B Differentialrechnung

I Ableitungsregeln 85
Welchen Anstieg besitzt die Kurve mit der Parameterdarstellung
r : cosr - sin (2r). ), :2. cos2 / + sin (3r)
in Abhängigkeit vom (reellen) Parameter /?
Bestimmen Sie die Steigung der Kurventangente frir den Parameterwerl t - lt
Wie lautet die Gleichung der dortigen Tangente?
Beim Differenzieren der beiden Parametergleichungen benötigen wir neben der Summenregel jeweils die Kettenregel:
-r : cosr - sin (2t) : cos/ - sina mit u : 2t
Y
i : -sinr - (cosa) . 2 : -sin/ - 2 . cos(2t)
!:2.cos2/f sin(3t)-2( cosr)'+rin(3r) :2u2+sinw mit ?i:cos/ und w:3t
i:4'u.(-sinr)
2 . sin (2n) - 3 cos (3.r2)
u
sin;r * 2.cos (2.rz)
w'
f (cosu.,) .3: -4t:. sin/*3.cosru: 4.cos/.sinl* 3.cos(3r) :
2l2.cost.sinrl * 3.cos(3r) - 2.sin (2t) + 3.cos(3r)
-,sin
(21)
(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung sin (2t) : 2 . sin I . cos /)
Der Anstieg der Kurve hängt damit wie folgt vom Kurvenparameter / ab:
,:i
-2'sin(2r) +3.cos(3r) _ 2.sin(2t) - 3.cos(3r)
i -sin/ - 2.cos(2t) sin/ * 2.cos(2t)
Somit silt an der Stelle t - 7r:
.,/ i/r -'.) _ o\ _-
J \'
Thngentenberührungspunkt P - (xe ; ye):
xo - x(t : n) : coslt - sin(2n) : - I - 0 - -1
2.0- 3 (-l) 3
0+2.1 2
]0 : y(t - n) - 2. cos2z+ sin (3n) : z ( t)2 + 0 : 2
Somit: P : (- l; 2)
Tangentensteigung: m : y' (t :
4
Tangentengleichung:
y - )o
jf JO
<
- +
v-) l
J-_
r
ItrL
-; +
3
1@+
li:
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