritten erhält man wieder die Ausgangszahl.)
A d) Nimm eine dreiziffrige Zahl. Wenn sie durch 3 teilbar ist, so teile sie durch
3. Andernfalls nimm das Quadrat der Quersumme.
(Entweder landet man bei 1 oder beim Zyklus 169 - 256.)
Verallgemeinerung:
Bildet man aus einer natürlichen Zahl nach irgendeiner festen Vorschrift eine
neue Zahl mit gleichvielen Ziffern, so landet man schließlich bei einer bestimmten
Zahl oder bei einem Zyklus.
(Nachweis über das Schubfachprinzip: Verteilt man m (> n) Objekte irgendwie
auf n Fächer, so liegen in mindestens einem Fach zwei oder mehr dieser Objekte.)
49

Anhang 3: Kreisgleichung
Initialproblem:
Wie läßt sich ein Ursprungskreis analytisch charakterisieren?
Lösung:
{P(x;y)| x 2 + y 2 = r 2 } oder kurz x 2 + y 2 = r 2 ( mit r ∈ + )
Sich anbietende Variationen (einfache Erweiterungen, Alternativen):
Wie läßt sich ein Kreis mit Mittelpunkt M ≠ Ursprung O charakterisieren?
Läßt sich der Ursprungskreis noch anders charakterisieren? Elementargeometrisch?
Als Funktionsgraph? Als Vereinigung von Funktionsgraphen? Mit Polarkoordinaten?
Als Parameterfunktion?
Naheliegende Variationen (Analogien, Kontextwechsel):
Wie läßt sich eine Tangente an einen Ursprungskreis charakterisieren? Wie eine
Ellipse? Welche Punktmenge verbirgt sich hinter x 2 − y 2 = r 2 ? Hinter x 2 ⋅ y 2 = r 2
und hinter x 2 : y 2 = r 2 ?
Ungewöhnliche Variationen (Erweiterungen und Verallgemeinerungen):
Was für eine Punktmenge wird durch x 3 + y 3 = r 3 dargestellt? Kann man sie noch
anders darstellen? Welche Eigenschaften hat sie?
Wie sieht die Schar x n + y n = r n aus ? Welche Eigenschaften hat sie?
(Hierzu ein leicht zu erstellendes Computerbild.
Was ergibt sich für x -1 + y -1 = r -1 ? Für x y r
+ = ? Für [x] + [y] = [r] ?
Allgemein für f(x) + f(y) = f(r ) , wobei f für irgendeine Funktion steht?
50
)

Anhang 4: Schulbuchseite
Original:
51

Zu 6.:
Wie ist das, wenn die Temperaturen um 5° sinken? Um 3° steigen? Erst um 4°
steigen und dann um 6° fallen?
Wo ist es am kältesten, wo am wärmsten? Warum?
Um welche Jahreszeit könnte es sich handeln?
Gibt es vergleichbare Situationen?
Zu 7.:
Bilde Dir weitere solche Aufgaben!
Ersetze die Zahlen ganz oder teilweise durch ihre Gegenzahlen! Was fällt auf?
Ersetze − durch + !
Wandle mindestens eine Aufgabe in eine Textaufgabe um!
Zu 8.:
Berechne 3 − x für x ∈ {−3;−2;...;2;3} !
Berechne x − 3 für die angegebenen Zahlen.
Welche Zahl muß man für x einsetzen, damit sich −3 (−1;0;1;3) ergibt?
Was passiert, wenn x wächst (fällt)?
Zu 9.:
Kann man noch anders prüfen? Auch mit dem Taschenrechner?
Gib dem Nachbarn eine (richtige oder falsche) Gleichung und lasse sie ihn prüfen.
Prüfe selbst dessen Aufgabe !
Zu 10.:
Wie kann man sich durch eine Zeichnung helfen?
Ändere die Zahlen jeder Aufgabe so ab, daß auch jeweils die anderen Zeichen
passen !
Ordnungszeichen einsetzen und Rechenzeichen offen lassen !
Zu mindestens einer Teilaufgabe eine „Rechengeschichte“ entwerfen !
Zu W1.:
Untersuche auch andere (Verkehrs) Zeichen auf Achsensymmetrie.
Welche dieser Zeichen sind auch punktsymmetrisch (drehsymmetrisch)?
Untersuche in dieser Weise auch die Spielbretter von bekannten Spielen ! Ebenso
die Embleme der Bundesligavereine !
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Punkt- und Achsensymmetrie einer
Figur?
Zu W2.:
Untersuche auch alle anderen Buchstaben auf Achsensymmetrie !
52

Welche dieser Buchstaben sind punktsymmetrisch (drehsymmetrisch)?
Untersuche so auch alle Ziffern !
Bilde symmetrische Wörter und Zahlen !
Kriegst Du sogar einen symmetrischen Satz hin?
Anhang 5: Schulbuchseite
Original:
53

