B Differentialrechnung

I Ableitungsregeln 67
1.3 Kettenregel
Dre Kettenregel ist eine Substitutionsregel. Mrt Hilfe einer geeigneten Substitution wird die vorgegebene Funktion
y :.f(-t) zunächst in eine elementar dffirenzierbare Funktion I - F (u) der,,Hilfsvariablen" r.r übergefrihrt. Dann
gilt (Kexenregel):
J
dY dY du
- dx- du dx
Anschließend wird rücksubsütuiert.
Hinweise
oder ),' : F'lu) ' u'(x) (,,äußere Ableitung mal innere Ableitung")
(l) In manchen Fällen müssen mehrere Substitutionen nacheinander durchgeführt werden, bis man auf eine elementar
differenzierbare Funktion stößt.
(2) Lehrbuch: Band 1, Kapitel 1V.2.5
Formelsammlung : Kapitel IV.3.5
y:(4x2 -2x+ l)5
Durch die Substitution u:4xt
seführt:
- 2.r l1 wird die vorliegende Funktion in eine elementure Potenzfunktion über-
\:us mit lr-rl.rz 2xll
!: u5 ist dabei OL urLr"*, u:4xz - 2r * | dre innereFunktion. Beide Funktionen sind elementar diJJerenzierbar.
Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir zunächst:
, dy d1 du . r
J'' :;:;
sr'* 18r
^-
- 2):5u4'2(4x 1) : 10(4r - 1)'ua
Rücksubstitr.ttion (u:4x2
- 2x I l) führt zurgesuchten Ableitung:
r'' : lO(ax - l)rra - lo(a.r - 1) (4rt -2r + l)a
Antnerkung: Die Funktion lässt sich auch ohne Kettenregel differenzieren (Binom auflösen, dann gliedweise differenzieren).
Dieser Weg ist jedoch auf'wendig und daher nicht zu empfehlen (überzeugen Sie sich selbst).
Wir vereinfachen die Funktion zunächst wie folgt:
.v ln /4- - f: ln(-lr-"t)''
I
2
ln (4-r - -r 2) (Rechenregel.' ln a" - n . ln a)