B Differentialrechnung

-
I Ableitungsregeln
! - 2. e' arcsin.r. ) : ? l"(0) : t
,,Zerlegung" der Funktion in ein Produkt:
), :2'et arcsin "r - 2(e.' ' arcsirr.t) : 2(rru)
T--
Der konstante Faktor 2 bleibt beim Differenzieren erhttlten. Mit
t): E'', 't) - arcsinx und Ltt - e'.
'I)t
: -:
rT *'z
erhalten wir mit Hilfe der Produktregel die tblgende Ableitung:
(r-\(r\
)''
:2(u'u:_u'tt)-2lr'' arcsin-t -l
'
-r''101 :2'e0 (arcsino + l) - 2'1(0 + l) :2
y : vG
. arctan r. ),' :
Wr,,zerlegen" die Funktion wie folgt:
-
'e'|:2'e'
{arcsin-Y+ ;'!}
\ Jt-,' / \ t/t-,'/
'l
y:li.arctanx:utr mit u:vG, t'-arctan'r und u'
\2 --/
uu
Mit Hilfe der Produktregel erhalten wir die gesuchte Ableitung:
), : u,Lt l r', - +. arctanr + ;+, /i -
*^t'ul't
+-I-
2\/E lfxr 2/i l+-r'
Umformungen:Hauptnenner 2yfx (l +,r'r) bilden.cl.h.dieBrüchemit (l +x'; bzw
):-ra e' coshx. .r'':l
:
t'
I
I +-r-
(l+,t2) .arctanx!2x
2 \/i (l + x2)
2 y[ erweitenr
Die vorliegende Funktion tst etn Prutdukt aus drei Faktorfunktionen r,, u und x.', die alle von der Variablen r abhängen:
J: xa'et cosh 'Y: u1) x'
\.J
g..J
--J
u 'u ),1'
, - *4. l' : Or, l,y - coshx und u' : 4r3. ?,' - e.t, w' - sinhx
Mit Hilfe der Prcduktregel für drei Faktoren erhalten wir die folgende Ableitung:
v' : u' trr.'t uttlu'+ Lt't,rr'' :4,r1 e-' coshx * -r4'e' cosh.r +.r4'e' sinh,r:
: .r3 e'(4' coshx * x'coshx + -t'sinhx)
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