Zu 4.:
So zerschneiden und aneinanderlegen, daß ein Rechteck entsteht, bei dem keine
Seite so lang ist wie a oder b !
.., bei dem eine Seite so lang ist wie a und die andere so lang wie b !
So zerschneiden und aneinanderlegen, daß ein Quadrat entsteht !
Wie hilft man sich bei einem überschrägen Parallelogramm?
Zu 5.:
Bilde aus den angegebenen Punkten noch weitere Vierecke und untersuche sie
auf Parallelogrammeigenschaft !
Wie viele verschiedene Vierecke kann man überhaupt aus den angegebenen
Punkten bilden?
Wie kann man den Flächeninhalt derjenigen Vierecke bestimmen, die keine Parallelogramme
sind?
Wie kann man schnell, ohne zu zeichnen, die Koordinaten von vier Punkten angeben,
die ein Parallelogramm bilden? Auch dann, wenn keine Seite parallel zu
den Koordinatenachsen liegt?
Zu 6.:
a) Zeichne noch einige dieser Parallelogramme im Streifen dazu. Was gilt für
sie? Warum?
b) Welches aller dieser Parallelogramme hat den größten Umfang?
Und weiter:
Wie sehen alle Parallelogramme aus, die mit einem Rechteck den Flächeninhalt
und eine Seite gemeinsam haben?
... den Umfang und eine Seite gemeinsam haben?
Wie ist das bei Dreiecken?
Und bei geraden und schiefen Quadern?
Zu W1.:
Darf man wirklich so rechnen?
Was bekommt man für 10 DM?
Ab 17 Uhr verkauft der Händler die Pfirsiche mit 10% Ermäßigung. Was kostet
das Kilo jetzt?
Um 18.15 Uhr kauft Frau Meier den verbliebenen Rest: 6 kg. Der Händler gibt
ihn ihr für 7,50 DM. Welchen Kilopreis hat sie bezahlt?
Zuhause muß sie leider 1,5 kg faule Pfirsiche in den Müll geben. Rechne erneut!
Zu W2.:
54

Was hätte Daniel sagen müssen,
- wenn in die erste Vorstellung 100 Personen
- in die zweite Vorstellung 200 Personen
- in die letzte Vorstellung 150 Personen gekommen wären?
Sind drei Besucherzahlen denkbar, bei denen die beiden Prozentzahlen gleich
sind?
Anhang 6: Weltbevölkerung
Initialproblem:
Nach Berechnungen der UNO hat die Weltbevölkerung am 12. Oktober 1999
die 6-Milliarden-Grenze erreicht. Gegenwärtig kommen jährlich etwa 1,3 % dazu.
Wie viele Menschen werden in 10 Jahren leben?
Rechnung und Lösung:
6⋅1,013 10 = 6,82...
Dann werden knapp 7 Milliarden Menschen leben.
Mögliche Variationen:
Wie viele Menschen werden in 20 Jahren leben? (geringfügig ändern)
Wann werden 10 Milliarden Menschen leben? (Bedingungen vertauschen)
Wann wird sich die Menschheit verdoppelt haben? (umzentrieren)
Wie viele Menschen kommen in einem Jahr, an einem Tag, in einer Sekunde
dazu? (umzentrieren)
Wann wird jeder Mensch nur noch 1 m 2 Platz auf der Erde haben? (final fragen)
Vor wie vielen Jahren haben 2 Milliarden Menschen gelebt? (Denkrichtung umkehren)
Wann haben Adam und Eva gelebt? (überspitzt fragen)
Kann das denn wirklich stimmen? (nachfragen)
Was muß an der Einstiegsaufgabe und an den Variationen geändert werden?
(Aufgabe realistischer machen)
Wie wird sich die Weltbevölkerung in Wirklichkeit entwickeln? Wie bekomme
ich Informationen darüber? (z.B. im Internet über www.dsw-online.de oder in
der Tageszeitung 1 )
1 DPA-Meldung vom 28.2.2001: „Bis zum Jahr 2050 wird die Weltbevölkerung von derzeit
6,1 Milliarden auf mehr als 9,3 Milliarden Menschen anwachsen. Zu diesem Ergebnis kommt
ein Bericht der Abteilung für Wirtschaft und Soziales der Vereinten Nationen, der am Mitt-
55

(nichtmathematische Lösungswege beschreiten, aktuelle Daten beschaffen)
Wie ist das in Deutschland, in Industrieländern, in der dritten Welt, in China?
(spezifizieren)
Wie ist das, wenn die Vermehrungsrate nicht konstant bleibt? (Konsequenzen
überdenken)
Wie sollte die Bevölkerungsentwicklung in Zukunft vor sich gehen? Sind noch
andere Modelle (statt konstanter prozentualer Vermehrung) denkbar? Wie kann
man die Entwicklung beeinflussen? (anders modellieren und Alternativen diskutieren)
woch in New York veröffentlicht wurde. Demnach wächst die Weltbevölkerung zur Zeit um
1,2% im Jahr.“ (Das „Demnach“ bezieht sich offensichtlich auf den Bericht (der von sinkender
Wachstumsrate ausgeht), nicht auf die vorab genanten Zahlen, aus denen (bei angenommener
Konstanz) eine Wachstumsrate von 0,85 % folgen würde.)
56

Anhang 7: Summanden gesucht
Initialaufgabe:
3 + 5
Lösung:
8
Mögliche Variationen durch
Umkehrung: Gib noch andere „Plus-Aufgaben“ an mit dem Ergebnis 8.
Wie viele gibt es?
Analogie: Wie ist das mit dem Ergebnis 6,7, 9,10?
Kann man der Zahl ansehen, wie viele „Plus-Aufgaben“ es dazu
gibt? (Anschlußfrage stellen)
Analogie: Finde „Minus-Aufgaben“ mit dem Ergebnis 8.
Wie viele gibt es?
Warum gibt es viel mehr als „Plus-Aufgaben“?
Analogie: Nenne „Mal-Aufgaben“ mit dem Ergebnis 8.
Wie viele gibt es? Welche gehören zusammen?
Umzentrierung: Gib eine Zahl an, die mehr „Mal-Aufgaben“ hat als 8.
Gib eine Zahl an, die möglichst viele „Mal-Aufgaben“ hat.
Analogie: Gib eine Zahl an, die weniger „Mal-Aufgaben“ hat als 8.
Gib eine Zahl an, die möglichst wenige „Mal-Aufgaben“ hat.
57

