B Differentialrechnung

Bei genauerer Betrachtung der Ableitungen a' und u' fällt auf, dass rz' - u und u' : u ist:
u'- -2.sinr-cosr: -(2.sin-r*cosx) - (cos,r*2.sinr) : -t.,
-,-/
.U
u' : -sinx* 2'cosx - 2. cosr sinx - u
-
Die Quotientenregel lautet dann unter Berücksichtigung dieser Beziehungen wie fblgt:
,, _u'n-'u'u _(-r;)r:t - tru
_-u2 u2
'
u2 u2
,u2
-(u2 +u2) _ _u2 +t,2
t2
,u-2
B Differentialrechnung
Ftir den Zähler dieser Bruches erhalten wir unter Verwendung des ,,trigonometrischen Pythagoras" sin 2 x f cos 2
u2 + u2 : (2. cosx - sin,r)
2 * (cos x l. 2. sinr) 2 :
: 4 .cos2
r - 4.cos-r .sinx f sin2r -| cos2" * 4 .cos,r.sin x l4.sin2x
: 5.cos2x f 5.sin2.r:51cosrr * sin'-r) - 5
-l
Die gesuchte Ableitung lautet damit:
J-l
I
1,7
u-+u-
'lt -
(cos .r * 2 . sin ,r) 2
An der Stelle x - nl2 besitzt die Ableitung den folgenden Wert:
'
v'(n 12) -
'
lcos(nl2) * 2.sin (nl2))t
-v- -/J
x3 -2x+5
x2 - 4x * l'
1^
x'-lx!J u
x2-4x* I ü
tlll t
Die Quotientenregel liefert die gesuchte Ableitung:
5
(o.rr
Lt,L) _ Lt,, (3*t 2) (*, - 4x -t 1) - (2* - 4) ("t - 2x i 5)
u2 (-r2-4-r+1)2
r - 2,r + 5, t, :.t2 - 4r * l, u' :3x2
3xa - l2r3 +3x2 -2x2 +8x 2 (2x4,4x2 -f l0r - 4r3 + 8r- 20)
(yz,4x- t)2
3xa - l2x3 +x2 + 8x -2 - (2ro - 4x3 -4x2 + l8x 20)
(xz-4r+1)2
3ra_12x3+-r2+g" 2 2xa *,lxr+4r2 _lg:r*20
:
" :
xa - 8-rl -l- 5x2 - 10x * 18
(x2-4xIl)2 (x2-4x+l)2