B Differentialrechnung

I Ableitungsregeln
sin2 E
cos E
-
JL JI
)-< { < ;
1:
(..Zissoide".1
Bestimmen sie die Tangentensteig,,g
dieser Kurve in Abhä'gigkeit vom winkel @.
Wir stellen die Kurve zunächst inder pqrameterform dar (mit dem Winkel q als Kurvenparameter):
sin2 <
x : r.cosq -#.
cosg : sin2q, ], : r. sing :
Die benötigten Ableitungen ,i und j erhalten wir wie folgt:
.r: sintt: (ryf - u2 mit u: sin$
Die Ke rt e n re g e I lief ertau,l f nu.f.r erfol gter Rück s ubsti tu tion) :
. dx dx du
-f --
dE du d(t
L:2,
cosg:2.sinq.cosg
Die zweite Parametergleichung wird mit Hilfe der euotientenregel differenzierl:
sin2 p sin3 g
.slnq
cos E
cos E
. sinlg (sinq)t u
cosq cosg t' mit r:(sinq)3, u:cosg und ü:,1 , tr:
Die noch unbekannte
Ableitung von u : (sin rp) 3
4:(sinE)t:t3 mit /:sinE =+
\,-z
t
Die Quotientenregel liefert dann mit
u : sin3 g, ?' : cos q und
die gesuchte
Abteitung j,:
erhalten wir nrit der Kettenrcgel:
-sinE
. du du tlt
Lt:-
-lr2.cosA:3.sin2g.cosg
dq dr dE
ü : 3 .sin2 g . cos q , ü - -sln9
_.. üu _ i,t, 3 . sin2 E . cosp cos q - (- sin q) . sins q
sin2 cp (3 . cos 2 cp t sin2 rp1 sln c.rs: r7 t- | - cos r
r1J
- g,(J
(unter Verwendung
von tt t ; * cos 2 9
sin2 p (2 . cosz E -l
cos- E
2'sinE.cosq
sinp'sinq(2.cos2q * l)
2.sinp.cos3cp
Umformungen: Zählerbruch mit dem
sin q kürzen.
I
l\
cos2 E
a'"*,
1). Die Steigungsformel
lautet damit:
sin 2 g, (2 . cos. ,l + 1)
cos2 E
sing(2 .cosr rJ * t)
2 . cos3 cp
3 .sinz E .cos2 E + sina E
cos2 E
2'sin q.cosq)
sinrq(2.coslg r l)
cos2 g
Kehrwert des Nennerbruchesmultiplizieren,
dann den gemeinsamen Faktor
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