Anhang 8: Drahtmodell
Initialaufgabe:
Aus Draht soll ein Quader hergestellt werden, der 15 cm lang, 8 cm breit und 4
cm hoch ist. Wieviel Draht braucht man dazu?
Lösung:
Man braucht 4 ⋅ (15 cm + 8 cm + 4 cm) = 108 cm Draht.
Mögliche Variationen:
a) Abänderung der Seitenlängen
Strategie: geringfügig ändern
b) Frage nach Oberflächeninhalt und Volumen dieses Quaders
Strategie: übliche Fragen stellen
c) Der Draht steht in Form von 15 cm langen Stäben zur Verfügung. Wie viele
davon braucht man?
Strategie: Bedingungen erschweren
(Man braucht 8 Stäbe.)
d) Aus 108 cm Draht soll ein Quader hergestellt werden, der so lang ist wie
breit und halb so hoch. Welche Maße muß dieser Quader haben?
Strategie: Gegebene und gesuchte Größen vertauschen
(27cm = 10,8 cm + 10,8 cm + 5,4 cm)
Hinweis: Diese Maße können durch systematisches Probieren gefunden
werden.
e) α) Welche verschiedenen Quader kann man aus 108 cm Draht herstellen?
β) Ist ein Würfel darunter ?
58

Strategie: Richtung umkehren, Frage spezialisieren
(α) alle Quader, bei denen die Summe der von derselben Ecke ausgehenden
Kanten 27 cm beträgt
β) ja, mit Kantenlänge 9 cm )
f) Wie oft muß man mindestens (höchstens) löten?
Strategie: Kontext beachten
(mindestens 8-mal (einmal an jeder Ecke), höchstens 16-mal (zweimal an
jeder Ecke (genügende Drahtlängen vorausgesetzt))
g) Wie viele Drahtstücke müssen mindestens (höchstens) verlötet werden?
Strategie: Kontext beachten
(mindestens 4, höchstens 12 Drahtstücke (genügende Länge vorausgesetzt)
h) Derselbe Quader soll aus Pappe hergestellt werden. Wieviel Pappe braucht
man dazu?
Strategie: analogisieren
(2 ⋅ (15⋅8 cm 2 + 15⋅4 cm 2 + 8⋅4 cm 2 ) = 424 cm 2 )
Hinweis: Hierbei sind die Klebefalzen vernachlässigt worden.
i) Wie h) . Doch soll das Quadernetz aus einem rechteckigen Stück Pappe
ausgeschnitten werden. Wie groß muß dieses Rechteck mindestens sein ?
Strategie: sinnvoll machen
(Mindestseitenlängen: 24 cm und 23 cm)
j) Aus Draht soll eine quadratische Pyramide hergestellt werden. Die Mantelkanten
sollen die Länge 5 cm haben, die Quadratkanten die Länge 6 cm .
Wieviel Draht wird benötigt?
Strategie: analogisieren
k) Anwendung der Fragestellungen b)-j) auf die quadratische Pyramide (soweit
sinnvoll bzw. möglich)
Strategie: Variationen kombinieren
l) Welcher Quader aus 108 cm Draht hat das größte Volumen (den größten
Oberflächeninhalt)?
Strategie: umzentrieren
59

(In beiden Fällen der Würfel. Das kann zwar elementar bewiesen werden 1 ,
doch noch nicht innerhalb der geometrischen Propädeutik, zu der die Initialaufgabe
gehört. Hier genügt das Plausibelmachen durch Vergleich mit ausgewählten
Quadern.)
m) Welcher Quader, dessen Netz aus einem Stück Pappe mit den Seitenlängen
24 cm und 23 cm hergestellt werden soll, hat das größte Volumen?
Strategie: Variationen kombinieren (i) mit l))
(Die exakte Lösung (Seitenlängen 15,18.. cm, 8,08.. cm, 3,91.. cm) ist nur
mittels Differentialrechnung erreichbar. Doch kann man sich durchaus mit
der ungefähren ganzzahligen Lösung 15 cm, 8 cm, 4 cm zufriedengeben, die
sich durch Vergleich (und durch den Ausgangsquader) aufdrängt.)
Anhang 9: Abfüllen in Flaschen
Initialaufgabe (aus einem Schulbuch 2 ):
66 l Apfelsaft werden in ½-l-Flaschen und ¾-l-Flaschen abgefüllt. Es sind dreimal
so viel ¾-l-Flaschen wie ½-l-Flaschen. Wie viele Flaschen sind es von jeder
Sorte?
Lösung:
Drei ¾-l-Flaschen und eine ½-l-Flasche nehmen 2 ¾ l Apfelsaft auf.
66 11
: = 24
4
Es sind 24 ½-l-Flaschen und 72 ¾-l-Flaschen.
Mögliche Variationen:
a) Es sind genau so viele ½-l-Flaschen wie ¾-l-Flaschen.
Strategie: Bedingung ändern
(
3 1 5
4 2 4
66 5
52
4
4
+ =
: =
5
Man braucht je 53 Flaschen. Allerdings auch zusätzlich noch ¼ l Apfelsaft.
Oder: Man braucht je 52 Flaschen. Es bleibt 1 l Apfelsaft übrig (wovon noch
zwei kleine Flaschen gefüllt werden können).
1 s. Schupp,H.: Extremalprobleme am Quader - In: Praxis der Mathematik 22 (1980), H.1,
S.1-5
2 Schönbeck,J.; Schupp,H. (Hrsg.): PLUS 7 - Paderborn: Schöningh 1982
60

