B Differentialrechnung

ttr--
I Ableitungsregeln 65
cos -t
'Y2 l':?, ),'(n) -7
Die vorliegende Funktion ist der Quotient der Funktionen ü - cos r und t,' :
)-:
r
' n:
tot-t '
- mit a: cosJ, 'rt: 12 und ,'- sinr. 1,t'
x' u
Dre Quotientenregel führt zu der fblgenden Ableitung:
,r _ tlt't) - t)t Lt (-sin x) ' ;r2 - 2-r ' cos x
'
u2 x4
(-r . sinx - 2 . cosx) x _ x sin-r - 2 cos,t
x3x
Ableitung an der Stelle x 1r'.
,r' (z) - -
t[-
z.sinnI 2.cosit
lnx
f
-r3
2.0*2 (-l)
1
-,r2 sin ,r. - 2r . cos,r
,r4
')*
x.sinx -.1-
2.cosx
aa
-3 13
Zähler u und Nenner o dieses Quotienten sind elementare Funktionen mit bekannten Ableitungen:
r.r : ln,r, ,, : Ji + u, : !, ,.,, :
I
zvx
Die gesuchte Ableitung erhalten wir mit Hilf'e der Quotientenre,qel'.
rr1 ll
. \.\. _ _ .ln.I
x 2li li 2 \/'x
.{l
, 2 lnx
ln,r
2\/i 2-lnr 2 - lnx
, ut lr - 1r'tt
,
,,2
, -. 1
(/r)-
r z \/x /'x \/x
Umformungen: Bruch im Zähler mit dem Kehnuert des Nennerbruches multiplizieren
2.cos-r - sinr
cosx + 2' sinx'
v'(tl2) - !
DievorliegendeFunktionistderQuotier?/ausdenFunktionen
u:2.cos-r sinx und u:cosx*2.sinx:
Somit gilt:
2 .cosx - sin x u
' - cosr * 2.sinr i'
u -2. cos-r - sinx, ?i : cosrf 2. sin-r und u' - 2. sinr - cosr, .ü' : -sinxi2. cosx
T