B Differentialrechnung
B Differentialrechnung B Differentialrechnung
Mit Hilfe
Y 1 Ableitungsregeln 69 I- t:4 /.' * rÄ. )' :',-, )''(": l) :'l Mit der Sub.stitutiott u : .r' -|_ ,,,/x (Wurzelradikand) err-echnen wir unser Ziel: die Funktion wird in zwei elemenlar differen:ie rbare Bestandteile (ciufi ere und irtn e re Funktion) zerlegt : !:4.tfrz+lx + y:4.ytr mit ,-.r2+vG -v- u Wir wenden die Kettenregel an (äuJ3ere Ableitung mal innere Ableitung) , dy dy tlu , l /^ I \ 4 4xvG+l 4xvG+l 4xrG+l ' dr du d.r 2\/n \ 2rl.*/ ,/n 4Ji Ji vn vEi Rücksubstitution (u : *2 + ,/i ) liefert das gewtinschte Ergebnis: ! , 4rvC+l 4xy'x+l 4rrG+| --- "En Ableituns, an der Stelle r : | : 1'(r : 1) 4.tJ\+t 4+l svA - - vl3+1/1 r(rr + v4) x:+xvA '/, yo I; la v:vt Zeigen Sie: .r : l/(")l' + )' : n ' l.f(")1" .f '(r) Wenden Sie diese Ableitunesformel an auf: a) r' - sina x r1 ut \' : ln'r Mit der Strb.stitution u : .f (x) wird die gegebene Funktion auf die eLementur tli.fferenz.ierbare Potenzfunktion y - y" zunickgeführt: l'-, l"f(")]" + !: tt" mit ,: f(r) Y ! : u" ist dabei die tiuJ3erc, u : f (x) die innere Funktion. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir: , dy dv tlu ,, I -y ,:, ,-:n u" ''./(*) dx du dx RücksubstitLttion u : f(,r) führt dann zu dem gewünschten Ergebnis: ,,t .- n 17n ' ..f '(,t) : nlf (x)1" ' .f '(r) Anwendungsbeispiele 4 .J al ) Sln -{: (sln.\'l r-3 '3 Dl .}J: In-r: (rnxJ v u u + + )'' : -l(sinr)-t cos.i- - 4. sin3r cost / \., , I 3 ln2.r .\. = J{tnfl_ r .r
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1 Ableitungsregeln 69<br />
I-<br />
t:4 /.'<br />
* rÄ. )' :',-, )''(": l) :'l<br />
Mit der Sub.stitutiott u : .r' -|_ ,,,/x (Wurzelradikand) err-echnen wir unser Ziel: die Funktion wird in zwei elemenlar<br />
differen:ie rbare Bestandteile (ciufi ere und irtn e re Funktion) zerlegt :<br />
!:4.tfrz+lx + y:4.ytr mit ,-.r2+vG<br />
-v-<br />
u<br />
Wir wenden die Kettenregel an (äuJ3ere Ableitung mal innere Ableitung)<br />
, dy dy tlu , l /^ I \ 4 4xvG+l 4xvG+l 4xrG+l<br />
'<br />
dr du d.r 2\/n \ 2rl.*/ ,/n 4Ji Ji vn vEi<br />
Rücksubstitution (u : *2 + ,/i ) liefert das gewtinschte Ergebnis:<br />
!<br />
, 4rvC+l 4xy'x+l 4rrG+|<br />
---<br />
"En<br />
Ableituns, an der Stelle r : | :<br />
1'(r : 1)<br />
4.tJ\+t 4+l svA<br />
- -<br />
vl3+1/1<br />
r(rr + v4) x:+xvA<br />
'/, yo I; la<br />
v:vt<br />
Zeigen Sie: .r : l/(")l' + )' : n<br />
'<br />
l.f(")1"<br />
.f '(r)<br />
Wenden Sie diese Ableitunesformel an auf: a) r' - sina x<br />
r1<br />
ut \' : ln'r<br />
Mit der Strb.stitution u : .f (x) wird die gegebene Funktion auf die eLementur tli.fferenz.ierbare Potenzfunktion y - y"<br />
zunickgeführt:<br />
l'-, l"f(")]" + !: tt" mit ,: f(r)<br />
Y<br />
! : u" ist dabei die tiuJ3erc, u : f (x) die innere Funktion. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir:<br />
, dy dv tlu ,, I<br />
-y ,:, ,-:n u" ''./(*)<br />
dx du dx<br />
RücksubstitLttion u : f(,r) führt dann zu dem gewünschten Ergebnis:<br />
,,t .- n 17n<br />
' ..f '(,t) : nlf (x)1" ' .f '(r)<br />
Anwendungsbeispiele<br />
4 .J<br />
al ) Sln -{: (sln.\'l<br />
r-3 '3<br />
Dl .}J: In-r: (rnxJ<br />
v u<br />
u<br />
+<br />
+ )'' : -l(sinr)-t cos.i- - 4. sin3r cost<br />
/ \., , I 3 ln2.r<br />
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