) Ein Getränkevertrieb braucht 400 ½-l-Flaschen und 200 ¾-l-Flaschen Apfelsaft.
Wie viele l sind das insgesamt?
Strategie: Kontext vereinfachen
(350 l)
c) 1000 l Wein werden in 1-l-Flaschen und 0,7-l-Flaschen abgefüllt. Es sind
dreimal so viele 0,7-l-Flaschen wie 1-l-Flaschen. Wie viele Flaschen sind es
von jeder Sorte?
Strategie: Kontext sinnvoll abändern
(3 ⋅ 0,7 + 1 ⋅ 1 = 3,1; 1000 : 3,1 = 322,58..; 322 ⋅ 3,1 = 988,2
Man braucht 966 0,7-l-Flaschen und 322 1-l-Flaschen. Etwa 2 l Wein bleiben
übrig.)
d) 200l Apfelsaft sollen auf Flaschen gezogen werden. Die Firma benutzt dazu
½-l-Flaschen und ¾-l-Flaschen. Im Moment sind nur noch 180 ¾-l-Flaschen
da, die alle benutzt werden sollen. Wie viele ½-l-Flaschen werden noch gebraucht?
Strategie: Kontext erschweren.
(200 − 180 ⋅ ¾ = 65 . Man braucht noch 130 ½-l-Flaschen.)
e) Jemand hat 66 l Apfelsaft in ½-l- Flaschen und ¾-l-Flaschen abgefüllt. Dabei
wurden 48 ¾-l-Flaschen mehr als ½-l-Flaschen benutzt. Wie viele Flaschen
waren es von jeder Sorte?
Strategie: Bedingung verändern
(48 ¾-l-Flaschen fassen 36 l Apfelsaft. Die restlichen 30 l verteilen sich
gleichmäßig auf die beiden Flaschensorten.
30 : 5/4 = 24
Es sind 72 und 24 ½-l-Flaschen.)
f) Ausgangssituation. Man möchte möglichst wenig Flaschen benutzen. Mit
wie vielen kommt man aus?
Strategie: Ziel wechseln
(66 : ¾ = 88
Man kommt mit 88 (¾-l-)Flaschen aus.)
g) 66 l Apfelsaft sollen in ¾-l-Flaschen und ½-l-Flaschen abgefüllt werden.
Auf wie viele Weisen ist das möglich?
Strategie: Ziel wechseln
(1. Möglichkeit: 132 ½-l-Flaschen und 0 ¾-l-Flaschen
61

2. Möglichkeit: 126 ½-l-Flaschen und 4 ¾-l-Flaschen
...
45. Möglichkeit: 0 ½-l-Flaschen und 88 ¾-l-Flaschen)
h) Es sollen 600 l Apfelsaft in ½-l-Flaschen, ¾-l-Flaschen und 1-l-Flaschen
abgefüllt werden. Es sollen genau so viele ½-l-Flaschen wie ¾-l-Flaschen
benutzt werden und doppelt so viele 1-l-Flaschen.
Strategie: Bedingung erschweren
( ½ + ¾ + 2 = 3 ¼
600 13
: =
4
184 1
2
Man braucht 184 ½-l-Flaschen, 184 ¾-l-Flaschen und 368 1-l-Flaschen. 2l
bleiben übrig (bzw. können noch zusätzlich abgefüllt werden).)
Anhang 10: Zwischenbruch
Initialaufgabe:
Gib eine Bruchzahl an, die zwischen 2
7
Lösung(en):
2
7
4
= und
14
3
7
Mögliche Variationen:
6
= . Dazwischen liegt
14
5
14 .
a) Gib eine Bruchzahl an, die zwischen 2
7
Strategie: geringfügig ändern
( 2
7
und 3
7 liegt.
62
und 3
8 liegt.
16 3 21
= und = . Dazwischen liegt z.B.
56 8 56
18 9
= . )
56 28
b) Gib eine Dezimalzahl an, die zwischen 7,2 und 7,3 liegt.
Strategie: Zahlentyp verändern
(z.B. 7,26)
c) Gib 4 Bruchzahlen an, die zwischen 2
7
Strategie: Forderung verschärfen
( 2
7
und 3
7 liegen.
10 3 15
= und = . Dazwischen liegen
35 7 35
11 12 13 14
, , und . )
35 35 35 35

d) Gib 10 Bruchzahlen an zwischen 2
7
und 3
8 .
Strategie: kombinieren (hier die Variationen 2. und 3.)
( 2
7
16 48 3 21 63
= = und = = . Dazwischen liegen z.B.
56 168 8 56 168
51 52 60
, ,..., .)
168 168 168
e) Gib eine Bruchzahl an zwischen 5 5
und .
13 12
Strategie: Besonderheit abändern
( 5 60 5 65
= und = . Dazwischen liegt z.B.
13 156 12 156
64 16
= .
156 39
Oder: Zwischen 5
13
5
und liegt
12
5 10 2
12, 5 25 5
= = .)
f) Gibt es noch weitere Möglichkeiten, zu einer Zwischenzahl zu kommen?
Strategie: Methodenwechsel
(Addiere die halbe Differenz der beiden Bruchzahlen zur kleineren Bruchzahl.
Oder:
2/7 3/7
2/7 3/7
5/14
5/7
1
1
63
2 1 3 2
+ ⋅ ( − ) =
7 2 7 7
2 1
+
7 14
= 5
14
Nimm die halbe Summe der
beiden Zahlen.
1 2 3 5
⋅ ( + ) =
2 7 7 14
Daß die beiden Möglichkeiten äquivalent sind (a + (b−a)/2 = (a+b)/2), dürfte
hier wohl noch nicht erkannt werden, wohl aber, daß man sie bei jedem
Bruchzahlenpaar anwenden kann.

