B Differentialrechnung
B Differentialrechnung B Differentialrechnung
86 B Differentialrechnuns 1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten Sie müssen die in Polarkoorulitutten r, E dargestellte Kurve mit der Gleichung r - r (E) zunächst in die Parameterform bÄngen: x(E) : r(9) 'cosg, y(E) : r(E)'sincp (Parameter:winkel q) Die Ableitungen erhalten Sie wie in Abschnitt 1.7 beschrieben. sie sind Funktionen des Winkelparameters E Hinweise Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.l2 Formelsammlung: Kapitel IV.3. l0 Bestimmen Sie den Anstieg der Kun,e r-l+eq, 0 in Abhängigkeit vom Winkel E. Welche SteigLutg m besitzt die Kurventallgente für cp : n'r Die Kurve wird zunächst in die Parameterform gebracht: x: r. cosE - (l + eq) .cosE, ) - r. sinq : (l + eq) .sinE Die benötigten Ableitungen i und rr nach dem Winkelparametel' g erhalten wir mit der Produktregel: t:(l+eE).coSf :sl' mit tt:1+ee t'-coSg und u:e'/'. u:-sinE -,- \./ uu i üulüu: ee'.cosE sinq.(l + "u) - eq.cosE - (l + eq) .sinq l,:(1 +eq) .sinE:41, mit u-Iieq. r,:sinq uncl ü:eq, u-cosg -'-\z u 'l) -i': riulitu: ee sing * cosE (1 + eo) - "q sin E + 0 * e() .cosE Steigung der Kurventansente in Abhängigkeit vom Winkel E: L , i --l ee sinEf (l*eq) .cosq x ee.cosE_(l+sr) .sinq Dividiert man die Summanden in Zähler und Nenner jeweils durch cos E und beachtet dabei die trigonometrische srn ff Bez.iehung tan q : ^^;i. so lässt sich die Steigungsformcl auch wie folgt schreiben: cos cp ^., _"o.sing + (l + ee) .cosg eq tan rt l 1 * eq ee cosq-(l 1srr; .sinq eq_(lJe,r) tang Steigung der Tangente für cp - tt: '', - ) t. . et tan.z * I I e.t It - frl e'-(1 *e') .tanz e"".0+1+et _l+e'_ e'-(lie")'0 e' t.0432
I Ableitungsregeln sin2 E cos E - JL JI )-< { < ; 1: (..Zissoide".1 Bestimmen sie die Tangentensteig,,g dieser Kurve in Abhä'gigkeit vom winkel @. Wir stellen die Kurve zunächst inder pqrameterform dar (mit dem Winkel q als Kurvenparameter): sin2 < x : r.cosq -#. cosg : sin2q, ], : r. sing : Die benötigten Ableitungen ,i und j erhalten wir wie folgt: .r: sintt: (ryf - u2 mit u: sin$ Die Ke rt e n re g e I lief ertau,l f nu.f.r erfol gter Rück s ubsti tu tion) : . dx dx du -f -- dE du d(t L:2, cosg:2.sinq.cosg Die zweite Parametergleichung wird mit Hilfe der euotientenregel differenzierl: sin2 p sin3 g .slnq cos E cos E . sinlg (sinq)t u cosq cosg t' mit r:(sinq)3, u:cosg und ü:,1 , tr: Die noch unbekannte Ableitung von u : (sin rp) 3 4:(sinE)t:t3 mit /:sinE =+ \,-z t Die Quotientenregel liefert dann mit u : sin3 g, ?' : cos q und die gesuchte Abteitung j,: erhalten wir nrit der Kettenrcgel: -sinE . du du tlt Lt:- -lr2.cosA:3.sin2g.cosg dq dr dE ü : 3 .sin2 g . cos q , ü - -sln9 _.. üu _ i,t, 3 . sin2 E . cosp cos q - (- sin q) . sins q sin2 cp (3 . cos 2 cp t sin2 rp1 sln c.rs: r7 t- | - cos r r1J - g,(J (unter Verwendung von tt t ; * cos 2 9 sin2 p (2 . cosz E -l cos- E 2'sinE.cosq sinp'sinq(2.cos2q * l) 2.sinp.cos3cp Umformungen: Zählerbruch mit dem sin q kürzen. I l\ cos2 E a'"*, 1). Die Steigungsformel lautet damit: sin 2 g, (2 . cos. ,l + 1) cos2 E sing(2 .cosr rJ * t) 2 . cos3 cp 3 .sinz E .cos2 E + sina E cos2 E 2'sin q.cosq) sinrq(2.coslg r l) cos2 g Kehrwert des Nennerbruchesmultiplizieren, dann den gemeinsamen Faktor 87
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1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten<br />
Sie müssen die in Polarkoorulitutten r, E dargestellte Kurve mit der Gleichung r - r (E) zunächst in die Parameterform<br />
bÄngen:<br />
x(E) : r(9) 'cosg, y(E) : r(E)'sincp (Parameter:winkel<br />
q)<br />
Die Ableitungen erhalten Sie wie in Abschnitt 1.7 beschrieben. sie sind Funktionen des Winkelparameters E<br />
Hinweise<br />
Lehrbuch: Band 1, Kapitel IV.2.l2<br />
Formelsammlung: Kapitel IV.3. l0<br />
Bestimmen Sie den Anstieg der Kun,e<br />
r-l+eq, 0<br />
in Abhängigkeit vom Winkel E.<br />
Welche SteigLutg m besitzt die Kurventallgente für cp : n'r<br />
Die Kurve wird zunächst in die Parameterform gebracht:<br />
x: r. cosE - (l + eq) .cosE,<br />
) - r. sinq : (l + eq) .sinE<br />
Die benötigten Ableitungen i und rr nach dem Winkelparametel' g erhalten wir mit der Produktregel:<br />
t:(l+eE).coSf :sl' mit tt:1+ee t'-coSg und u:e'/'. u:-sinE<br />
-,- \./<br />
uu<br />
i üulüu: ee'.cosE sinq.(l + "u) - eq.cosE - (l + eq) .sinq<br />
l,:(1 +eq) .sinE:41, mit u-Iieq. r,:sinq uncl ü:eq, u-cosg<br />
-'-\z<br />
u<br />
'l)<br />
-i': riulitu: ee sing * cosE (1 + eo) - "q sin E + 0 * e() .cosE<br />
Steigung der Kurventansente in Abhängigkeit vom Winkel E:<br />
L<br />
, i<br />
--l<br />
ee sinEf (l*eq) .cosq<br />
x ee.cosE_(l+sr) .sinq<br />
Dividiert man die Summanden in Zähler und Nenner jeweils durch cos E und beachtet dabei die trigonometrische<br />
srn ff<br />
Bez.iehung tan q :<br />
^^;i. so lässt sich die Steigungsformcl auch wie folgt schreiben:<br />
cos cp<br />
^., _"o.sing<br />
+ (l + ee) .cosg eq tan rt l 1 * eq<br />
ee cosq-(l 1srr; .sinq eq_(lJe,r) tang<br />
Steigung der Tangente für cp - tt:<br />
'', - )<br />
t. . et tan.z * I I e.t<br />
It<br />
-<br />
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e'-(1 *e') .tanz<br />
e"".0+1+et<br />
_l+e'_<br />
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