g) Zum Ergebnis 5
gelangt man auch, wenn man (was beim Addieren völlig
14
falsch ist) Zähler 2 zu Zähler 3 und Nenner 7 zu Nenner 7 addiert. Bekommt
man so immer eine Zwischenzahl?
Strategie: Auffälligkeiten überprüfen
(Liegt 5 1
= zwischen
15 3
2
7
und 3
8
? Ja; denn 1
3
64
2 2 1 3 3
= > und = < .
6 7 3 9 8
Auch alle weiteren Überprüfungen bestätigen die Vermutung. Ihr exakter
Nachweis kann allerdings erst mit algebraischen Mitteln geführt werden:
Ist a c
a a c c
< also ad < bc so <
b d b b d d
+
+ <
, , , weil a⋅(b+d) < b⋅(a+c) und (a+c)⋅d
< c⋅(b+d). )
h) Wie viele Bruchzahlen liegen überhaupt zwischen 2
7
Strategie: nachfragen
(Antwort: beliebig viele. Begründungen:
α) Zwischen 2
7
zwischen 5
14
usw.
und 3
7 ?
5
9
und liegt wieder eine Zwischenzahl (z.B. ), ebenso
14 28
und 3
7
11
(z.B. ), dazwischen auch wieder Zwischenzahlen
28
β) Je größer der Erweiterungsfaktor ist, desto mehr Zahlen passen dazwischen.
(Genauer: Sollen n Zahlen dazwischenpassen, muß man mit n+1 erweitern.))
i) Wie heißt die Bruchzahl, die direkt hinter der 0 kommt?
Strategie: Fangfragen stellen
(Es gibt keine nächstgrößere Bruchzahl. Zwischen jeder Bruchzahl und der
Null gibt es eine kleinere Zwischenzahl (z.B. die halb so große).
j) Zwischen welchen Zahlen liegen 2
7
Strategie: Denkrichtung umkehren
(z.B. zwischen 1
7
5
und )
7
und 3
7 ?
Hinweis: Diese Variation eignet sich vorzüglich zum Festigen der Größenvorstellungen
bei Bruchzahlen und zur Wiederholung von deren Ordnungsstruktur.

Anhang 11: Ballpyramide
Initialproblem:
Tennisbälle werden in der Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet, so
daß sich darauf eine Pyramide aufbauen läßt. Erste Experimente verdeutlichen
den stufenweisen Aufbau der Pyramiden und die schnell wachsende Anzahl von
benötigten Tennisbällen.
Für eine zweistufige Pyramide braucht man 4 Bälle, für eine dreistufige 10, für
eine vierstufige bereits 20 usw.
Wie viele Tennisbälle benötigt man für eine fünfzigstufige Pyramide?
Verallgemeinerung: Wie viele Bälle braucht man für eine n-stufige Pyramide?
Spezialisierung: Aus wie vielen Bällen besteht dort eine Seite?
Wie viele Bälle kann man sehen?
65

Analogie: Wie ist das, wenn jeder obere Ball auf 4 unteren Bällen liegt?
Umzentrierung: Wie hoch ist die zweistufige, die n-stufige Pyramide?
Die Lösung schon der Ausgangsfrage führt über Experimentieren und Zählen zu
verschiedenen rekursiven Ansätzen. Nach den Lösungen am Computer wird eine
explizite Formel gesucht. Hierzu eröffnen sich ganz verschiedene Wege (Polynomansatz,
Ausgleichskurven, Pyramidalzahlen im Pascal-Dreieck). Alle Lösungsstrategien
können auf andere Potenzsummen angewandt und schließlich
kann auch spezialisiert werden (figurierte Zahlen, Gauß-Idee zur Summe der
ersten n natürlichen Zahlen u.ä.). Fast alle der in 7 genannten Strategien können
hier erfolgreich eingesetzt werden.
Eine ausführliche Darstellung des Initialproblems und der zu seiner Lösung angewandten
Strategien findet man in
Schmidt, G.: Die Tennisballpyramide - In: Der Mathematikunterricht 43 (1997),
H.2, S.38-53
Anhang 12: Tankfüllung
66

s. dazu auch Anhang 59
Anhang 13: NIM-Spiel
Initialaufgabe:
Auf dem Tisch liegen 20 Spielsteine. Zwei Spieler A,B nehmen abwechselnd 1
oder 2 Steine weg. Es gewinnt, wer den letzten Zug macht. Kann A, der beginnt,
sicher gewinnen?
Lösung:
Ja, wenn er zunächst 2 Steine nimmt, und dann stets die Zahl der von B weggenommenen
Steine jeweils durch die Zahl der selbstentfernten Steine zu 3 ergänzt.
Denn dann besetzt er nacheinander alle Gewinnpositionen. (Darunter seien
alle Anzahlen der auf dem Tisch verbliebenen Steine verstanden, von denen
aus man sicher gewinnen kann.)
18
17
16
15
14
13
12 9
A B A B A A A B A B
A
67
6
5
4
3
2
1
0

Mögliche Variationen durch
geringfügig ändern („wackeln“):
19 bzw. 21 statt 20 Steine
(19: Hier sind die Gewinnpositionen dieselben. A gewinnt sicher, wenn er zu
nächst einen Stein nimmt und dann wie o.a. verfährt.
21: Hier sind die Gewinnpositionen 21; 18; 15; ... 3; 0. Nun kann A nur gewinnen,
wenn ihn B auf eine Gewinnposition läßt. Ansonsten gewinnt B sicher.)
verallgemeinern:
n Steine
(a) Ist n durch 3 teilbar und n : 3 = d, so ist 3⋅d ⎯ 3⋅(d−1) ⎯ ... ⎯ 3⋅1 die Folge
der Gewinnpositionen (kurz: Gewinnfolge). B gewinnt sicher, wenn er
jeden Zug von A zu 3 ergänzt.
b) Ist n nicht durch 3 teilbar, also n = 3⋅d + i mit i = 1,2 , so ist die Gewinnfolge
dieselbe. A gewinnt, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann jeweils zu 3
ergänzt. )
Ziel ändern:
... Verloren hat, wer den letzten Zug machen muß.
(Jetzt muß man die Position 1 anstreben. Dann muß der Gegner den letzten Stein
nehmen. Gewinnfolge ist also 19 ⎯ 16 ⎯ 13 ⎯ 10 ⎯ 7 ⎯ 4 ⎯ 1. A sollte also
einen Stein wegnehmen und wie gewohnt ergänzen, bis 19 Steine genommen
sind und B den letzten Stein nehmen muß.)
kombinieren:
... Verloren hat, wer bei n Steinen den letzten Zug machen muß.
(Wie bei „Gewonnen hat...“, jedoch mit n−1 statt n.)
Bedingung ändern:
... nehmen abwechselnd 1 oder 3 (2 oder 3, 1 oder 2 oder 3) Steine weg.
(a) 1 oder 3
jetzige Gewinnfolge: 20 ⎯ 16 ⎯ 12 ⎯ 8 ⎯ 4
B kann sicher gewinnen, wenn er die von A weggenommenen Steine jeweils
zu 4 Steinen ergänzt. Mehr noch: B kann nicht verlieren, wie immer er auch
zieht; denn A kommt immer auf eine ungerade Zahl, also nie in eine Gewinnposition.
b) 2 oder 3
Gewinnfolge: 20 ⎯ 15 ⎯ 10 ⎯ 5
Wieder ist B im Vorteil. A muß versuchen, in die Gewinnfolge hineinzukommen
oder aber die Position 19 anzusteuern, weil B dann den letzten
68

Stein nicht mehr nehmen kann (1 fehlt diesmal), also A den letzten Zug
überlassen muß.
Hinweis: Zwischen „letztem Ziehen“ und „letztem Stein“ ist deutlich zu unterscheiden.
Wo sich, wie in diesem Fall, Unterschiede auftun, kann selbstverständlich
entsprechend variiert werden.
c) 1 oder 2 oder 3
Gewinnfolge: wie in a), doch ist jetzt die für B genannte Strategie unbedingt
erforderlich. )
verallgemeinern:
n Steine. Abwechselnd werden x oder y Steine genommen (y ≥ x > 0). Wer gewinnt,
A oder B?
(Es sei n = d⋅(x+y) + i mit 0 ≤ i < x+y. Ist i = 0, so gewinnt B, wenn der die o.a.
Ergänzungsstrategie verfolgt. Ist i > 0, so gewinnt A, wenn er zunächst i Steine
nimmt und dann jeweils zu x+y ergänzt.
Allerdings ist dabei vorausgesetzt, daß i = x oder i = y.
Im Falle 0 < i < x ≤ y gewinnt B mit der Ergänzungsstrategie; denn schließlich
bleiben i Steine übrig, die A nicht mehr nehmen kann.
Im Falle x ≤ y < i gewinnt A, wenn er zunächst y Steine wegnimmt und dann
wie gewohnt ergänzt. Zum Schluß bleiben i−y Steine übrig, die B wegen i−y < x
nicht mehr nehmen kann.
Der verbleibende Fall x < i < y muß in mehrere Unterfälle zerlegt werden, weshalb
wir hier nicht näher auf ihn eingehen.)
kombinieren:
Wie eben, jedoch mit Verlust beim letztmaligen Ziehen.
(An die Stelle der letzten Gewinnzahl n tritt nun die letzte Gewinnzahl n − kleinere
der beiden Zahlen x,y. Alles weitere entsprechend.)
anders verallgemeinern:
n Steine. Jeder Spieler muß 1 und darf höchstens m (m < n) Steine wegnehmen.
Wer hat eine Gewinnstrategie?
(Gilt (m+1)⏐n , so hat B eine Gewinnstrategie: Ergänze jeweils die Steinezahl
von A durch deine eigene zu m+1. Andernfalls sei n = d·(m+1) + i mit i ∈ {1,2,
... ,m−1}. A gewinnt sicher, wenn er zunächst i Steine nimmt und dann verfährt
wie für B beschrieben.)
Variation variieren:
Wie eben, doch ist nun m nicht mehr konstant, sondern höchstens gleich der
Hälfte der verbliebenen Steine.
69

(Hier muß ich versuchen, dem Gegner 2 u − 1 Steine zu hinterlassen. Das ist trivial
für u = 1, also für 1 Stein. Den diesen kann er gemäß der neuen Regel nicht
mehr nehmen, also den letzten Zug nicht mehr machen. Nimmt er zuvor i von
den verbliebenen 2 u − 1 Steinen, so muß i ≤ ½ ·(2 u − 1), also i ≤ (2 u-1 −1) sein.
Ich selbst nehme dann 2 u-1 −i Steine. Das ist zulässig, weil 1 = 2 u-1 − (2 u-1 − 1) ≤
2 u-1 − i = ½ · (2 u − 1 + 1) − i ≤ ½ · (2 u − 1 + i) − i = ½ ·((2 u − 1) − i) . Dann findet
der Gegner bei seinem nächsten Zug (2 u − 1) − i − (2 u-1 − i) = 2 u-1 − 1 Steine vor,
kommt also aus der Verlustposition nicht mehr heraus.)
Bedingung ändern:
Es sind nun drei Spieler A,B,C.
(Da zwischen zwei Zügen desselben Spielers 2,3, oder 4 Steine genommen werden
können, ist für keinen von ihnen eine Gewinnstrategie möglich.)
andere Bedingung ändern:
Die 20 Steine sind nun auf zwei Haufen verteilt. Man darf wie bisher 1 oder 2
Steine nehmen, aber keine 2 Steine aus verschiedenen Haufen.
(Es kommt nun auf den Unterschied der Steinezahl in den beiden Haufen an, den
ein Spieler vorfindet. Ist er durch 3 teilbar (wie bei der Konstellation (1;1)), so
ist dies für ihn ungünstig, andernfalls günstig (wie bei (1;0) = (0;1) oder bei
(1;2) = (2;1)). Eine günstige Position kann fortgesetzt werden, wenn man die
folgende Aktion des Gegners so erwidert, daß die Teilbarkeit der absoluten
Differenz der beiden Steineanzahlen durch 3 gewahrt bleibt. Ob A sicher gewinnen
kann, hängt davon ab, ob er die anfängliche Verteilung der Steine in eine
Gewinnposition abändern kann (Beispiel: (15;5) ⎯ (14;5) ) oder eine solche bereits
vorfindet, wodurch die Gewinnstrategie für B greift (Beispiel: (13;7) ⎯
(13;6) (⎯ (12;6).)
Variation variieren:
Wiederum zwei Haufen mit insgesamt 20 Klötzchen. Jeder Spieler muß mindestens
1 Stein und darf beliebig viele Steine nehmen, aber immer nur von einem
Haufen.
((x;x) ist immer eine Verlustposition für mich: Was ich tue, tut der andere Spieler
auch; insbesondere: Beseitige ich einen Haufen, so der andere den anderen
Haufen und hat gewonnen. Es kommt demnach auf die Anfangsverteilung der
Steine an. Bei Gleichverteilung gewinnt B, sonst A (wenn die eben erwähnte
Strategie angewandt wird). )
umkehren:
A und B fangen bei 0 (bei leerem Tisch) an und legen abwechselnd 1 oder 2
Steine auf den Tisch. Gewonnen hat, wer den 20.ten Stein legt. Kann A gewinnen?
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(Ja, wenn er zunächst 2 Steine legt und auf x Steine seines Gegners mit 3-x eigenen
Steinen antwortet. Gewinnfolge (jetzt mit der Gesamtzahl der gelegten
Steine) : 2 ⎯ 5 ⎯ 8 ⎯ 11 ⎯ 14 ⎯ 17 ⎯ 20 .)
Hinweis:
Mühelos kann man weitervariieren, insbesondere durch kombinieren und verallgemeinern,
und dadurch die Aufgabenschwierigkeit fast beliebig steigern. Da
Thema und erste Variationen recht einfach sind, eignet sich das Beispiel zur Variation
in allen Schulformen und auf allen Schulstufen.
Anhang 14: Spielabbruch
71

Die hier angedeuteten Lösungswege sind nur ein Auszug aus vielen Möglichkeiten.
Für unser Anliegen sind nun von Interesse die
Abänderungen und Verallgemeinerungen:
- Variation der Anzahl der zum Sieg notwendigen Punkte und des Spielstandes
beim Abbruch
- Erhöhung der Anzahl der Spieler (3 oder mehr)
- Variation der Gewinnwahrscheinlichkeit p = 0.5 (anderes oder allgemeines p)
- anderes Aufteilungskriterium
Kombinationen dieser Varianten
Eine ausführliche Darstellung vieler origineller, von Schülern entwickelter einschlägiger
Ideen findet man in
Schmidt, G.: Experimenteller und anschaulicher Stochastikunterricht rund um
das „Problem der abgebrochenen Partien“ - In: Stochastik in der Schule 18
(1998), H.1
Anhang 15: Quadratzerlegung
Initialaufgabe:
Zerlege ein Quadrat in 4 Teilquadrate.
Lösung:
durch Einzeichnen der Mittelsenkrechten
(von denen je zwei gegenüberliegende
zusammenfallen)
Mögliche Variationen:
a) Zerlege in eine andere Anzahl von Teilquadraten.
Strategie: geringfügig ändern bzw. verallgemeinern
(leicht: Statt 4 kann auch jede größere Quadratzahl genommen werden. Die
Zerlegung in n 2 Teilquadrate schafft man durch ein Gitter mit 2 Scharen mit
je n gleichabständigen Seitenparallelen.
schwieriger: Kann die Anzahl auch ungleich einer Quadratzahl sein? Ja, weil
keineswegs verlangt ist, daß die Teilquadrate kongruent sind. So kann man
eine Zerlegung in m Quadrate stets zu einer Zerlegung in m+3 Quadrate
73

weiterführen, indem man ein Teilquadrat wiederum in 4 Teilquadrate zerlegt
(s.u. links).
Oder aber in m−3 Quadrate, wenn es möglich ist, 4 Teilquadrate zu einem
Teilquadrat zusammenzufassen (s.o. rechts).
Insgesamt ergibt sich so, daß jede natürliche Zahl ≠ 2,3,5 Zerlegungsanzahl
sein kann.)
b) Zerlege ein Rechteck in 4 Teilquadrate.
Strategie: Bedingung abändern (hier: Oberbegriff wählen)
(Das ist außer beim Sonderfall Quadrat
sicher möglich bei einem Rechteck,
dessen Seitenlängen sich wie 4:1
verhalten, aber auch bei einem
Rechteck mit dem Seitenlängenverhältnis
5:3 (s. nebenst. Fig.). Gibt es
noch weitere?)
c) Zerlege ein Quadrat in 4 Teilrechtecke.
Strategie: vertauschen (gegenüber b))
(Das ist durch (irgendeine) Vierteilung
einer Seite und zugehöriger Parallelenschar
auf einfache Weise möglich und
kann sofort auf jede Teilungsanzahl n
verallgemeinert werden. )
d) Zerlege einen Kreis in 4 Kreise.
74

Strategie: analogisieren
(Das ist nicht möglich (auch bei anderer Teilungszahl), weil man mit Kreisen
nicht parkettieren kann.)
e) Zerlege einen Kreis in 4 Quadrate.
Strategie: Bedingungen ändern, um bisher Unmögliches (s. d)) zu überwinden;
oder auch: analogisieren (von der Initialaufgabe her)
(Das ist immer noch unmöglich. Aus 4 kongruenten Quadraten lassen sich
nur die fünf bekannten „Quadronimos“ zusammenbauen (s.u.), aus 4 beliebigen
Quadraten ebenfalls nur Polygonflächen mit rechtwinkligen Ecken.)
f) Zerlege einen Kreis in 4 kongruente Teilflächen.
Strategie: wie in e)
(Das ist vom Mittelpunkt her durch zwei zueinander senkrechte Geraden
leicht möglich und kann sofort auf n Teilflächen verallgemeinert werden, indem
man n−1 Geraden durch den Mittelpunkt verlaufen läßt, von denen irgend
zwei benachbarte einen Winkel mit Maß 360°/n einschließen.)
g) Zerlege ein Quadrat in 4 kongruente Teilflächen.
Strategie: erweitern (von der Initialaufgabe her) bzw. analogisieren (von f)
her)
(Die folgenden 6 Zerlegungen können nur vage andeuten, welcher Reichtum
an Möglichkeiten sich hier auftut.)
75

h) Zerlege ein Quadrat in 4 inhaltsgleiche Teilflächen.
Strategie: (nochmals) erweitern
(Die Möglichkeiten vergrößern sich erneut. Zwei Beispiele:
i) Zerlege ein Quadrat in 4 inhaltsgleiche Teilflächen, aber so, daß sein Mittelpunkt
im Innern einer der Teilflächen liegt.
Strategie: Variation (s. h)) durch eine zusätzliche Bedingung erschweren
(Die folgenden beiden Zeichnungen zeigen zwei Möglichkeiten.)
76
)

j) Schöpfe einen Kreis durch 4 kongruente Kreise möglichst gut aus.
Strategie: sinnvoll machen (von her) bzw. analogisieren (von f) her)
(Für den Radius r eines kleines Kreises ergibt sich (mit R als dem Radius des
Ausgangskreises) aus 2r = (R−r)⋅ 2 schließlich r = ( 2 − 1)
⋅ R , so daß die 4
Kreise auch mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind. Sie bedecken insgesamt
etwa 69 % der Fläche des Ausgangskreises.)
k) Zerlege einen Würfel in 4 Teilwürfel
Strategie: analogisieren (hier: Ebene → Raum)
(Das ist nicht möglich. Die erste erreichbare Teilungszahl ist 2 3 = 8.)
Hinweis: Möglich sind selbstverständlich auch alle weiteren Kubikzahlen sowie
gewisse Zwischenzahlen, die man durch geeignetes Zusammenfassen
oder Weiterteilen von Teilwürfeln (s. a)) erreichen kann.
Beispiel: 27 − 8 + 1 = 20, 27 + 27 − 1 = 53
l) Zerlege ein gleichseitiges Dreieck in 4 gleichseitige Dreiecke.
Strategie: analogisieren (hier: innerhalb der regelmäßigen Vielecke)
(möglich, durch geeignete Seitenmittenverbindung)
77
R-r
r

Hinweis: Wie beim Quadrat sind auch alle anderen Teilungszahlen außer 2,3
und 5 möglich.
Hinweis:
Die o.a. Varianten können auf mannigfache Weise weitervariiert und kombiniert
werden. Wir haben hier ein ausgezeichnetes Beispiel für die Tatsache, daß auch
und nicht zuletzt (wie übrigens in der Musik) einfache „Themata“ interessante
und nichttriviale Variationen gestatten.
Beispiel: Ein Schüler fragt, ob man ein Quadrat auch in lauter verschieden große
Quadrate einteilen könne. Eine Mitschülerin meint, sie habe so etwas einmal auf
einer Briefmarke gesehen. 1 Der Lehrer ist überfragt. Alle nehmen sich vor, zuhause
eine solche Zerlegung zu konstruieren. Niemandem gelingt es; erst eine
ausgedehnte Literaturrecherche erbringt, daß es solche perfekte Zerlegungen in n
Teilquadrate für alle n ≥ 21 gibt. 2
1 In der Tat hat die Deutsche Bundespost aus Anlaß des Internationalen Mathematiker-
Kongresses (ICM) in Berlin 1998 eine Sondermarke herausgegeben, auf der eine Fläche in 11
verschiedene Quadrate zerlegt ist. Sie ist jedoch kein Quadrat, sondern ein Rechteck mit dem
Seitenlängenverhältnis 177:176.
2 Mehr dazu in Quaisser, E.: Diskrete Geometrie - Heidelberg: Spektrum 1994. Auf S.178
sieht man dort eine Zerlegung mit n = 21, auf S.179 mit n = 23.
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